高中数学-圆锥曲线的综合问题教学设计学情分析教材分析课后反思

圆锥曲线的综合问题

备考方向

考什么

能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题.

怎么考

1.直线与圆锥曲线的位置关系、弦长问题、中点弦、最值

范围、定点定值的探索与证明是命题的热点.

2.题型以解答题为主，注重数学思想与方法的考查.难度

较大

教材知识

一、直线与圆锥曲线的位置关系

判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y（或x）

得变量x（或y）的方程：ax2+bx+c=0（或ay2+》y+c=0）.

若“WO,可考虑一元二次方程的判别式4,有：

/>00直线与圆锥曲线；

4=0台直线与圆锥曲线;

4<0台直线与圆锥曲线.

若。=0,则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点.

二、圆锥曲线的弦长问题

设直线1与圆锥曲线C相交于A、B两点，A（xl,yl）,

B（x2,y2）,则弦长|AB|=或

三.圆锥曲线的中点弦问题

中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”。

练习习题奠基

辨析感情1.对直线与圆锥曲线交点个数的理解

1)直线y=h+l与椭圆；+甘=1恒有两个公共点:”)

2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公3

熊(X)

3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公5

2.对圆锥曲线中有关弦的问题的理解

(4)已知为(一1,0),巳(1,0)是椭圆C的两个焦点，过匕且再

卜*轴的直线交。于45两点，且［45|=3,则。的方程为1

=12)

(5)已知点(2,1)是直线/被椭圆£+?=1所截得线段的中点,

的方程为x+4y-6=0.(*)

⑹(2014•潍坊一模改编)直线4Ax—4y—A=0与抛物线y2=x

LA,B两点，若|AB|=4,则弦AB的中点到直线x+1=0

考点一直线与圆锥曲线的位置关系

I精析考题I

［例1］(2012—水格故)已知圆G(x+#)2+/=16,点A他,0),。是

圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M,设点M的轨迹为E.

⑴求轨迹E的方程；

⑵过点P(l,0)的直线/交轨迹E于两个不同的点A,B,是坐标

原点)的面积S=：求直线48的方程.

［巧练模拟］-----------(课堂突破保分题，分分必保！)

1.(20imw*13mum*)过双曲线5一齐=is>o,°>o)的左焦点

F(—c,0)(c>0)作圆』+/=点的切线，切点为E,延长/「E交双曲线右

支于点尸，若砺=；(而+而)，则双曲线的离心率为()

A.等B.噜

c.VibD也

0^91最值范围问题

।精析考»

[例2](2011**»)已知平面内一动点尸到点尸(1,0)的距离与点

产到)，轴的距离的差等于1.

(1)求动点尸的轨迹C的方程；

⑵过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线小设人与轨迹C

相交于点A,B,与轨迹C相交于点。，E,求而•丽的最小值.

>>>摇身一变

本例(2)条件变为“过F点且斜率为1的直线交P点的轨迹

于4,B两点,动点。在曲线》2=一标320)上”求△Q45

面积的最小值.

[巧练模拟1----------------------（课堂突破保分题，分分必保！）

*2V2

2.（2012•制州横粼）设双曲线/一方=1（。＞0,。＞0）的一条渐近线与抛

物缴=』+1有公共点，则双曲线的离心率e的取值范围是

A.[f,+~）B.[5,+~）

C.谆，+~）D.诉+8）

3.（20121阳横秋庆+]=1上有两个动点尸、Q,£（3,0）,EPJ.EQ,

则丽•迎的最小值为（）

A.6B.3-/

C.9D.12-6^

在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑:

⑴利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

⑵利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心

是在两个参数之间建立等量关系；

⑶利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取

值范围；

(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；

⑸利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.

-----课堂小结-----

1.涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与系数的关系，设

而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设

而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线

的定义求解.

2.圆锥曲线综合问题要注重通性通法，熟悉解决问题的技巧

提高解决综合问题的能力。

圆锥曲线的综合问题

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.已知动圆圆心在抛物线V=4x上，且动圆恒与直线x=-1相切，则此动圆

必过定点

().

A.(2,0)B.(1,0)

C.(0,1)D.(0,-1)

72

2.设A8是过椭圆5+方=l(a＞Q0)中心的弦，椭圆的左焦点为乃(一c,0),则

/\F\AB的面积最大为

().

A.beB.abC.acD.b2

12

3.已知双曲线，一方=l(a＞0,。＞0)的右焦点为R若过点尸且倾斜角为60。

的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

().

A.(1,2)B.(-1,2)

C.(2,4-o0)D.[2,+°°)

?2

4.若AB是过椭圆，+$=1(。＞。＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且

AM.8M与两坐标轴均不平行，碗”、LB”分别表示直线AM、8M的斜率，则

lnAM-kliM=

().

2222

Ac/?_ca

A-一耳B-一宗c-一/D-一中

5.已知过抛物线y=2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为60。的直线I与抛物线在第

一、四象限分别交于A、8两点，则提的值为

A.5B.4C.3D.2

二、填空题(每小题5分，共15分)

6.点尸在抛物线/=4y的图象上，口为其焦点，点A(—1,3),若使伊川+|%|最

小，则相应P的坐标为.

7.若双曲线a一方=1(。＞0,40)的离心率是2,则丁的最小值为.

22

8.已知Fi(—c.O),正2(&0)为椭圆，+方=1的两个焦点，P为椭圆上一点，且

2

PFiPF2=C,则此椭圆离心率的取值范围是.

三'解答题

9.(10分)设椭圆C：5+*=1(。＞心0)的一个顶点与抛物线：f=4业的焦

点重合，B、放分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=竽，过椭圆右焦点仍

的直线/与椭圆。交于M、N两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在直线/,使得南•砺=-1,若存在，求出直线/的方程；若不存

在，说明理由.

参考答案

1.B[因为动圆的圆心在抛物线V=4x上，且》=-1是抛物线尸=4x的准线,

所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0),所以选B.]

2.A[如图，由椭圆对称性知。为A8的中点，则△BOB的面积为面

积的一半.又OFi=c,△ROB边OFi上的高为"，而”的最大值为。.所以

△FiOB的面积最大值为舁所以△RA8的面积最大值为cb.]

/7h

3.D[由题意知，双曲线的渐近线丁=宗的斜率需大于或等于小，即：24.二

/c?C

”23,了24,.•吗》？，即后21

4.B[(特殊值法)因为四个选项为确定值，取A(a,0),仅一a,0),M(0,b),可得

kAM-hBM——〃2」

5.C[由题意设直线/的方程为y=小(x—即》=击十多代入抛物线方程

y2=2px中，整理得小产一2/?丫一小p』。,设A(XA,州)，B(XB,")，则％=

6__近斫I'/AFI班e1

73p,yB-—3P，所以EF]_yif一③」

6.解析由抛物线定义可知PR的长等于点P到抛物线准线的距离，所以过点A

作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点(一1,J即为所求点P的坐标，此时

|P用十|9|最小.

答案J，0

7.解析由离心率e=2得，(=2,从而8=S。＞0,所以空*■=之索=。+=

=

^2y[a^=2A/|^3，当且仅当。==，即”=9时，"="成立.

答案邛

8.解析设尸(x,y),贝I

-2222

PF\PF2=(—C—X9—y)・(c—x,,y)=x—c+y=c,①

序(3t*2一层)〃？

将y2：〃一清2代入①式解得＜=---1-----，又fe[0,4],所以2c2W/W3，,

所以离心率d坐,闿

宏案W闺

口3，2

9.解(1)椭圆的顶点为(0,也,即匕二啦.

e=\=11_*=坐，解得a=小，

••.椭圆的标准方程为5+5=L

(2)由题可知，直线/与椭圆必相交.

①当直线斜率不存在时，经检验不合题意.

②设存在直线/为y=Mx—1),且M(xi,yi),Ngyi),

+=b

|h|f2得(2+3层)1—6仅尤+3层—6=0

.y=k(x—1)

6彦3k2—6

XI+x2=2+3卜2,XIM=2+3仅'

OMON=xiX2+yiy2=xix2+后[xiX2-(xi+x2)+1]

3k2—6、(3铲_6_6但_庐—6

=2+3廿+%+3层―2+3俗+1J=2+3庐=

所以k=±yn,故直线/的方程为丁=啦。-1)或丁=一啦(》一1).

本节是圆锥曲线的综合应用，主要是曲线方程的运用、变量范围的计算、最值的确定等，

解决这类问题的关键是依据解析几何本身的特点，寻找一个突破口，那么如何找到解决问题

的突破门呢？

(1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系.(2)建立目标函数，转化为求函数

的最值问题.(3)利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行

巧妙的构思.(4)结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们

的一个共同特点是均含有三角式.因此，它们的应用价值在于：①通过参数。简明地表示曲

线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题.

（5）构造一个二次方程，利用判别式△》（）.

通过本节课的学习，学生已基本掌握圆锥曲线问题的通性通法，但在有些知识的运用

及计算上部分同学还不够熟练。因此，在今后的教学中继续强化基础，加强运算。

1.本部分主要以解答题形式考查，往往

是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或

抛物线为背景，考查弦长、定点、定