高中数学课堂讲义-正弦定理

高中数学课堂讲义——正弦定理

目录

1.正弦定理及常见变形.........................................................1

2.［教材答疑］..................................................................1

3.［基础自测］..................................................................3

4.题型一利用正弦定理解三角形——微点探究..................................3

5.题型二判断三角形的形状——师生共研......................................4

6.题型三正弦定理、余弦定理的综合应用——微点探究.........................5

7.要点........................................................................6

8.［基础自测］..................................................................7

9.题型一......................................................................7

10.题型二.....................................................................8

11.题型三.....................................................................9

1.正弦定理及常见变形

文字语言在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比相等

*be

符号语言二7=4=U=2R(R为4ABC外接圆的半径)

a=2RsinA,b=______,c~______,

a

常见变形sinA=os,sinB=______,sinC=______，

a：b：c—_________fCTW▲AGEQ-*««f—2R

状元随笔(1)正弦定理对任意三角形都适用.

(2)正弦定理中的比值是一个定值，它的几何意义为三角形外接圆的直径.

(3)正弦定理是直角三角形边角关系的一个推广，它的主要功能是实现三角

形中的边角互化.

(4)通过正弦定理可“知三求一”.

2.［教材答疑］

1.［教材P112思考交流］

①当△ABC是锐角三角形时，如图(1).设BC=a,CA=b,AB=c,连接

80并延长交圆O于点4,连接4C,则/A，CB=90。，

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BC

在RtAA^C中，~=A'B,

BCa

二7=A2=2H(其中R为△ABC外接圆的半径)，即一

②当△ABC是钝角三角形时，如图(2).设BC=a,CA=h,AB=c,连接

BO并延长交圆。于点4,连接4C,则NA'CB=90°,A'=TI-A.

BC

在RtAA^C中，*/~=A'B,

BCBCBCa

•M・_

••eraAfin(it—A=~=A'B=2R,即«•▲=2R.

b

同理可证，er=2R

b

eraA=rmR=er=2R.

综上①②，可得对任意三角形均有士=

2.［教材Pll3思考交流］

已知两条边的边长和其中一边的对角的大小解三角形，它的解情况如下:

图形关系式解的个数

①a=bsin

A；一解

②aNb

①BA、、--②----A

A为锐角

TbsinA<a<b两解

AA.

BJ—%

C

生a<bsinA无解

A

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c

\a>b一解

为钝角或直角

AA.JR.4n

c

a<b无解

一-J

1AA

3.［基础自测］

1.判断正误(正确的画“J”，错误的画“x”)

(1)在△ABC中，已知。=60。，"=1"=3,可用正弦定理解此三角形.()

(2)在△ABC中，必有asinC=csinA.()

(3)在△ABC中，一定有abc=cosA:cosB:cosC.()

(4)在△ABC中，a>boA>3=sinA>sinB.()

2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=6A

=60°,3=45°,则h=()

A.0B.2

C.&D.26

1

3.在△ABC中，。=3,b=5,sinA—2,则sinB—()

1

A.7B.7

Vs

C.~D.1

4.在△ABC中，若a=3,b=V3,A=；,则C=.

4.题型一利用正弦定理解三角形——微点探究

微点1已知两角和任一边解三角形

例1已知△A8C中，内角A,B,。所对的边分别是a,b,c.若A=45。,

B=30。，a=V5,则b=()

A.V3-1B.1

C.2D.V3+1

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方法归佃

已知三角形的两角和任意一边解三角形时，可以先由三角形内角和定理，

计算出三角形的第三个角，然后由正弦定理求出另外两边.

微点2已知两边及其一边的对角解三角形

例2在△A3C中，已知b=3,c=3®B=30°,解此三角形.

状元随笔已知两边及一边的对角解三角形，有两解、一解和无解三种情

况.用正弦定理进行求解时，必须分情况讨论.利用余弦定理求解，就可避免

分情况讨论.

方放＞13向

已知两边及一边的对角解三角形时，既可以用正弦定理也可以用余弦定

理.利用正弦定理时，要先根据''大边对大角”对解的个数进行判断，再分别

讨论.利用余弦定理时，可以得到关于某一条边长的一个一元二次方程，从而

求得边长，再根据正弦定理和三角形内角和定理求得其他元素.

跟踪训练1(1)在△ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

且A=30°,C=105°,a=10,则Z?=()

A.4V2B.8V2

C.10⑰D.12V2

(2)在△ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=

b=6，8=45°,则A=()

A.30°B.60°

C.120°D.60。或120°

5.题型二判断三角形的形状——师生共研

例3在△A3C中，若2a=b+c,sin2A=sin8sinC,则△ABC一定是()

A.钝角三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.非等腰三角形

,b«

变式探究将本例中的条件改为“二二=-==7"，则

△ABC的形状是.

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方法归佃

利用正弦定理判断三角形形状的基本思路是：从条件出发，利用正弦定理

进行代换、转化、化简、运算，找出边与边的关系，角与角的关系，或求出角

的大小，从而作出正确判断.

6.题型三正弦定理、余弦定理的综合应用——微点探究

微点1边角转化求值

例4△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin4一。sin8

1b

=4csinC,cosA=—:,则7=()

A.6B.5

C.4D.3

状元随笔在与边角互化有关的问题中，经常利用核心素养中的逻辑推理,

通过正弦定理或余弦定理进行边角互化，综合利用三角恒等变换等知识推出三

角形的边角关系求值.

微点2范围与最值问题

例5已知在△A3C中，sinZAWsinNB+sin?。一sinBsinC,则A的取值范围

是()

A.(°，?lB.IT-3

C.(Ot7lD.I?(4

方法归的

解决三角形中边长或角的范围与最值问题通常有两种思路，一是通过正弦

定理或余弦定理将问题转化为边的关系，利用代数方法求解；二是通过正弦定

理或余弦定理将问题转化为角的关系，利用三角中的方法求解.

微点3在平面几何图形中的应用

例6如图所示，在△ABC中，P是边上的一点，ZAPC=60°,AB=

2,AP+P8=4.

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(1)求BP的长；

5-

(2)若AC=T,求sinC的值.

(1)在4ABP中，利用余弦定理可求解；

(2)在4ACP中，由正弦定理求sinC.

状元随笔题目出现多个三角形时，要弄清楚各三角形中的边角关系，分

析已知和未知的关系，合理选择正弦定理与余弦定理来求解.

跟踪训练2⑴在△ABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,仁若。=

v7,b=2,A=60°,则sinB=,c=.

(2)已知在△ABC中，A=30。，AB=4,满足此条件的AABC有两解，则BC

边的长度的取值范围为.

(3)在四边形ABC。中，ADLCD,AD=10,AB=14,NBDA=60。，/BCD

=135°,则BC=.

易错辨析解三角形时忽略隐含条件出错

例7在△ABC中，若A=60。，BC=4百，AC=4近，则角8的

大小为()

A.30°B.45°

C.135°D.45°或135°

BCAC4\34^2

解析：根据正弦定理得H=即=不==,解得sin

B=〈.又8OAC,所以A>8,所以角8的大小为45。.故选B.

答案：B

易错警示

易错原因纠错心得

已知三角形的两边及其中一边的对角，利用正弦定

忽略BC=4V3>4\,，2=AC=>A>B这

理求另一边的对角时，由于三角形内角的正弦都为

一条件，导致选出错.即忽略了

D正的，而这个内角可能为锐角，也可能为钝角，因

三角形中大边对大角的条件.此需要由题中的隐含条件来判断角的情况.

7.要点

正弦2HsinB2RsinC~7BsinA：sin8：sinC

第6页共io页

8.［基础自测］

1.(1)X⑵J(3)X(4)7

、bGb

2.解析：由正弦定理可得==—,即—।ACS解

得b=a.

答案：A

1

3.解析：=3,b=5,sinA—和

bnaA5*；S

・•・由正弦定理得sin5=-^=~=I

答案：B

4.解析：由正弦定理得

bsiaA1

sinB=~T=~T=；

又b<ci,/•B=G,

：.c=i

答案：：

9.题型一

例1解析：由正弦定理得

，suaB、2xsui3b

b▲«-««■AC•

=丁=1.

答案：B

b

例2解析：方法一：由正弦定理，得—

即，==,解得sinC=

,：ob,.\C=60°^C=120°.

①当C=60。时，A=180。一（8+0=90。，/XABC为直角三角形，此时a=

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Vb~+C2=6.

②当C=120。时，A=180°-(B+C)=30o=B,：,a=b=3.

综上可知，A=90。，C=60°,a=6或A=30。，C=120°,a=3.

方法二：由余弦定理，得反=/+，—2accos8,

得32=/+(3、哥-2义35/3aXcos30°,

化简可得层-9a+18=0,解得a=6或a=3.

①当。=6时，由正弦定理，得

sinA=~~^=1,.•.A=90。，c=180°—(A+8)=60°.

②当a=3时，由正弦定得，得sinA=/=:，

.•.A=30°,C=180°-(A+B)=120°.

综上可知，A=90。，C=60°,a=6或A=30。，C=120°,a=3.

跟踪训练1解析：(l)VA=30°,C=105°,.*.B=180°-30°-105°=45°.

10xm451

由正弦定理得。=

(2)由正弦定理得

行xan45・

sinA=3?

'：a>b,.•.A=60°或120°.

答案：(1)C(2)D

10.题型二

整理得3—c)2=0,所以。=c,因为a=",所以a=8=c,所以三角形ABC

为等边三角形.

答案：B

变式探究解析：由正弦定理士=

=7=2R(R为△ABC

外接圆的半径)得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2/?sinC,代入

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2RsmA2RnnB2RnaC

E「中可得，

所以，tan/4=tanB=l.

又因为角A,B,。是△ABC的内角，所以A=B=45。.

从而C=90。，故△ABC是等腰直角三角形.

答案：等腰直角三角形

11.题型三

例4解析：根据正弦定理,由。sinA—。sinB=4csinC,得/一82=4。2.

了小一/y力一(M+4/)3<1

又由余弦定理，得cosA=~~~=汇=一7,

b3

所以:=7X4=6.故选A.

答案：A

例5解析：由已知及正弦定理得/WZ?2+c2-尻，

由余弦定理可知a2=b2+c1-2bccosA,

1

所以序+/—2bccosAW〃2+c2一机、即cosAN7.

又因为0<A<TI,所以A的取值范围为(°，3.故选C.

答案：c

例6解析：⑴由已知，得N4PB=120°.

因为AB=2V3,AP+BP=4,

所以在AABP中，由余弦定理，得(2v3)2=BP2+(4-BP)2-2BP-(4-

BP)cos120°.

整理，得Bp2—48尸+4=0,解得BP=2.

(2)由(1)知AP=BP=2,

ACAP

所以在AAC尸中，由正弦定理，得