高中数学数列教案

09级高三数学总复习讲义—数列概念

知识清单

1.数列的概念

(1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作为,在数列第一个位置的项叫第1项(或

首项)，在第二个位置的叫第2项，……，序号为〃的项叫第〃项(也叫通项)记作见;

数列的一般形式：a],a2,%,....,an,...,简记作｛4｝。

(2)通项公式的定义：如果数列｛6｝的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,

那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如，数列①的通项公式是a“=n(n<7,neN+),

数列②的通项公式是4=-(〃eN+)。

n

说明：

①｛%｝表示数列，4表示数列中的第〃项，4=/(〃)表示数列的通项公式；

—1—Dk—1

②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，%=(-琛=(^eZ)；

+1,71=2K

③不是每个数列都有通项公式。例如，1,1.4,1.41,1.414,……

(3)数列的函数特征与图象表示：

序号：123456

项：456789

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从

函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N+(或它的有限子集)的函数/(〃)当自变量“从

1开始依次取值时对应的一系列函数值/⑴,/(2)"(3),……，/(〃)，…….通常用必来代替

/(〃)，其图象是一群孤立点。

(4)数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列

项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。

(5)递推公式定义：如果已知数列｛q｝的第1项(或前几项)，且任一项4与它的

前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递

推公式。

a（八=1）

（6）数列｛%｝的前〃项和5„与通项a,的关系:

课前预习

1.根据数列前4项，写出它的通项公式:

(1)1,3,5,7...；

22-132-142-152-1

2345

1*252*3?3*4?4*5°

2.数列｛4｝中，已知.=〃-+；一1（〃€乂）,

（1）写出40,an+l,%；

（2）79』2是否是数列中的项？若是，是第几项？

3

3.如图，一粒子在区域｛（x,y）|x20,>20｝上运动，在第一秒内它从原点运动到点4（0,1）,接着

按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。

（1）设粒子从原点到达点儿、B“、C”时，所经过的时间分别为q、b,,、c”，试写出

包,｝、也,｝、｛%｝的通相公式；

（2）求粒子从原点运动到点P（16,44）时所需的时间；

（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标。

4.（1）已知数列｛4｝适合：4=1,写出前五项并写出其通项公式；

（2）用上面的数列｛风｝,通过等式勿=a“-a,用构造新数列也｝,写出包，并写出也｝的

前5项。

5.（05广东，14）设平面内有〃条直线（〃23）,其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条

直线不过同一点.若用/（"）表示这〃条直线交点的个数，则/（4）=；当〃>4时,

/（〃）=（用〃表示）。

6.（2003京春理14,文15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄

的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内。

年龄（岁）303S404SS05S6065

收缩压（水银柱毫米）11011S12012513013S（一）14S

舒张压（水银柱毫米）707375788083<一）88

09级高三数学总复习讲义一一等差数列

知识清单

1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等

于同二个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母

d表示。用递推公式表示为=或"22）或4用一。“=J（«>1）o

2、等差数列的通项公式：4=4+5—l）d；

说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d〉0为递增数列，d=0为常数

列，“<0为递减数列。

3、等差中项的概念：

定义：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与6的等差中项。其中4=也

2

a»A,b成等差数列<=>A=a+b。

2

4、等差数列的前〃和的求和公式：S,,=〃©+""）=叫+^112人

22

5、等差数列的性质：

（1）在等差数列｛q｝中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

（2）在等差数列｛4｝中，相隔等距离的项组成的数列是AP,

（3）在等差数列｛a〃｝中，对任意加，neN%,a-a-\-（n-m）d,d=―—―（mn）；

ntnn-m

（4）在等差数列｛a〃｝中，若n,p,q£«且m+it=p+q,则4+。〃=。〃+%；

说明：设数列｛%｝是等差数列，且公差为d,

（I）若项数为偶数，设共有2〃项，则①S奇-S偶=〃"；②％=%；

S偶an+\

（II）若项数为奇数，设共有2〃-1项，则①S偶-S奇=%=每；②^

S偶n-\

6、数列最值

（1）a,>0,d<0时，5“有最大值；4<0,d>0时，5“有最小值；

（2）5,最值的求法：①若已知5“，可用二次函数最值的求法（〃eN+）；②若已知a,,

则S”最值时〃的值（〃eM）可如下确定'。八或1%"°八。

课前预习

1.（01天津理，2）设S是数列｛m｝的前〃项和，且S“=〃2,则他”｝是（）

A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列

2.（06全国I）设｛q｝是公差为正数的等差数列，若4+4+«3=15,a。%=80,则为+&+q=

（）

A.120B.105C.90D.75

3.（02京）若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,

则这个数列有（）

A.13项B.12项C.11项D.10项

4.（01全国理）设数列｛z｝是递增等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的

首项是（）

A.lB.2C.4D.6

（全国）设是等差数列｛｝的前〃项和，若邑=',则盘=

5.06HS,a“

§63S12

6.（00全国）设｛外｝为等差数列，S,为数列｛&｝的前〃项和，已知S7=7,Si5=75,T„

为数列｛'｝的前〃项和，求

n

7.（98全国）已知数列｛小｝是等差数列，bt=l,bi+b2+-+bw=W0.

（I）求数列｛为｝的通项为；

（H）设数列｛“”｝的通项取=g（1+和，记5”是数列｛为｝的前〃项和，试比较S与，g"

的大小，并证明你的结论。

8.（02上海）设｛如｝（nGN*）是等差数列，&是其前〃项的和，且S5Vs6,S6=Si>S»,

则下列结论箱送的是（）

A.4V0B.a7=0C.S9>S5D&与S7均为8的最大值

9.（94全国）等差数列｛斯｝的前机项和为30,前2M项和为100,则它的前3加项和为（）

A.130B.170C.210D.260

09级高三数学总复习讲义一一等比数列

知识清单

1.等比数列定义

一般地，如果一个数列从第三项举，每一项与它的前一项的比等于同一个箪数，那么这个

数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（470）,即：/工

%0）数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2,5,（注意:

“从第二项起”、“常数”4、等比数列的公比和项都不为零）

2.等比数列通项公式为：a“=q01（%・什0）。

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比"=1时该数列既是等比数列也是等差数

列；（2）等比数列的通项公式知：若｛4｝为等比数列，则%=/

%

3.等比中项

如果在。与b中间插入一个数G,使a,G,。成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项（两个符

号相同的非零实数，都有两个等比中项）。

4.等比数列前n项和公式

一般地，设等比数列a”外,生,…,a”…的前n项和是Sa=q+阻+/+…+a“，当qwl时，

s“=皿二£2或s“=4s4i；当q=i时，S“=〃4（错位相减法）。

\-q\-q

说明：（1）4，4，”,5〃和/，4应,5“各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是必，

通项公式中是q"T不要混淆；（3）应用求和公式时gwl,必要时应讨论夕=1的情况。

5.等比数列的性质

①等比数列任意两项间的关系：如果a“是等比数列的第〃项，4,是等差数列的第根项，且

m<n9公比为q,则有勺=。八;

②对于等比数列｛〃〃｝，若n+m=w4-v，则an-am=au-av,也就是：

3%

,____________________________A_______________、______________

%.册=­%1j39.2=……，如图所示：。1严2，。3，二册-2,41,，二。

③若数列｛”,｝是等比数列，S,是其前n项的和，keN*，那么臬，S?k-Sk，加-功成等比数

列。

如下图所示：

al+a2+a3+---+ak+ak+i+---+a2k+a2k+l+---+a3k

Sk-S&S3k-S2k

课前预习

1.在等比数列｛4｝中,%=12应=近,则/=-

2.2+6和2-6的等比中项为（）.

(A)l(B)—l(C)±l(02

3.在等比数列｛。〃｝中，a2=—29a5=54,求心，

4.在等比数列｛%｝中吗和40是方程212+5%+1=0的两个根,则44，%=()

5)-|(B)今(。)-：(O)g

5.在等比数列已知q=5,«9«10=100,求心.

6.(2006年辽宁卷)在等比数列｛q｝中,％=2,前〃项和为5,,,若数列风+1｝也是等比数列，

则S,,等于()

A.2n+'-2B.3〃C.2nD.3"-1

47103fl+10

7.(2006年北京卷)f(n)=2+2+2+2+.•.+2(nGN),则/(〃)等于()

7999

A.一(8"-1)B.-(8,,+|-1)C.-(8,,+3-1)D.-(8,,+4-1)

7777

8.(1996全国文，21)设等比数列｛以｝的前"项和为S”若邑+56=259,求数列的公比q；

9.(2005江苏3)在各项都为正数的等比数列｛“〃｝中，首项m=3,前三项和为21,则公+

。4+。5=()

(A)33(B)72(C)84(D)189

10.(2000上海,12)在等差数列｛m｝中，若。o=O,则有等式ai+z+…+扇=a+。2+…+

al9-n(〃V19,〃WN)成立.类比上述性质，相应地：在等比数列｛儿｝中，若b9=l,则有等

式成立。

09级高三数学总复习讲义——数列通项与求和

知识清单

1.数列求通项与和

(1)数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=<

(2)求通项常用方法

①作新数列法。作等差数列与等比数列；

②累差叠加法。最基本的形式是：an=(an—an।)+(an।+an-2)+,,,+(a2—ai)+a।；

③归纳、猜想法。

(3)数列前n项和

①重要公式：1+2+…+n=；n(n+l)；

12+22+---+n2=—n(n+1)(2n+1)；

l3+23+…+!?=(1+2+…+n)2=-n2(n+1)2；

②等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd;

nm

③等比数列中，Sm+n=Sn+qSm=Sm+qSn；

④裂项求和

将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+l)—f(n),然后累加抵消掉中间的许多项，这

种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：

1111、111

a„=-----------------------=-----(z--------------)、------=——----、n•n'=(n+l)Ln!、

"(A〃+B)(A〃+C)C-BAn+BAn+Cn(n+1)nn+\

⑤错项相消法

对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。

an=bn-c„,其中也｝是等差数列，｛cn｝是等比数列，记5〃=仿q+b2c2+...+bn_icn_i+bncn,

则qs,=g+……+bn_lcn+，％,•••

⑥并项求和

把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。

数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

⑦通项分解法：a”=bn±cn

2.递归数列

数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k-l,an+k一2,…,an)称为数列的递归关系。由递归关系

及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+i=2an+l,及ai=l,确定的数歹|J｛2"-1｝

即为递归数列。

递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：

(1)归纳、猜想、数学归纳法证明。

(2)迭代法。

(3)代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。

(4)作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。

课前预习

II1

1.已知数列｛4｝为等差数列，且公差不为o,首项也不为o,求和：V—

/=1

]

2.求*岛力

1+2+3+―+〃

3.设a为常数，求数列a,2a2,3a3,•­•,nan,…的前n项和。

4.已知Q>0,awl,数列｛为｝是首项为a,公比也为a的等比数列，令2=a,「lga“(〃wN),

求数列也｝的前〃项和s,。

5.求S“=3C；+6亡+…+3〃C；。

6.设数列｛”“｝是公差为“，且首项为4=d的等差数列，

求和：S向=a£+aC+•••+”£

7.求数列1,3+5,7+9+11,13+15+17+19,…前n项和。

典型例题

一、有关通项问题

S.(n=1)

1、利用<；求通项.

(n>2)

EG：数列｛4｝的前〃项和S“=/+l.(1)试写出数列的前5项；(2)数列｛4｝是等差数列吗？(3)

你能写出数列｛4｝的通项公式吗？

2

变式题1、(2005湖北卷)设数列仅“｝的前n项和为Sn=2n,求数列｛4｝的通项公式;

变式题2、(2005北京卷)数列｛〃”｝的前"项和为且ai=l,4+1=；S“，〃=1,2,3,……，求。2,。3,

G的值及数列｛四｝的通项公式.

变式题3、(2005山东卷)已知数列｛4,｝的首项0,=5,前〃项和为5“，且5,,+|=5.+〃+5(〃€”),证

明数列｛4+1｝是等比数列.

2、解方程求通项:

EG：在等差数列｛4｝中，(1)已知58=48,工=168,求4和小(2)已知％=1。,羽=5,求6和；

(3)已知生+45=40,求517.

变式题1、｛4｝是首项4=1,公差4=3的等差数列，如果%=2005,则序号〃等于

(A)667(B)668(C)669(D)670

3、待定系数求通项：

EG：写出下列数列｛4｝的前5项：(1)4=g,a“=4a,i+l(〃>l).

变式题1、(2006年福建卷)已知数列｛4｝满足q=l,qM=2a,,+1(“GN*).求数列｛《,｝的通项公

式；

4、由前几项猜想通项：

EG：根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.

(1)(4)⑺()()

变式题1、(2007年深圳理科一模).如下图，第(1)个多边形是由正三角形“扩展“而来，第(2)个

多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正〃边形“扩展”而来的多边形的边数为%,

则％=

变式题2、观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是()，其

通项公式为.

A.40个B.45个

2条直线相3条直线相4条直线相

交，最多有1交，最多有3交，最多有6

个交点个交点个交点

二、有关等差、等比数列性质问题

EG：一个等比数列前"项的和为48,前2〃项的和为60,则前3〃项的和为（）

A.83B.108C.75D.63

变式1、一个等差数列前"项的和为48,前2〃项的和为60,则前3〃项的和为。

变式2、（江苏版第76页习题1）等比数列｛a,,｝的各项为正数，且

a

a5a6+。4?=18,贝!Jlogsq+log3a2-\--1-log3aw-（）

A.12B.10C.8D.2+log,5

EG：设数列｛4｝是单调递增的等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是（）

A.1B.2C.4D.8

变式题1、在各项都为正数的等比数列｛4｝中，首项q=3,前三项和为21,则《+4+%=

A33B72C84D189

三、数列求和问题

EG：已知｛a,J是等差数列，其中q=31,公差1=一8。（1）求数列｛6,｝的通项公式，并作出它的图像;

（2）数列｛a“｝从哪一项开始小于0?（3）求数列｛《,｝前几项和的最大值，并求出对应〃的值.

变式题1、已知｛%｝是各项不为零的等差数列，其中4>0,公差d<0,若£o=0,求数歹｝前〃项和

的最大值.

变式题2、在等差数列｛%｝中，q=25,SI7=S9,求S“的最大值.

EG：求和：S“=l+2x+3x2+…+nx"T

变式题1、已知数列%=4〃—2和6“=W，设的=去，求数列匕“｝的前〃项和

变式题2、（2007全国1文21）设｛4｝是等差数列，他,｝是各项都为正数的等比数列，且q=々=1,

生+a=21,%+4=13（I）求｛4｝，｛a｝的通项公式；（H）求数列■的前〃项和S,.

变式题2.设等比数列｛4｝的公比为q,前n项和为Sn，若Sn+i,Sn，Sn+2成等差数列，则q

的值为.

3、利用等比数列的前〃项和公式证明

”+1—/yi+i

EG：a"+a"-'b+a'^b1+•••+abn-'+b"=---------（〃eN*,a>0力>0）

a-h

变式题、(05天津)已知氏=废+废-0+。"-2/+…+出/1+6"(〃wN*,a>0,b>0).当。=匕时，

求数列｛〃“｝的前n项和5”.

EG:(1)己知数列｛为｝的通项公式为%=—1—，求前八项的和；(2)已知数列｛4｝的通项公式为

〃(〃+1)

an=—j=~\----，求前〃项的和.

y/n+4n+l

变式题1、已知数列仅“｝的通项公式为名=胆，设7；=—1一+」一+…+―1—,求

2qqa2-a4an-an+2

变式题2、数列｛即｝中，ai=8,a4=2,且满足：an+2-2an+t+an=0(n£N*),

(I)求数列｛an｝的通项公式；

]

(II)设勿=————(〃WN*),S“=4+b2+……+bn，是否存在最大的整数m,使得任意的n均有

”(12-a“)

S”>?总成立？若存在，求出例若不存在，请说明理由.

实战训练A

1.(07重庆文)在等比数列｛斯｝中，或=8,切=64,,则公比q为

(A)2(B)3(C)4(D)8

2.(07重庆理)若等差数列｛4｝的前三项和、3=9且q=I,则生等于()

A.3B.4C.5D.6

3.设｛/｝为公比q>l的等比数列，若Wow和4005是方程4/8x+3=0的两根，则

“2006+02007=----------------------------

4.(07天津理)设等差数列｛4｝的公差d不为0,a]=9d.若%是％与%«的等比中项，则A二

()A.2B.4C.6D.8

2_2

5.设等差数列｛4｝的公差d是2,前〃项的和为S〃，则"二巴=.

6.等差数列｛a”｝中，防=1,。3+。5=14,其前〃项和SHOO,则〃=

(A)9(B)10(C)ll(D)12

5.等差数列｛m｝的前〃项和为Sn,若S2=2与4=10,则&等于

(A)12(B)18(C)24(D)42

6.(全国2文)已知数列的通项为=-5〃+2,则其前八项和5“=.

7.(07全国1理)等比数列｛%｝的前〃项和为S,,,已知2s2,35成等差数列，则｛《,｝的

公比为

8.已知包｝是等差数列，%=10,其前10项和儿=70,则其公差〃=（）

A.--B.--C.-D.-

3333

9.已知a,b,c,d成等比数列，且曲线y=M—2x+3的顶点是S，c）,则以/等于（）A.3

B.2C.1D.-2

10.已知｛a,,｝是等差数列，%+2=6，其前5项和S5=10,则其公差4=.

11.（07辽宁理）设等差数列｛4｝的前〃项和为S”，若