高中数学课时检测9空间中的距离含解析新人教B版选择性必修第一册

课时跟踪检测（九）空间中的距离

［A级基础巩固］

1.已知平面a的一个法向量为n=（—2,—2,1）,点［（-1,3,0）在平面。内，则

点。（一2,1,4）到平面a的距离为（）

A.10B.3

810

C.TD.

OO

~PA•nI—2—4—410

解析：选D点尸到平面。的距离d=———=r-——=.

Ini小+4+1T3

2.如图所示，在长方体ABCDA、BCD\中,AB=BC=2,AA产木,2"分别是平面A、BCD\,

平面885的中心，则£,厂两点间的距离为（）

解析：选c以点力为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点£（1,1,^2）,

3.正方体4KZM因G4的棱长为1,则点4到平面6必的的距离为（）

A.小B.2

C也°趣

°，22

解析：选C以。为原点，DA,DC,㈤的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建

立空间直角坐标系(图略)，则4(1,0,0),<7(0,1,0),6(1,1,0),〃1=(一1,1,0),

46=（0,1,0）.容易证明4c是平面6曲庞的一个法向量，于是力到平面69龙的距离为

|左•下I

L.亚

d—

7c\一木_2.

4.如图所示，在平行六面体4?缪/'B'CD'中，AB=\,AD=2,AA'=3,ABAD=

90°,ABAA'=/DAA'=60°,则47'的长为()

A.y/13B.m

C..733D.y/43

解析：选B・・•布*=AB+BC+CC,

.•.酒=下+京+F)2

1►,►---------►'►1,►'►---------►',A---------►

=AB'-+BC-+CC'+2(AB•BC+AB•CC+BC-CC)

=12+22+32+2(0+1X3COS60°+2X3cos60°)

9

=14+2X-=23,

I犷|=4，即R的长为修.

5.已知正方体484〃的棱长为2,点£是43的中点，则点/到直线座的距离

是（)

6季4击

A.B.

55

2乖郊

C.I).

55

解析：选B建立空间直角坐标系如图所示,

5

yA

则BA=(0,2,0),定=(0,1,2),

|~BA•~BE

设4ABE=6,则cos1/----1_—近

2y[5~5

IBABE\

2

sin0=y/l-cos2°=5

故/到直线龙的距离

2

4•2X4

S1n5-

6.已知平行六面体〃中，以顶点力为端点的三条棱的棱长都等于2,且两

两夹角都是60°,则4G两点间的距离是.

解析：设U=a,AD=b,AAi=c,易得4G=a+b+c,则I4G「=[q♦=(a

+b+c)•(a+b+c)ua'+Za•b+2a•c+2b•c+b-+(：2=4+4+4+4+4+4=24,所以

1ZTI=2乖.

答案：2m

—*■3—►1—►

7.已知棱长为1的正方体四"加第，若点P在正方体内部且满足10=]AB+-AD

+|~AE,则点P到四的距离为.

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则为(1,0,0)+1(0,1,0)+1(0,

4/t5

答案：g

8.如图，在三棱柱/舐45G中，所有棱长均为1,且底面则点台到平面

ABQ的距离为________.

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，

则/(平，3，0),8(0,1,0),5(0,1,1),G(0,0,1),则有C1L——

gI，-lj,C^=(0,1,0),05=(0,1,

设平面的一个法向量为n=(x,y,1),

fGA•n=-^x+\y—1=0,

则有J22

IC\B,n=y—1=0,

解得n=(坐1,1),则所求距离为二U

合茶：7

9.已知在正方体力;04562中，E,尸分别是GGOM的中点，求点力到以•r的距离.

解：以〃点为原点，DA,DC,如所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系

如图所示，设〃4=2,则4(2,0,0),£(0,2,1),F(l,0,2),则如=(1,一2,1),

FA=(1,0,-2).

I节=、T+(-2)二/,

~FA•后=1义1+0义(一2)+(—2)Xl=-1,

FA在以上的投影长为」——=用.

|行|乖

所以点力到跖的距离

10.在长方体4504644中，AB^AA^AD^\,E,尸分别是44,的中点，P是

BD上一点,小〃平面比D.

AD

B,C,

(1)求露的长；

(2)求点？到平面的距离.

解：(1)以4为原点，48,A心,44所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标

系，如图所示.

/B、C,

X

8(1,0,1),。(0,2,1),F(l,1,1),f(0,1,0),G(l,2,0),

--►--►--►--►--►

设A,1),BP=入BD,AG[0,1],£»=(0,1,1),£G=(1,1,0),BD

—(—1,2,0),

则赤=(a—Lb,0)=(一32Af0),

・••户(1—月，24,1),万=(4,1-2A,0),

设平面〃的法向量n=(必y,z),

n-ED=y+z=0,

则j取x=L得n=(L—1,1),

、n•EC\=x+y=0,

■:PF〃斗面EGD,

：.~PF•n=4-1+24=0,

解得,

...点P到平面£G〃的距离:

|乐•n|2273

d=屈飞=3

[B级综合运用]

11.如图所示，在正四棱柱/仇力-484〃中，/4=2,AB=BC=1,动点只。分别在线

段G2北上，则线段做长度的最小值是()

亚

A.

3

2

C.

3

解析：选C建立如图所示的空间直角坐标系，则/(I,0,0),8(1,

1,0),C(0,1,0),G(0,1,2).

根据题意，可设点户的坐标为(0,A,2A),4e[o,1],点0的

坐标为(1—〃，H,0),HG[0,1],

贝ijPQ=7(1-〃)-+(〃一1)-+44”

线段闾的长度取

12.(多选)如图所示，在正三棱柱/处46G中，然=2a,BB、=3a,〃是4G的中点,

点厂在线段44上，若C7U平面即W,则“■的长为()

A.aB.小a

C.2aD.2"\/3a

解析：选AC:血平面&ZF,C.CFVDF.

在矩形心筋4中，设AF=m.

Ca=D^+CI?=cd\+DCX=10a,①

Cf?—ia+nf,DF1—(3a—/»)2+a2,②

联立①②得m=a或m=2a,则力尸的长度为a或2a.

13.如图所示，在已知直四棱柱ABC»ABCR中,底面为直角梯形，AB//CD,且N40C

=90°,AD=\,CA邓,BC=2,加尸2,E是CG的中点，则43到平面45E•的距离为

解析：如图，以〃为原点，为、DC、勿।的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立

空间直角坐标系，则4(1,0,2),4(1,0,0),£(0,小，1),

过C作四的垂线交46于凡易得圻=木,2小，0),

.-.1^=(0,2小,0),屈=(一1,-73,1).

设平面48£的一个法向量为n=(x,y,z),

n•AB=0,

则由j_

[n•BE=0,

.*.y=0,x=z,不妨取n=(l,0,1).

・・,就=(0,0,2),

.•.45到平面■的距离d=」=泉=72.

又用(1,2乖，2),...密=(0,0,2),屈=(1,4，0).

设平面aX、的一个法向量为n'=(/,y',z')易得x'=fy',z'=0,取

n'=(y/3,—1,0),n'与n所成的角为0,

n•n，y[3y[&

则cos0

n|•In'|一小X2~4

答案:y[2中

14.如图，四棱锥8月腼中，底面46a9,AB//CD,AACQ1,/胡片120°,Z

4加90°.

(1)求证：8人平面为G

(2)若二面角'合4的余弦值为廖，求点4到平面的距离.

□

解：⑴证明：•.•必，底面/用力，阳=平面/1时,

：.PALBC,

,：ZACB=90°,：.BCVAC,又所/仁4,

二比二平面PAC.

⑵设/〃=/;,取5的中点£,连接/反则/反LG9,反1/8.又为_L底面/附9,.•.为

LAE,PALAB,故建立如图所示的空间直角坐标系，则4(0,0,0),

A0,

1,0),

设平面如C的法向量m=(xi,y\,zi),

VI,i

ni•=0,即2石+产—"=0,

则〈

.ni•DC=0,.71=0,

取Xi=/?,••rii—h,0,

由(1)知平面21c的一个法向量为BC=0

cos〈ni,BC}|=

解得力=也，

同理可求得平面W的一个法向量m=(3,4，2),

•••点/到平面续的距离为

,!~AP'n；2m_^3

d~-k一—4一2

［C级拓展探究］

15.如图所示，在四棱锥A4伙为中，侧面必。，底面46W,侧棱川=昨衣,底面

四切为直角梯形，其中比〃力〃，ABYAD,AD=2AB=2BC=2,|,«］：线段］。上是否存在一点

Q使得它到平面板的距离为半？若存在，求出穿的值；若不存在，说明理由.

乙xJU

解：取助的中点。，连接PO,0C.在/XPAD中,,:PA=PD,：.P0

LAD.

又侧面为。_L平面ABCD,平面PADC\平面ABCD=AD,

平面ABCD.

建立如图所示的空间直角坐标系，易