高中数学三维设计浙江专版必修1讲义3．2　函数模型及其应用

函数模型及其应用

3.2.1几类不同增长的函数模型

.电击诙加力闸理■一课前自主学习，基稳才能楼高

预习课本P95〜101,思考并完成以下问题

(1)函数y=k)g〃x(a>l)和>=/(">0)在(0,+8)上的单调性是怎样的？

图象的变化规律是什么？

(2)函数》=优(“>1),y=log"X(a>l)和y=x"(">0)的增长速度有什么不同？

指数函数、对数函数和幕函数的增长差异

一般地，在区间(0,+8)上，尽管函数v=lo&x(a>l)和v=x"(〃>0)都是增函数,但它们

的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.

随着x的增大，尸砂(a>l)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=x"(">0)的增长速度，而j=

10gox(a>l)的增长速度则会越来越慢.

因此，总会存在一个xo,使得当x>xo时，就有1。£涵35(a>1,">0).

1.判断(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)函数比y=2"增长的速度更快些.()

(2)当。>1,">0时，在区间(0,+8)上，对任意的x,总有logdVx"V福成立.()

答案：(1)X(2)X

2.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()

A.j=exB.j=lnx

C.y=x2D.y=e~x

答案：A

3.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件

数是定价的一次函数，则这个函数解析式为

答案：y=-1x+50(0<x<200)

字课堂讲练设计，举一能通类题

几类函数模型增长差异的比较

［例1］四个变量乃，J2»山，%随变量X变化的数据如表:

X151015202530

J1226101226401626901

J22321024327681.05X1063.36X1071.07X109

2102030405060

J424.3225.3225.9076.3226.6446.907

关于X呈指数函数变化的变量是.

［解析I从表格观察函数值以，J2,山,%的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于X呈指数

函数变化.

以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.

从表格中可以看出，四个变量刈，J3,山均是从2开始变化，变量W，J2,山，力都是越来越大，

但是增长速度不同，其中变量及的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量以关于X呈指数函数

变化.故填山.

［答案］J2

常见的函数模型及增长特点

(1)线性函数模型

线性函数模型y=Ax+0(«>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.

(2)指数函数模型

指数函数模型y=/(a>l)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度

急剧，形象地称为“指数爆炸”.

(3)对数函数模型

对数函数模型y=logM(a>l)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速

度平缓.

(4)赛函数模型

幕函数y=x"5>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.

I活学活用］

1.有一组数据如下表：

t1.993.04.05.16.12

V1.54.047.51218.01

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()

A.P=log2^B.。=1。私

02/24

t2-1

C.v=2D.v=2t—2

解析：选C从表格中看到此函数为单调增函数，排除B,增长速度越来越快，排除A和D,选C.

______________________________________

［例2］某学校册藏胞蟒酶源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利

润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，

但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y=0.2x,yfogsx,y=1.02。

其中哪个模型符合该校的要求？

［解］作出函数y=3,j=0.2x,j=logsx,y=l.02”的图象(如图所示).观察图象可知，在区间［5,60］

上，y=0.2x,y=l.02”的图象都有一部分在直线j=3的上方，只有y=logsx的图象始终在丁=3和y=0.2x

的下方，这说明只有按模型y=log5X进行奖励才符合学校的要求.

不同函数模型的选取标准

(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；

(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；

(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；

(4)赛函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.

因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.

［活学应用］

2.某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万

公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系式大致可以是()

A.y=0.2xB.j=j^(x2+2x)

.产而D.j=0.2+logi(>x

解析：选C对于A,x=l,2时，符合题意，x=3时，y=0.6,与0.76相差0.16;

对于B,x=l时，y=0.3;x=2时，y=0.8;x=3时，y=1.5,相差较大，不符合题意；

对于C,x=l,2时，符合题意，x=3时，_y=0.8,与0.76相差0.04,与A比较，符合题意;

对于D,x=l时，j=0.2;x=2时，j=0.45;x=3时，j^0.6<0.7,相差较大，不符合题意.

题型三指数函数、对数函数与塞函数模型的泼瑟

［例3］函数Hx)=2,和8(*)=好的图象如图所示.设两函数的图象交于点4(X1，

Jl)»8(X2，J2)>且X1VX2.

(1)请指出图中曲线Cl,C2分别对应的函数.

(2)结合函数图象，判断八6),g(6),f(2016),g(2016)的大小.

［解］(1)6对应的函数为g(x)=x\对应的函数为/Cv)=2*.

(2)因为>/U)>g(l),-2)Vg(2),/(9)<g(9),/(10)>g(10),所以1VXIV2,9VX2<10,所以6Vx2,2

016>M.从图象上可以看出，当xiVxV*2时，/(x)Vg(x),所以/(6)Vg(6).当x>*2时，Ax)>g(x),所以

A2016)>g(2016),又因为g(2016)>g(6),所以火2016)>g(2016)>g(6)>_A6).

［一题多变］

1.［变条件］若将本例中“函数兀0=2'"改为"八*)=3*"，又如何求解(1)呢？

解：由图象的变化趋势以及指数函数和幕函数的增长速度可知：G对应的函数为g(x)=x\C2对应的

函数为<*)=3*.

2.［变设问］本例条件不变，(2)中结论若改为:试结合图象，判断八8),g(8),-015),g(2015)的大

解：因为_/U)>g(l)，｛2)Vg(2),#9)Vg(9),_/U0)>g(10),所以1VXIV2,9VMV10,所以不〈8〈必,

2015>口.从图象上可以看出，当xiVxVm时，A*)〈g(x),所以大8)Vg(8).

当时，兀r)>g(x),

所以/(2015)>g(2015).

又因为g(2015)>g(8),所以人2015)>g(2015)>g(8)>/(8).

由图象轲断指数函数函数和寻函数的面右

根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和第函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自

变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.

课后层级训练，步步提升能力

层级一学业水平达标

1.在一次数学试验中，采集到如下一组数据:

则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a,b为待定系数)(

A.y=a+bxB.y=a+bx

C.y=ax1+bD.J=a+-

解析：选B在坐标系中描出各点，知模拟函数为y=a+Z>*.

2.下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是()

B.j=1000x

C.j=0.4-2x

解析：选D指数函数^=炉，在时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快，选D.

3.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越

04/24

慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（）

A.一次函数B.二次函数

C.指数型函数D.对数型函数

解析：选D由于一次函数、二次函数、指数函数的增长不会后来增长越来越慢，只有对数函数的增

长符合.

4.有一组实验数据如下表所示：

Xi2345

y1.55.913.424.137

下列所给函数模型较适合的是（）

A.j=logaX（a>l）B.y=ar+仇。>1）

C.y=ax2+b（a>d）D.j=logox+/>（a>l）

解析：选C通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来

越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.

5.yi=2x,yi=x2,j3=log2X,当2Vxe4时，有（）

A.J1>J2>J3B.J2>J1>J3

C.J1>J3>J2D.J2>J3>J1

解析：选B在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象（图略），在区间（2,4）内，从上到下图象

依次对应的函数为垃=工2,yi=2x,j3=10g2X,故y2次1>%.

6.小明2015年用7200元买一台笔记本.电子技术的飞速发展，笔记本成本不断降低，每过一年笔

记本的价格降低三分之一.三年后小明这台笔记本还值________元.

解析：三年后的价格为7200X,X衣於哼左.

7.函数y=x2与函数y=jdnx在区间（1,+8）上增长较快的一个是.

解析：当x变大时，x比Inx增长要快，

.•.X2要比xlnX增长的要快.

答案：7=3

8.已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=0（O.5），+儿现已知该厂今年1月、2

月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品的产量为万件.

1=aX0.5+瓦

解析：,.4=。（0.5尸+6,且当x=l时，y=l,当x=2时，y=1.5,则有〜，解得

1.5=aX0.25+P,

[a=~2,

\b=2.

.•,j=-2X(0.5)x+2.

当x=3时,y=-2X0.125+2=1.75(万件).

答案：1.75

9.画出函数大幻=正与函数g(x)=$2—2的图象，并比较两者在［0,+8)上的大小关系.

解：函数八X)与g(x)的图象如图所示.

根据图象易得：

当0WxV4时，贝x)>g(x);

当x=4时，/(x)=g(x);

当x>4时，贝x)Vg(x).

10.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示

为函数0=51og2品单位是m/s,其中。表示燕子的耗氧量.

(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；

(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？

解：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度。=0,

代入题中所给公式可得：0=51og2告，解得。=10.

即燕子静止时的耗氧量是10个单位.

(2)将耗氧量。=80代入题给公式得：

80

v=510g2m=51og28=15(m/s).

即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15m/s.

层级二应试能力达标

1.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y

=人幻的图象大致为()

yyy

/

1上上

Z0欠0Xo1«

BD

解析：选D设该林区的森林原有蓄积量为明由题意可得ox=a(l+0.104y,故y=logi.io4X(x'l),

函数为对数函数，所以函数y=/U)的图象大致为D中图象，故选D.

2.三个变量以，J2,%,随着变量x的变化情况如下表：

X1357911

Jl5135625171536456655

J2529245218919685

山56.106.616.9857.27.4

则关于x分别呈对数函数、指数函数、塞函数变化的变量依次为()

A.ji,yi,y3B.y2,yi,心

06/24

C.%，»，jiD.ji,%，yi

解析：选C通过指数函数、对数函数、幕函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增

长速度越来越慢，变量％随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，以随x的变化符合此规

律；森函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，以随x的变化符合此规律，故选C.

3.四人赛跑，假设他们跑过的路程力(x)(其中后{1,2,3,4})和时间》(》>1)的函数关系分别是力(%)=必，

x

f2(x)=4x,力(x)=logM,fi(x)=2,如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()

A.fi(x)=x2B./>(x)=4x

x

C.力(x)=logMD.f4(x)=2

解析:选D显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是启x)

=2》,故选D.

4.以下四种说法中，正确的是()

A.幕函数增长的速度比一次函数增长的速度快

B.对任意的x>0,x">logax

C.对任意的x>0,ax>log«x

D.不一定存在Xo,当X>Xo时，总有0r>Jf">logaX

解析：选D对于A,施函数与一次函数的增长速度受幕指数及一次项系数的影响，幕指数与一次项

系数不确定，增长幅度不能比较；对于B、C,当OVaVl时，显然不成立.当a>l,〃>0时，一定存在

xo,使得当x>xo时，总有a、>x">log«x,但若去掉限制条件%>1,">0"，则结论不成立.

5.以下是三个变量山，J2,[3随变量X变化的函数值表：

X12345678・・・

J1248163264128256•••

J21491625364964•••

011.58522.3222.5852.8073…

其中，关于X呈指数函数变化的函数是.

解析：从表格可以看出，三个变量V,J2,”都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量)，1的增长

速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量力呈指数函数变化，故填刊.

答案：yi

6.生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化,

在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应_____；B对应_____；C对应______；D对应______.

解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快一慢

一快，应与(1)对应；C,D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗,

故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应.

答案：(4)(1)(3)⑵

7.函数八*)=1.1*,g(x)=lnx+l,的图象如图所

指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1,a,

为分界点).

解：由指数爆炸、对数增长、幕函数增长的差异可得曲线

函数是,八%)=1.1。曲线。2对应的函数是A(X)=XR,曲线C3对

是g(x)=lnx+1.

由题图知，当XV1时，Hx)>Mx)>g(x);

当lave时，a)>g(x)>人(%);

当evxv〃时，g(x)>f(x)>h(x);

当a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x);

当h<x<c时，h(x)>g(x)>f(x);

当c<rvd时，Mx)》x)>g(x);

当时，J(x)>h(x)>g(x).

I.点选做司

8.某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数,

甲选择了模型y=ax2+%x+c,乙选择了模型y=pq「+r,其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,

q,/•都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115,你认为谁选择的模型较好？

+c=52,

解：依题意，得，a-22+b-2+c=54,

_a-32+b-3+c=58,

pz+Z>+c=52,4=1,

解得付T,

MpS4a+2b+c=54,

|_9a+3力+c=58,

《=52,

z

所以甲：y\=x-x+529

(p-qx+r=52①，

又，p・k+r=54②，

[/?,^4^=58③，

②一①，得p・q2—p.qi=2,④

③一②，得p0—pq2=%⑤

⑤得q=2.

将q=2代入④式，得〃=1.

将q=2,p=1代入①式，得r=50,

X

所以乙：J2=2+50.

计算当x=4时，刈=64,,2=66;

08/24

当x=5时，ji=72,也=82;

当x=6时，yi=82,也=114.

可见，乙选择的模型较好.

3.2.2函数模型的应用实例

.电我豆*州段百课前自主学习，基稳才能楼高

预习课本P101〜106,思考并完成以下问题

(1)一、二次函数的表达形式分别是什么？

⑵指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？其中待定系数有哪些限制条件?

(3)解决实际问题的基本过程是什么？

几类常见函数模型

名称解析式条件

一次函

y=kx+b20

数模型

反比例函

y=x+b20

数模型

一般式：

y=ax2+bx+c

二次函

顶点式：勃2

数模型

4ac—b2

+4a

指数函«>0且aKL

y=b^+c

数模型京0

对数函a>0且蚌1,

y=mlogax+n

数模型rn^O

幕函数

y=axn+b畔0,n,l

模型

1.判断(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)在一次函数模型中，系数★的取值会影响函数的性质.()

(2)在塞函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性.()

答案：(1)J(2)7

2.某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：电动自行车0.3元獭，普通自行

车0.2元/辆.若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为()

A.y=0.2x(04W4000)B.y=0.5x(00《4000)

C.j=-0.1x+l200(0^x^4000)D.y=0.1x+l200(0«4000)

答案：C

3.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后

得到细胞的个数y与x的函数关系是()

A.y—2xB.尸2门

C.y=2xD.y=2x+l

答案：D

4.某物体一天内的温度7是时间，的函数7(f)=F—3f+60,时间单位是h,温度单位为。C,f=0时

表示中午12：00,则上午8：00时的温度为℃.

答案：8

字课堂讲练设计，举一能通类题

二次函数模型

［例1］某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销售

量y件之间有如下关系：

销售单价宜元)30404550

日销售量y(件)6030150

(1)在所给坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x,y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系

式y=/U);

(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单

价x为多少时，才能获得最大日销售利润.

［解］⑴如图:

10/24

设,人*)=丘+①

60=304+6,[k=~3,

则,解得

[30=40A+b,[*=150.

所以大x)=-3x+150,30WxW50,检验成立.

(2)P=(x-30)-(-3x+150)=-3x2+240x-4500,30WxM50.

240

因为对称轴x=--Q^Q=40S[30,50],

所以当销售单价为40元时，所获日销售利润最大.

OM©二次函数模型应用题的4个步骤

(1)审题：理解题意，设定变量x,J.

(2)建模：建立二次函数关系，并注明定义域.

(3)解模：运用二次函数相关知识求解.

(4)结论：回归到应用问题中去，给出答案.

[活学活用]

1.据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成

月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低

为17.5万元，为二次函数的顶点.

(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系.

(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？

解：⑴由题可设y=a(x-15)2+17.5,将x=10,y=20代入上式，

得20=25。+17.5.

解得a~W

所以y=0.1x2—3X+40(10WXW25).

(2)设最大利润为Q(x),

则Q(x)=1.6x—j=L6x—(O.lx2-3x+40)

=-0.1(x-23产+12.9(10^x^25).

因为x=23G[10,25],

所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.

分段函数模型

[例2]提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速

度。(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成

堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当

20WxW200时，车流速度。是车流密度x的一次函数.

(1)当0WxW200时，求函数o(x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位:辆/小时)/(x)=xMx)

可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)

［解］(1)由题意，当0WxW20时,矶x)=60;

当20Wx/200时，设“幻=如+儿

1

〃=一§,

200a+Z>=0,

再由已知得，,解得<

20a+6=60,「200

'=亍

故函数o(x)的表达式为

60,0&W20,

。(*)=<1

丁20()—x?,20<x^200.

(2)依题意并结合(1)可得

60x,0京xW20,

{x)=11

TX?200-X?,20cx《200.

当0WxW20时，八x)为增函数，故当x=20时，其最大值为60X20=1200;

当20Vx近200时，_/U)=；x(200—x)=—;(x-lOO"吗叫W里号"当且仅当x=100时，等号成立.

所以，当*=100时，/U)在区间(20,200］上取得最大值雪蛆.

综上，当x=100时，/U)在区间［0,200］上取得最大值弛罗打3333.

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.

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构建分段函数模型的关键点

建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨

论，从而写出函数的解析式.

［活学活用］

2.某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：y服药后每

毫升血液中的含药量y(jig)与时间f(h)之间近似满足如图所示的曲线.

(1)写出服药后y与f之间的函数关系式；硝行：

(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4pg时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午

7：00,问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？

(6t,00W1,

解：(1)依题意得?=

IV’WlO.

220

⑵设第二次服药时在第一次服药后fi小时，则一?i+寸=4,解得「4,因而第二次服药应在11:

12/24

00.

设第三次服药在第一次服药后打小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有一

；勿+普一孤一4)+号=4,解得打=9小时，故第三次服药应在16:00.

设第四次服药在第一次服药后办小时S>10),则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第

220220

二、第三次的和一副办—4)+§一不白-9)+§=4,解得力=13.5小时，故第四次服药应在20:30.

题型三

［例3］一种放界践斜飕觥窿为500g,按每年10%衰减.

(1)求f年后，这种放射性元素的质量w的表达式；

(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1).

［解］(1)最初的质量为500g.

经过1年，w=500(l-10%)=500X0.9;

经过2年，卯=520X0.92；

由此推知，r年后，w=500X0.9(.

(2)由题意得500X09=250,即

0.4=0.5,两边取以10为底的对数，得

lg0.9z=lg0.5,即fig0.9=lg0.5,

,"一lg0.9〜

即这种放射性元素的半衰期为6.6年.

-OBO©-----------------

指数函数模型的应用

在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常

可以表示为y=N(l+p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.

［活学活用］

3.某种产品的年产量为“，在今后机年内，计划使产量平均每年比上年增加0%.

⑴写出产量y随年数x变化的函数解析式；

(2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求p.

解：(1)设年产量为y,年数为x,则y=a(l+p%尸，

定义域为{x|0式且xGN*}.

1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格

与住房率之间有如下关系：

每间每天定价20元18元16元14元

住房率65%75%85%95%

要使收入每天达到最高，则每间应定价为（）

A.20元B.18元

C.16元D.14元

解析：选C每天的收入在四种情况下分别为

20X65%X100=l300（元），18X75%X100=1350（元），16X85%X100=1360（元），14X95%X100

=1330（元）.

2.若等腰三角形的周长为20,底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为（）

A.y=20—2x（xW10）B.j=20—2x（x<10）

C.J=20-2X（5^X^10）D.j=20-2x（5<x<10）

解析：选D由题意，得2x+y=20,.,.j=20-2x.Vj>0,.\20-2x>0,...xV10.又1•三角形两边

2x>y,

之和大于第三边，二，解得x>5,.\5<x<10,故选D.

[y=2d—2x,

3.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y=

（4x,14W10,xGN,

Jlx+lO,10<x<100,xGN,其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60,则该公

[1.5x,x^lOO,xGN,

司拟录用人数为（）

A.15B.40C.25D.130

解析：选C若4x=60,则x=15>10,不合题意；若2x+10=60,则x=25,满足题意；若1.5x=

60,则x=40V100,不合题意.故拟录用25人.

4.某种动物的数量y（单位：只）与时间x（单位：年）的函数关系式为^=。1082（X+1）,若这种动物第1

年有100只，则第7年它们的数量为（）

A.300只B.40（）只

C.500只D.600只

解析：选A由题意，知100=alog2（l+l）,得a=l（）0,则当x=7时，j=1001og2（7+l）=100X3=

300.

5.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本（单

位：万元）为C（x）=52+2x+20.已知1万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商

品数量为（）

A.36万件B.22万件

C.18万件D.9万件

解析：选C•.•利洞L（x）=20x-C（x）=一;（*-18/+142,.,.当x=18时，L（x）取最大值.

6.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产.已知该生产线连续

14/24

生产〃年的累计产量为1A〃)=3"(〃+1)(2"+1)吨，但如果年产量超过15()吨，将会给环境造成危害.为保

护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是年.

解析：由题意可知，第一年产量为QI=；X1X2X3=3;以后各年产量为an—f(n)—f(n—1)—\n(n+

1)(2«+1)-1n-(n-1)(2n-1)=3n2(neN*),令3/W150,得巾?14W7,故生产期限最长为7

年.

答案：7

7.某商人购货，进价已按原价a扣去25%,他希望对货物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍

可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是

解析：设新价为九则售价为以1-20%).•.•原价为a,

进价为a(l—25%).依题意，有力(1-20%)一。(1一25%)=方(1—20%)X25%,化简得匕等，.力

=/>X20%-x=|aX20%-x,即y=%(xWN*).

答案：尸%xWN*)

8.某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每

月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提

下，为获得最大利润，销售价应定为元/瓶.

解析：设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y=(x-3)(400+^^X40)=80(x-3)(9-x)=-80(x

-6)2+720(x23),所以x=6时，y取得最大值.

答案：6

9.为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明：假设课桌的高度

为ycm,椅子的高度为xcm,则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：

第一套第二套

椅子高度x(cm)40.037.0

桌子高度j(cm)75.070.2

(1)请你确定y与x的函数解析式(不必写出x的取值范围)；

(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？

解：(1)根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数解析式为y=Ax+b(AW0).将符

合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式，

40*+6=75,仅=1.6,

得彳,所以J所以y与x的函数解析式是y=1.6x+U.

,37*+Z>=70.2,9=11,

⑵把x=42代入⑴中所求的函数解析式中，有7=1.6X42+11=78.2.所以给出的这套桌椅是配套的.

10.某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金

每增加60元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护

费40元.

(1)当每辆车的月租金定为3900元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？

解：⑴租金增加了900元，900+60=15,

所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆.

(2)设租金提高后有x辆未租出，则已租出(100-x)辆.

租赁公司的月收益为j元，

y=(3000+60x)(100—X)—160(100—x)—40x,

其中xW[0,100],xGN,

整理，得>=-60必+3120x+

=-60(x-26)2+,

当x=26时，y=,

即最大月收益为元.

此时，月租金为3000+60X26=4560(元).

层级二应试能力达标

1.某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收

0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费()

A.1.00元