数学选择性必修第一册11

1.4两条直线的平行与垂直

最新课标能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

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［教材要点］

要点一两条直线平行

1.对于两条不重合的直线/i，h，其斜率分别为左1，k2,有。/1〃以

2.若直线/1和/2可能重合时，我们得到任=左2。或/1与，2重合.

3.若直线/1和/2的斜率都不存在，且不重合时，得到.

状元随笔h〃b=kl=k2成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；h与12不重合.

要点二两条直线垂直

1.对于两条不重合的直线/i：y=%ix+6i和，2：y=^2x+Z?2，有/i_l_/2=.

2.若两条直线中的一条直线没有斜率,另一条直线的斜率为时，它们互相垂直.

状元随笔li±l2«ki-k2=-l成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；kiWO且

k2#0.

［基础自测］

1.思考辨析(正确的画“J”，错误的画“X”)

(1)若直线/1与/2倾斜角相等，贝)

(2)若直线/l_L/2，则如t2=—1.()

(3)若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴.()

(4)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行.()

2.已知A(2,0),B(3,3),直线/〃AB,则直线/的斜率%等于()

A.-3B.3

11

C.--D.-

33

3.已知直线/1的斜率e=2,直线/2的斜率比=—5则/1与/2()

A.平行B.垂直

C.重合D.非以上情况

4./i过点A(m,1),8(—3,4),L过点C(0,2),0(1,1),且11II上，则机=

勿川川川川川川川川川川川川川川川“川川川川川川川川川川I痴画陶展•I课堂解I透I懒他—

题型一两条直线平行的判定及应用

例1⑴侈选题］下列直线/1与直线/2平行的有()

A./i经过点4(2,1)，8(-3,5),，2经过点C(3,—3),£)(8,一7)

B./i的斜率为2,L经过点A(l，1),BQ,2)

C./i的倾斜角为30。，L经过点M(l，V3),N(—2,-2V3)

D./i经过点E(—3,2),网一3,10),L经过点尸(5,-2),Q(5,5)

⑵使过点A(7"+l,0),8(—5，咐的直线与过点c(—4,3),0(0,5)的直线平行，则机

(3)过点(一1,3)且平行于直线x—2y+3=0的直线方程为,

方法归附

(1)判断两直线是否平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相

等.课本中的结论只有在斜率都存在的情况下方可使用，两点的横坐标相等是特殊情况，应

特殊判断.(2)判断斜率是否相等实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两直线平行

的条件：若同位角相等，则两直线平行.

(3)在两直线斜率都存在且相等的情况下，应注意两直线是否重合.

跟踪训练1(1)［多选题］下列各组直线平行的有()

A.y=—3x+2与龙+3y—1=0

B.>=尤+2与尤—y—2=0

C.4x—2y+3=0与x+2y—1=0

D.|+|=1-W3x+2y-2=0

(2)已知两条不重合的直线/i：ax+2y—1=0和氏x+(a+l)y+|=0,a^R,若h〃h，

则a=.

(3)与直线3x—2y=0平行，且过点(4,—3)的直线方程为.

题型二两条直线垂直的判定及应用

例2(1)判断下列各题中Zi与L是否垂直.

①/i经过点A(—1,-2),B(l,2)；b经过点M(—2,-1),N(2,1);

②Zi的斜率为一10;L经过点A(10，2),8(20,3)；

③/i经过点A(3,4),B(3,10)；?2经过点点(-10,40),NQQ,40).

(2)已知直线/i经过点A(3,a),B(a—2,-3),直线b经过点C(2,3),0(-1,a-2),

如果则。的值为.

(3)过点(1,2)且与直线x+2y+2=0垂直的直线方程为.

方法归依।

利用斜率公式来判定两直线垂直的方法

1.一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，只需看另

一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步.

2.二代：就是将点的坐标代入斜率公式.

3.三■求：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对

参数进行讨论.

跟踪训练2(1)直线/1的斜率为履=兰，直线/2的斜率为七=三三，若与/2互相垂

a—12a—3

直，则实数。的值为()

A.—1B.1或一!

1

C.±1D.--

2

(2)过点A(—3,2)且与直线3尤一5y+1=0垂直的直线方程为.

题型三两条直线平行与垂直的综合应用

例3已知A(—4,3),8(2,5),C(6,3),0(—3,0)四点，若顺次连接A,B,C,。四

点，试判定图形ABC。的形状.

画出图形，通过求四条边所在直线的斜率，分析它们之间的关系判断图形形状.

方法归脑

利用两条直线平行或垂直来判定图形形状的步骤

而］一|根据描出的点，猜测图形的形状

求斜率一根据给定点的坐标求直线的斜率

I结论|一|由斜率之间的关系判断蔽

跟踪训练3已知40,3),B(~l,0),C(3,0),求。点的坐标，使四边形ABC。为直

角梯形(A,B,C,。按逆时针方向排列).

易错辨析忽视直线斜率不存在的情况致错

例4已知直线/i经过点A(3,a),B(a—2,3),直线已经过点C(2,3),尸(一1,a-2),

若/l_L/2，则。的值为.

解析：当直线/i的斜率存在时，

则由知后色=—1

即上|.呼=一1,解得。=0

当直线的斜率不存在时，

则。一2=3,得a=5,

此时此=0,故

综上。的值为。或5.

答案：。或5

【易错警示】

易错原因纠错心得

已知点的坐标中有参数的，首先判断直线的

本题容易由左1•左2=—1得〃=0而出错，误认

斜率是否存在，本题中直线/1的斜率就要分

为直线/1的斜率存在.

存在与不存在两种情况解答.

［课堂十分钟］

1.［多选题］直线/1与/2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是()

A.若/1〃勿则斜率加="

B.若斜率所=外,则/1〃/2

C.若倾斜角。1=。2，则/1〃/2

D.若/1〃方则倾斜角ai=a2

2.已知直线/i的倾斜角为60。，直线办经过点A(l,V3),8(—2,-2V3),则直线/1,

/2的位置关系是()

A.平行或重合B.平行

C.垂直D.重合

3.已知直线/过点(2,0),且与直线y=—2x+l平行，则直线/的方程为()

A.4B.y2A-4

C.y=—2x+4D.y=—2x~4

4.已知A(5,2),B(-l,4),则AB的垂直平分线方程为.

5.已知平行四边形A3。的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(l,0),C(4,3),则顶

点D的坐标为.

1.4两条直线的平行与垂直

新知初探•课前预习

要点一

1.ki=k2

2.h//l2

3.h//l2

要点二

1.kik?=一1

2.0

［基础自测］

1.(1)X⑵义(3)X(4)7

2.解析:M8=衿=3,-JI//AB,，k=3.故选B.

3—2

答案：B

3.解析:V^i-fc=2X(-|)=-l,.故选B.

答案：B

4.解析：•.•甩=言=--1,11//12,

曷|=,=_1，,机=0・

答案：0

题型探究•课堂解透

4-7+34

例1解析：(1)A中，Z：AB=——kcD

-3—Z8-35

**•kAB—kcD，**•l\//h.

B中，k2=—=l^k\=2

2—1

l\不平行h.

c』7,onoV3JV3+2V3/7T

C中，fci=tan30°=y,fa—1+2=y3.

：.k/k2,：.h不平行h.

D中，/i的斜率不存在，

/2的斜率也不存在，・・・/l〃/2.

故选AD.

⑵由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在•近=缶=

一，就。由于AB〃CO,所以kAB=%D,即得根=-2.经验证根=-

—6—m0—(—4)2—6—m2

2时直线AB的斜率存在，所以爪=一2.

(3)设直线方程是x—2y+C=0,因为直线过点(一1,3),所以-1—6+C=0,解得C=7,

故所求直线方程是x—2y+7=0.

答案：(1)AD(2)-2(3)x-2y+7=0

跟踪训练1解析：(1)分别求出各组直线的斜率可得BD正确.故选BD.

(2)由题意：Q(〃+1)—2X1=0,***6Z=1或。=—2,

当a—1时，则Zi：x-\-2y—1=0,

，2：x+2y+^—0,1\//h

当。=一2时，则人一2x+2y—l=0,

h-x—y+-09

・•・两直线重合(舍去).

故4=1.

(3)设直线方程是3x—2y+t=0,

则3X4—2X(—3)+，=0

，%=-18.

故所求直线方程是3x—2y—18=0.

答案：(1)BD(2)1(3)3x—2y—18=0

例2解析：⑴①女尸壬=2,B指H，

所后2=1,・M与，2不垂直.

②由=-10,%2=W^=a，k\ki=-\,

zu—1U1U

Z11Z2.

③由A,8的横坐标相等得

/i的倾斜角为90。，则/iJ_x轴.

e=裁羽=°，则S轴，

山2.

(2)设直线/],，2的斜率分别为k2,

•.,直线已经过点c(2,3),D(-l,a~2),且2W-1,

，/2的斜率存在.

当％2=0时，a—2=3,则。=5,此时后不存在，符合题意.

当％2/0时，即aW5,此时ZiWO,

由342=—1,得:「I：一],解得。=-6.

a—2—3—1—2

综上可知，a的值为5或一6.

(3)所求的直线方程为2x~y+t=0.

则2义1-2+/=0

.'.r=0.

故所求直线方程为：2x-y=0.

答案：(1)见解析(2)5或-6(3)2x-y=0

跟踪训练2解析：(1)由题意，得％%2=T1XR=-1,解得a=一；或。=1(舍去).

⑵设所求直线方程为：5x+3y+f=0,

则5X(-3)+3X2+z=0,

；"=9,

故所求的直线方程为：5x+3y+9=0.

答案：⑴D⑵5x+3y+9=0

例3解析：由题意知A,B,C,。四点在坐标平面内的位置如图所示，

由斜率公式可付(0=二,kcD=——=-,kAD=,(八=—3,fec=—

所以％AB=%c»,由图可知AB与CD不重合，

所以AB//CD由kAD丰kBc,

所以A。与BC不平行.

又因为^AB-feD=|x(-3)=-1,

所以

故四边形ABC。为直角梯形.

跟踪训练3解析：

左AB•左BC=0W—1,

即AB与BC不垂直，

故AB,BC都不可作为直角梯形的直角腰.

若是直角梯形的直角腰，

则AD_LAB,：

AD±CD.'kAD=—x,kCD=—x-3,

由于AO_LAB,；.T.3=—1.①

X

又AB〃CD士3.②

(X—_1_8

解①②两式可得]-5；此时4。与BC不平行.

Iy-

若DC为直角梯形的直角腰，

贝i]DC_LBC,且AD〃3c.

•；kBc=O,

...OC的斜率不存在.

故尤=3,XAD//BC,贝I]y=3.

故D点坐标为(3,3).

综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3,3)或(