新教材2021秋高中数学苏教版必修第一册学案：4.2.1对数的概念

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4・2对数

4.2.1对数的概念

课不呈

一心理解对数的概念

标准

》基础认知•自主学习《

概念认知

1.对数的概念

⑴定义：一般地，如果ab=N(a>0,aHl),那么就称b是以a为底N

的对数，记作1。2囚=b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数.

⑵特殊对数：

常用对数：以10为底，记作31；

自然对数：以e为底，记作InN.

⑶指数与对数的关系：

b

当a>0,a，l时，a=N<^>b=logaN.

2.对数的性质

⑴负数和。没有对数;

(2)logal=0；

(3)logaa=1.

3.对数恒等式

alogaN=N.

自我小测

1,把对数式x=log232改写为指数式.

X

对数式x=log232改写为指数式为2=32.

答案：2X=32

2.有下列说法：

①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以

10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数.

其中正确的个数为.

①③④正确，②不正确，只有当a>0，且aRl时，ax=N才能化成对

数式.

答案：3

2x-3

3.(教材二次开发：练习改编)若log,3-^—=1,则x=；

若log3(2x-1)=0,则X=.

2x-32x-3

若log3-3-=1，则-3-=3,即2x-3=9,x=6；若log3(2x-

1)=0,贝!J2x-1=1,即x=1.

答案：61

4.(教材二次开发：练习改编)若IO"1=小，则m=.

因为，则m=lg小.

答案：1g小

5.若log2(log3x)=log3(log4y)=log4(log2z)=0,则x+y+z的值为

因为log2(log3x)=0,所以log3x=1,

所以x=3,同理y=4,z=2,所以x+y+z=9.

答案：9

6.若对数In(x2-5x+6)存在，则x的取值范围为

因为对数In(x2-5x+6)存在,

所以x2-5x+6>0,所以解得x>3或x<2,

即x的取值范围为：(-00,2)U(3,+8).

答案：(…,2)U(3,+8)

7.若a=k)g23,求2a+2-a的值.

因为a=log23，所以2a+2-a=210g23+2-(log23)

c1c110

=3+示数=3+]=y•

区学情诊断•课时测评今

基础全面练

一、选择题

1.若对数式log(t-2)3有意义，则实数t的取值范围是(

A.[2,+oo)B.(2,3)U(3,+oo)

C.(-co,2)D.(2,+oo)

选B.要使对数式log(t-2)3有意义，

ft-2>0

需1，解得t>2且度3,

[t-2W1

所以实数t的取值范围是(2,3)U(3,+8).

2.已知fe)=x,则f(3)=()

3e

A.log3eB.In3C.eD.3

选B.令ex=3,所以x=In3,所以f(3)=In3.

1

z\

3=()

OS81\z

11

A4B4cD-

-4--4

选B.令k)g3酉=t，则3，=的=3-4,所以t=-4.

1

2

4.已知log7[log3(log2X)]=0,那么X等于()

A.oB.~rC.~rD.七

3643

选C.由条件知，log3(log2x)=1,

-i

所以log2x=3,所以x=8,所以x2二

5.方程2嘀*=(的解是()

A.x=B.x=*C.x=^/3D.x=9

选A.因为210g3X=(=2-2,

2

所以log3x=-2,所以x=3-=1.

6.(2021.上海高一检测)若loga^/b=c(a>0且a#l,b>0),则有()

A.b=a7cB.b7=ac

C.b=7acD.b=c7a

选A.因为loga^/b=c,所以ac=^/b,所以(a。)，=(y/b)7,所以a7c

=b.

7.(多选)若logx+i(x+1)=1,则x的取值范围可以是()

A.(-1,+8)B.(-1,0)

C.(-oo,-1)D.(0,+oo)

选BD.因为logx+i(x+l)=l,

X+]=X+1i

所以<x+l>0,所以x>-1且x#0.

8.(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是()

A.e°=1与In1=0

B.Iog39=2与9^=3

-1111

C.83=/与10g8]=-W

D.log77=17'=7

2

选ACD.log39=2化为指数式为3=9.

二、填空题

9.16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，

改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程

中，为简化计算发明了对数.直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发

b

现了指数与对数的互逆关系,BPa=N=b=logaN.现在已知a=log23,

则2a二.

a

由a=log23，化对数式为指数式可得2=3.

答案：3

3

10.e°+210g33+42=.

原式=1+2+8=11.

答案：11

三、解答题

11.(1)将3-3==化成对数式.

(2)Iog4x=，求x.

⑶已知10g2(10g3X)=1,求X.

⑴因为3-=表，所以log3g=-3.

3_2/3、1

22x3

⑵因为Iog4x=-2，所以x=4=2-2=2-=g.

(3)因为log2(log3x)=1,

所以log3x=2,即x=32=9.

12.求下列各式中的x值：

32

(l)logx27=2；(2)log2x=-；

(3)x=logo?!；(4)x=logj16.

2

32

(1)由logx27=］，可得x2=27,

22

所以x=27§=(33)*=32=9.

⑵由log2X=-g，可得x=23

112

(3)由x=log27g,可得27x=g,所以33x=3-2,所以x=-.

(4)由x=logi16,可得(J=16.所以2-x=24,所以x=-4.

2

综合突破练

一、选择题

1.已知2x9x-28=g|X，则x=()

A.log37-log32B.logo4

C.log34D.log37

选C.2x9x-28=&*,

所以2X(3X)2-28-3X=0,

即©x-4)(23+7)=0,

解得=4,则x=log34.

2.已知x2+y2-4x-2y+5=0,贝(Jlogx(yx)的值是()

A.1B.0C.xD.y

【解题指南】先对方程配方，求出x,y后再利用对数性质求值.

选B.由X?+y2-4x-2y+5=0,

则(x-2)2+(y-l)2=0,所以x=2,y=1,

x2

所以logx(y)=log2(l)=0.

a--B

3.若10。=2,P=lg3,则1002=()

124

A.B,C.1D.g

选D.因为。=lg3,所以10B=3

6F;I'Jmna4p_10°a(10°尸_4

所以100---j--10p-3-3-

1002

二、填空题

4.logVI81=.

t1t

设log/81=t，贝!J(小)=81,32=34,2=4,t=8.

答案：8

5.若log2[log4(log3x)]=log3[log4(log2y)]=1,则x+y=.

由题意，log4(log3x)=2,

得log3x得6,得X=316;Iog4(log2y)=3,得log2y=64,得y=2日.所

以*+丫=316+2”

答案:3I6+2M

111

6.若loga2=m,loga3=n,则a?"+二.

m

因为loga2=m,所以a=2,

所以a2m=4,

又因为loga3=n,

所以a=3,

所以a2m+n=a2m-an=4x3=12.

答案：12

7.方程log3(9x-4)=x+l的解为x=.

因为1唯(9*-4)=x+1,所以9*-4=3*+1,

所以(3X)2-33-4=0,

XX

所以3=4,x