高考高中数学必考失分点-典型例题详解总结

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高考高中数学必考失分点-典型例题详解总结

多误点由忽视空集致误

》例设集合xWR},B—{x\^-\-

2(a+l)x+/-l=0,q£R,xGR},若BI,则实数a的取

值范围是.

【错解】彳={0,—4},8G4

(1)当8=4时，B={0,-4},则0和一4是方程/+2(a+

1"+/-1=0的根.

J=4(a+l)2-4(a2-l)>0,

•；—2(a+l)=—4,解得q=］；

a2—1=0,

(2)当8={0}或8={—4}时，B34

则d=4(a+1尸一4(/—1)=0,解得a=-1

此时8={0},满足题意.

综上知，实数a的取值范围是a=±l.

【答案】a=±l

【错因分析与防范措施】造成本题错误的根本原因是

忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质，上述解法忽视

了8=。时的情形.当题目中出现4cB=B,,4UB=4

时，应注意对8进行分类讨论，即分8=。和4工。两种情况讨

论.

【正解】在上述解题过程中补上8=。，此时4=4(〃+

l)2-4(cr-l)<0,解得4<一1,因此，实数4的取值范围是

—1或4=1.

【答案】—1或a=l}

|易误点2|忽视集合元素的互异性致误

设集合力={-4,2a-1,a2},8={9,a~5A~

a},若4nB={9},则实数a=

【错解】•・708={9},.•.9£H

由2a—1=9得q=5,

由/=9得1=±3,

.,.4=5或。=±3.

【答案】5或3或一3

【错因分析与防范措施】在求出4的值后，没有验证

集合中的元素是否满足集合元素的互异性是导致错误的根本

原因.在解决集合中含参数的问题时，一定要进行检验，看

是否满足集合元素的互异性.

【正解】山408={9},知9£4

①当2"一1=9时，a=5,检验不符合要求，舍去；

②当/=9时，4=3或a=-3,检验4=3不符合要求.

故-3.

【答案】-3

易误点国对命题的否定不当而致误

》例3已知命题p：^^>0，则㈱P：

人人4

【错解】即fr—2<0,

—1<JC<2.

【答案】一1~<2

【错因分析与防范措施】错误的原因是认为小

/Z匕>0的否定是非p：f二;二2^0,从而认为非P对应的

x的集合是“|-la<2}.事实上若命题〃中元素组成的集合为

M,那么对p的否定非p组成的集合就是M的补集.求解时应

先求解集合再求其补集.

【正解】由》1宁0得

X—X—2

X2-X-2>0,解得XV-1或X>2,

㈱P为一1WxW2.

【答案】-1«2

变式训练3己知M是不等式总的解集且5住也

则。的取值范围是

【解析】法一..FeA/,六北^〉。或5a—25=0,

，a<-2或a>5或a=5,故填(一8,-2]U[5,+<»).

一.r,5a+10_

法二若5£忆则EW。,

••・m+2)(a-5)W0且a#5,，-2/<5,

时，。<一2或心5.

【答案】(-8,-2]U[5,+~)

易误瞬41忽视函数的定义域致误

》例已用风x)=2+logjx(lWxW9),求函数y=[/(x)F

+儿$的最大值.

【错解】y=[/(x)F=Q+[ogM+2+log/2,

...y=(logM?+6logM+6=(log>r+3);—3.

•・KxW9,.•・0WlogKW2,

故当x=9,即logK=2时，歹取最大值为22.

【错因分析与防范措施】本题错误的原因在于没有注

意到函豺=[/（X）『+<x2）的定义域的变化.误以为函数》=

伊幻『+道』）的定义域就以x）的定义域.在解决有关函数的

问题时，首先应考虑函数的定义域，这是一条基本原则.

（正解】'TU）的定义域为[1.9],

・••要使函数”=师）『+加2）有意义，必须有

14W9.

1«.OWIogdW1.

设f=logax,则，W[O,1],

222

^=[Ax)]W)=(2+log3X)+2+log>x

=(log3X)2+4log5x+4+24-21og>x=(log3X)24-6logpf4-6=

,+6/+6(0«1).

对称轴为直线/=一3,在区间[0.1]的左侧.

・•・函数在上单调递增.

当/=1时，》maK=1+6+6=13.

问：l.y=l是幕函数吗？

2./的范围对t的范围的影响？

变式训练4函数Hx)=k)g4(7+6x-x2)的单调递增区间

是.

【解析】设j，=log4〃，“=—/+8+7,

则二次函数〃=—f+6x+7在(-8,3]上为增函数，在

[3,+8)上为减函数.

又y=Iog4〃是增函数，函数/U)=Iog4(7+6x—f)的定义

域是(一1,7),

故由复合函数的单调性知，所求函数的单调递增区间为

(—1,3].

【答案】(-1,3]

易误点5|分段函数忽视分界点的函数值致误

--------------------------------------

＞例1苟a)=〃％4,一、是R上的单调递增

(4—2)x+2(xW1)

函数，则实数。的取值范围为()

A.(1,+8)B.(4,8)

C.[4.8)D.(1,8)

【错解】二/幻是R上的单调递增函数,

.••当x>l时，由/（x）=d可知。>1.

当xWl时，由<x）=（4—：）x+2可知4—；>0,即a<8.

故实数a的取值范围为（1,8）.

【答案】D

【错因分析与防范措施】错误的原因是，将分段函数

的两个分支隔离开来，分别处理单调性.由于分段函数是一

个函数，故应结合单调性的概念，对其两分支界点处的值进

行比较，充分体现单调性中“任意即，必，若即々2，则

网）勺年2）”­

【正解】：/（x）是R上的单调递增函数，

・•・当x>l时，由/（幻=，可知a>L

当xWl时，由次x）=（4—；）x+2可知，4—?>0»

即a<8.

结合增函数的概念可知，（4-3+2<。，即a24.

综上所述，所求。的范围为［4.8）.

【答案】C

（3。一l）x+4。，x<\,

变式训练5已知九灯=

logoX.x21

8,+8）上的减函数，那么a的取值范围是

3a-1<0,

【解析】由题意可知《oq<i，

（3（7—l）+4a2lo&l,

解得

【答案】[；,1）

阂误点6|忽视最高次数项系数为0致度.

〉例出函数危）=的2一右+1有且仅有一个正实数零

点，则实数机的取值范围是（）

A.（一8,1]B.（一8,O]U{1}

C.（一8,O）U{1}D.（一8,1）

【错解】(1)当/=4-4帆=0,即加=1时，x=l是函数

的唯一零点，

(2)当4=4-4"7>0,即mV1时，由于x=0不是函数的零

点，则函数有且仅有一个正实数零点等价于方程〃浸一级+1

=0有一个正根和一个负根，因此切(0)V0,所以wVO.

综上知，实数m的取值范围是(一8,O)U{1}.

【答案】C

【错因分析与防范措施】本题忽视〃7=0的情况，导致

解题失误.对于多项式函数或方程、不等式，如果含有参数

一定首先考虑最高次项系数为0的情况.

【正解】当机=0时，x=；为函数的零点.

当mWO时，若4=4-46=0,即当"7=1时，x=l是函数

唯一的零点.

若4=4—4/nXO,即1tl时，显然x=0不是函数的零

点.

这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程火外=〃1小

-2x+l有一个正根一个负根.因此切(0)V0.；.mV0.综上知

实数"的取值范围是(一8,O]U{1}.

【答案】B

变式训练6设命题甲：仆2+2*+1>0的解集是实数集

R：命题乙：OVqVl,则命题甲是命题乙成立的^条

件.

【解析】当。=0时，不等式or2+2av+1>0恒成立，

符合题意.

a>Q,

当aWO时，有，「彳即OVqVl,故不等式

4=4。-4aV0,

o?+2ax+l>0的解集是R时，OWaVl.故甲是乙成立的必要

不充分条件.

【答案】必要不充分条件

易误点彳|混淆“过某点的切线”与“在某点处的劈T致误

》例日已知曲线C：/X)=X3-X+2,求经过点尸(1,2)

的曲线。的切线方程.

【错解】此(X)=3X2-1,得k=f(1)=2,所以所

求的切线方程为卜一2=2。-1),即y=2x

【错因分析与防范措施】切线的斜率A应是在切点处

的导数，此处所求的切线只说经过P点，而没说。点一定是切

点，于是切线的斜率左与r（1）不一定相等.

解决这类题目时，一定要注意区分“过点力的切线方

程”与“在点力处的切线方程”的不同.虽只有一字之差，

意义却完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明

切线过这个点，这个点不一定是切点.

【正解】设经过点P（1,2）的直线与曲线。相切于点

（Xo,%），则由/（幻=3/一1得，在点（劭，泗）处的切线斜率A

=/（xo）=3xo-l.

所以在点（xo,外）处的切线的方程为

y—yo=（3xi—1）（x—xo）.

又因为点（Xo,%）与点尸（1.2）均在曲线C和切线上，

七伙）="一Xo+2,组3c2

有12_%=（3君_1）（1_死），消去必得，与一'。=（31。一

1X1—Xo）,

解得劭=1或Xo=一；,于是4=2或一1,

1Q

所以所求切线方程为y=2x或产一%+木

变式训练7求过曲线y=x3—2x上的点(I,-1)的切线

方程.

【解】设尸(X。，加)为切点，则切线的斜率为卜=的

=3x1-2.

•••切线方程为y—%=(3x1―2)(x—X。)，

即y—(xl—2x0)=(3/-2)(x—X。).

又知切线过点(1,-1),把它代入上述方程，得

—1—(Xo—2x0)=(3xo—2)(1—x0),

整理，得(的一11(尢+1)=0,

解得m=1或xo=一

故所求切线方程为y—(l—2)=(3—2)(X—1),或y—(一|

31

+1)=(4—2)(x+Q,

即x—y—2=0,或5x+4y—1=0.

易茂勒81极值点概念不清致误》

例©已知加0=工3+奴2+以+/在JC=1处有极值为

10.则4+6=.

【错解】/。）=3/+2以+6,由题意知

[f（l）=3+2a+6=0,

k1）=1+。+6+/=10,

{ab==4,Tl肛[a==~3.

.,.a+b=-7或a+6=0.

【答案】-7或0

【错因分析与防范措施】“函数产危）祗=劭处的导

数值为0”是“函数'=於）在点x=x0处取极值”的必要条

件，而非充分条件，但解题中却把“可导函数次幻在x=x0处

取极值”的必要条件误作充要条件.

对于给出函数极大（小）值的条件，一定要既考虑「（X。）

=0,又考虑检验“左正右负”（“左负右正”）的转化，否则

易产生增根.

【正解】f(jr)=3x2+2ax+/>,由x=l时，函数取得

山七,口，(①

极侑10,哪1)l=)=什3+42+a+6b+=0/,=]0,②

fa=—3,

联立①②得或[6=3.

当〃=4,6=-11时，f(幻=3/+8^—ll=(3x+ll)(x

一1)祗=1两侧的符号相反，符合题意.

当4=—3,6=3时，f(x)=3(x—1-在JC=1两侧的符号

相同，所以。=-3,6=3不符合题意，舍去.

综上可知a=4,6=—11,•,.a+6=—7.

【答案】-7

变式训练8若函数/)=/一/一瓜+/在x=1处有极

值10,救(x)>0的解集.

【解】由IXx)=x3一6x+〃，得/(x)=3x2—2or

-b,又<x)在x=l处有极值10,

.3—2q-6=0,

,,1—a—b+a2=10,

°=3,..a——^

解之得L、或

b=-3,6=11.

但a=3,b=—3时，/(幻=3必一6x+320,./(x)在R上

为增函数，不可能在x=l处有极值，舍去。=3,b=­3.

当〃=—4,6=11时，经检脸及r)在x=1处有极值.

由/(x)=3?+8x-11>0,得

(3x+ll)(x-l)>o,所以X>1垢v-y,

因此(X)>0的解集为{小>1或TV—?}.

易误点9|导数与单调性关系不明致误

，例❾已知函数/(x)=x3—奴2—3x,若函数/(X)在［2,

+8)上是增函数，则实数a的取值范围是.

【错解】/(x)=3x2-2ax-3,由题意知「(x)>0,

在JCW[2,+8)上恒成立.

3

即aV：

2,-I,祗£[2,+8)上恒成立.

记/(X)=||x一：,当x22时，《x)是增函数.

2-2)-49-

•.4＜中

91

【答案】一8，4

【错因分析与防范措施】人外在区间[a,6]上为增函

数，则有/(x)20,而三歹(x)>0,本题错误就在此处.在

实际解答时应验证等号成立时，函数/lx)是否为增函数.

【正解】f（x）=3f—2or—3,由题意知「（x）20在JT

e[2,+8）时恒成立，

即a〈；x—在JC£[2,+8）上恒成立.

记/3）=卷一｝,当x£[2,+8）时，«x）是增函数.

.,、引:D9.19

・・《戏》加=丛2—习=彳，・・。，

9

当4=4时，/（x）20,当且仅当x=2时取等号.

9

因此aW.

4（91

【答案】[-8,1

变式训练9已知函数八x）=,a>0,若流外是Ri：

的单调函数，则实数a的取值范围是.

—”，、.ax2-2tzx+l

【解析】f（X）=e•7+⑪2）2，

函数/（x）是R上的单调函数，贝妙（幻在R上不变号.

由a>0知，方2-2ax+120在R上恒成立.

则/=4/-4aW0,所以OVaWl.

【答案】（0.1]

易误点TQI忽视基本不等式成文的条件致送…”

卜例（E已知：a>0,Z»0»i+6=l,求（a+：f+（6+

方的最小值.

【错解】（a+：）2+（6+，=/+62+.+,+422"

+京+424”4+4=8,

.•.（a+：）2+S+］）2的最小值是8.

【错因分析与防范措施】上面的解答中，两次用到了

基本不等式/+从22时，第一次等号成立的条件是。=6=

第二次等号成立的条件是M=或，这两个条件不能同时

成立.因此，8不是最小值.如多次应用基本不等式必须保

证等号同时成立，若某一条件不满足时，可以通过拆项、添

项、配凑因式、调整系数等方法使之满足条件.

【正解】原式=/+62+5+/+4=（/+62）+（5+/

+4=[（叶6）2-2期+植+方一a+4

=（1-2而）（1+总2）+4.由曲〈（彳牛=:得：1-2曲21

11口1、।1、

-2=2'且历216,1+海217，

1251

工原式22X17+4=彳（当且仅当4=6=2时，等号成

1175

立），.,.m+q）2+s+p2的最小值是了.

变式训练10（2013威海模拟）已知函数/（x）=|lgx|,若

氏a）=J（b）且a<b,则。+26的取值范围是（）

A.（2啦，+8）B.[23，+oo）

C.（3,+8）D.[3,+8）

【解析】・・・儿7）=川0，・・・|lgo|=|lgb|,

.•・4=/>（舍去），或6=:，

2

••・。+2力=。+一，又0<a<b,0<a<l<b

af

2

令Aa）=4+j易知/（a）在（0.1）上为减函数，

2

・Ma）MD=l+j=3,即a+2b的取值范围是（3，+~）.

【答案】C

勒箫的忽视角的范围致误

》例整（2013西安模拟）设tana.tan夕是方程W+3小x

+4=0的两根，且a£（一，1）,蚱（一宗；）,则a+4的值

为（）

A.一号B.jc］或一号D.一孑或号

【错解】易得lan（a+6）=:3,又a£（一，，今，/金（一

%a+小£（一兀，兀），从而a+片；或一笔

【答案】C

【错因分析与防范措施】错误的原因是没有充分利用

三角函数值的符号限制角的范围，从而产生增解.解决此类

问题时，可根据三角函数值的正负判断角所在的象限，根据

三角函数值缩小角的范围.

【正解】由题意可知

（tana-Ftanp=-33,

|tanatan0=4,

・fztana-Ftan^-3A/3r-

..tan（ot+p）—i.-..一\I3.

f1—tanatanpo1—4

又tana+tanp=­3；3<0,tanatan尸=4>0,

Atana<0,tanfi<0.

又a£（一11）,蚱（一「今,

7T71

0),0),

.•・Q+££(一九，0),

2兀

:.a+B=y,

【答案】A

变式训练11已知cosa=\j,sin(a+夕)0<a号,

0<夕<1求cosQ.

【解】V0<a<^,0〈夕与

0<«+£<兀.

・..，上小_典出

•sin(a+^)—14<2,

B11.117T48

Xcos«=;7<2,••§<a<2，sin-，

.27r...11

••3(+p<Jt,••cos(ex1p)]4，

Acos/?=cos[(a+4)-a]=cos(a+0cosa+sin(a+4)sin

,.5/34.731

a-(-m)X/14*7,

图象变换本质不明出错

，例已知函数/(x)=sinttzx+：)(x£R,G>0)的最小

正周期为兀，将y=/(x)的图象向左平移磔个单位长度，所得

图象关于丁轴对称，贝仙的一个值是()

，兀C3兀八兀、7T

A.?B.京C.4D.*

【错解】由题意可知，周期为片界，

/X

所以切=2,所以/(x)=sin2x+£,

平移后函数变为歹=出(右+侬+",

又平移后函数图象关力轴对称，

•••mi+£=E+:,=H+孑'”WZ'取A=0,9=：.

【答案】C

【错因分析与防范措施】x轴上的平移变换出错，平

移对象是X,而不是2%,平移是对号"而言，如果JC前有系数

/X

3,则应写成/x+£的形式，同时要注意平移变换中的''左

加右减”，否则导致弄错方向，错求3=:,误选C.

【正解】由上解，易知/(x)=sin卜+1TV，平移后函数

变为Ax)=sin(2x+2阳+",

又平移后函数图象关于7轴对称，

.,.2阳+:=A兀+13=1+'kWZ.

取4=0,3=?.

o

【答案】D

变式训练12将函数y=sinx的图象上所有的点向右平

移%个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍

(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()

.c兀

A.j/=sinl2jr—B.尸sin12x-g

fln}1n

C.y=sinD.尸sin伊一利

1所ioj

【解析】将函数y=sinx的图象上所有的点向右平移

专个单位长度，所得函数图象的解析式为尸sin（x—力，再

把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函

数图象的解析式片sin[%一制

【答案】C

易误点1当条件转换不当，错判三角函数性质

》例（2013•南昌模拟）已知函数/（x）=sin（2r+9）,其中

少为实数，苟（x）W用对xWR恒成立，且兀），贝麻）的

单调递增区间是（）

B.kn,bt+；(A£Z)

C.l^7r+1.〃7r+%|(A£Z)

[).,一；,〃兀](左£Z)

【错解】由于Ax)W丈聿对XeR恒成立,

,7C

(p=24兀+*k6Z).

(Tl

因此/(x)=sin2X+T,

Iw

1717r7T

由2E—iW2x+zW2〃7r+7(Z£Z),

2o2

得履一兀+：（A£Z）.

的递增区间是b兀一；，A兀+：（&任Z）.

【答案】A

【错因分析与防范措施】1.解答本题主要有三个易误

点：（1）忽视绝对值符号的影响，遗漏/闾可能取得最小值一

1.（2）不能准确使用条件兀），导致挖掘不出隐含条件sin

力＜0,造成3=2ATT+：（AEZ）的错解.（3）函数的单调区间掌

握不牢，错求区间.

2.本题求解关键：（I）把/（x）＜对x£R恒成立，转

化为sin（2x+3）＜sin；+，|对xWR恒成立，从而得到

sin=±1,准确利用函数的对应法则和正弦函数的性

质，透彻理解绝对值的定义是正确求解的关键.

⑵将/＞7（兀）翻译成sin（兀+3）＞sin（27t+3）,利用诱导

公式便可推出sin夕VO,化抽象为具体是挖掘隐含条件避免

错误的有效手段.

【正解】因为当x£R时，寅x）《圈恒成立，所以唱

*、5

=sin3+3=±1,因此3=2攵兀+工或0=2加一0（A£Z）.

Q/OO

避＞刎，

，sin（兀+s）＞sin（2兀+夕），

则sin夕VO.

5（5"

取3=2H—67t（HZ）,.x）=sin|2x一开.

由2E—兀+不，

2NoTWz2A

jr2

得〃兀+4《工〈〃兀+开（Z£Z）.

7T2

，函数/（X）的单调增区间是E+4,氏+铲（〃£Z）.

【答案】C

变式训练13己知函数/(x)=sin2s•一，-4sin%x+o(s

>0),其图象的相邻两个最高点之间的距离为7L

(1)求函数/U)的单调递增区间；

(2)设函数/(X)在0,2上的最小值为一；求函数/(x)(x£

R)的值域.

【解】(l)/(jr)=-^sin2ftzx—；cos2cox—4X~—号生竺

+a=:sin2cor+；cos2cox~2+a

="_3sin^2€ox4-^4-a—2.

由已知得函数/)的周期r=7T,即;卜兀，

f\

.*.<w=I,y(x)=A/3sin2x+§+〃一2.

jr7T7T

由一5+2E〈2X+、&5+2E,A£Z,得

E一患与A£Z.

.如)的单调递增区间为,一居，心Z).

(2)当OWx＜/时，＜号,

sin2x+aW1

7

这时y(x)的最小值为a—j.

73

由已知得〃―/=-2，

（Tt

:.a=2,y（x）=%r/3sin[2x+'>

・・・小）的值域为[—VLa

易谀副4|解三角形忽视讨论致误

＞例在△/BC中，角4B,。所对的边分别为a,

b,c且a=l,c=/3.

7T

(1)若。=丞求彳；

7T

(2)若力=4,求氏

【错解】⑴在△加中，打二.3

asinC1

；・sin/=~r

,"3或亳

。c酬.「csinA”、J3._兀

（2）由而）=后不得sinC=-y=2'・・0=丞

由。=々知=2.

【错因分析与防范措施】在第（1）问中，没有注意到

这个条件，是出错的根本原因.由于必有力＜C,所

以力一定是锐角.在第（2）问中，由于0,4,所以r可以是锐

角，也可以是钝角.在解决此类问题时应注意两点：①三角

形内角和为兀.②比较两边的大小关系.

【正解】（I）由正弦定理得瘾=＞，

oIII＜1OIIII-

即sin.4=.nC=；

CN

又a<c,.,.A<C,0<J<j»・,•4=，.

,aczg.csin/'sin小

Q)由而力=而不，得smC=F-=-j—=2,

.•・C=W或空.

当。罟时，8=看:.b=Z、

当。=竽时，8=去<*.Z>=1.

综上所述，8=2或力=1.

变式训练14已知平面上三点4B,C,向量肥=(2—

k,3),充=(2.4).

(1)若三点4B,C不能构成三角形，求实数4应满足的

条件；

(2)若为直角三角形，求&的值.

【解】(I)由三点4,B,。不能构成三角形，得.4,

B，。在同一直线上，即向量次'与衣平行，

•・•册〃充，.\4(2-A)-2X3=0,解得4=；.

(2)\•求=(2—左3),：.CB=(k-2f-3),

：.AB=AC+CB=(k,\).

为直角三角形，

则当NA4c是直角时，ABVAC,即宓衣=0,

・・・24+4=0,解得女=一2；

当NZ8C是直角时，涌上前,

即成•册=0,

・・・川-2%—3=0,

解得%=3或%=—1；

当N4C8是直角时，AC1BC,

即衣比二0,

・・・16-2万=0,解得〃=8.

综上得〃£{-2,-1,3,8}.

易误点1电I忽视两向量夹角为0或兀致误

例CE设两个向量a,G，满足同=2,闷=1，廿与22

的夹角为:.若向量2血+702与0+©的夹角为钝角，求实数/

的取值范围.

（错解】•/2/约+702与白+©的夹角为钝角，

••.（2皿+7伙）（约+修）<0，

.•・2，+15/+7<0,解之得：一7</<一；，

.7的取值范围为（一7,一；）.

【错因分析与防范措施】错误的原因是误认为。与b夹

角为钝角o«6<0.

一般地，向量”，b为非零向量，。与6的夹角为0,则①0

为锐角今。6>0且〃，。不同向：②。为直角今〃力=0：③。为钝

角=〃仿<0且〃6不反向.

（正解】•・•2回+7/与白十七的夹角为钝角，

.■・（2/勺+7«2＞（。1+/«2）＜°且2拒1+762±，约+修）（4＜0）.

由（2/约+7«2＞（约+k2）＜0得2/+15/+7V0,

-7av—§•若2刈+7«2=，6+/e2）（2＜0）»

则（21—2泗+（7一4）62=0.

2/—2=0»日n

即尸—型5-，

7一4=0,

・•・,的取值范围为［-7,一咽［\/14f