高中数学必修二 期考测试（基础）(含答案)

期中考测试（基础）

一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）

1.（2021•四川资阳）已知复数卷

=()

1-1

A3in13i33i1i

C.——D.一+一

22222222

【答案】A

2-i_(2-i)(l+i)3+i_3i

【解析】1-i一(1-i)(l+i)-2一T+".故选：A.

22

2.（2021•四川资阳）已知平面向量；（L2）,b=（-2,t）.若落区，则f=（）

A.-1B.-2C.-3D.-4

【答案】D

【解析】因为向量：=。，2）,否=（—2/）且入区，所以lxf=2x（-2）,解得：LY.故选：D

3.（2021•广东•普宁市华侨中学）已知非零向量海满足同=烟=0且（万+5）,则£与3的夹

角为（）

71-兀「71c71

A.-B.-C.-D.一

6432

【答案】D

【解木斤】（2G-l（a+b）^2a-bj-（a+b）=2d2+ab-b=2+万•5-2=0,

■-a-b=0,£与石的夹角为gIT，故选：D

2

4.（2021•河南三门峡）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75。，30°,此时气

球的高是60m,则河流的宽度8c等于（）

A.240(V3-l)mB.18O(0-l)mC.120(百-l)mD.30(g+l)m

【答案】C

【解析】如图所示,

A,30°

陷厂一

60ml\、、、、

心…一二

DBC

过点4作力〃，必，且交⑦的延长线于点。，历60°,/期ZM5°,

...tan60°-tan45°^3-1,/r

tanl5°=tan（z60°-45°oX）=---------------------=--产=2—J3.

'7l+tan60°tan45°l+g

在/中，0>/aan60°=60石，在股△/如中，仍=4aanl5°=60（2-6），所以BOCD~BD=

60G-60（2-g）=120（6-1）（m）.

故选：C

5.（2021•河南南阳）在4人8c中，a,b,c分别是角A,B,C对边的长，根据下列条件解三角形，有

两解的是（）

A.a=7,匕=14,4=30°B.。=30,6=25,A=l50°

C.a=72,b=5O,A=135°D.a=30,6=40,A=26°

【答案】D

214

【解析】根据正弦定理：三=名

T^77，sinB=l,8=90。，有一解,A不满足;

sinAsinB

2

3025zx

硒，而5=透巩。,71都有斛B不满足;

£

6

2

72=50

25>/2,Befo兀ol有一解，C不满足;

&sinB,sinB=

724

2

3040♦X。.4sin2604sin30°2c

---------=-------,sin26<sin8o=---<---=-,0<ZB<154°,有两解,D满足.

sin26°sinB

故选：D.

（。•安徽•六安一中）若干白会）是纯虚数，满足（

6.221z?Z2a+-p=5,则复数Z2在复平面内对

应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

4-1=0

［解析］【『霜是纯虚数,故.a=\此时Z[=-i

1+1(1+1)1件1-1)I-"2)!a+1NO

z,(a+l—zj=5,所以Zz(2+i)=5,即z2=鲁=/(,、=2—i,所以复数z?在夏平面内对应的点为

2+1(2+i)(2-i)

(2,-1)位于第四象限.故选：D

7.(2021•河南省实验中学)在AABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,已知3=45。，a=2五，

为使此三角形有两个，贝伊满足的条件是()

A.2cz><20B.0</?<2C.0<b<272D.夜或分=2

【答案】A

【解析】如下图所示：

因为AABC有两解，且8=45。，4=2夜，则asinB<6<a,即2<匕<2&.故选：A.

8.(2021•黑龙江•铁人中学)定义空间两个向量的一种运算£合石=忖卡卜山«石)，则关于空间向量上述

运算的以下结论中恒成立的有()

A.

B.(a®石)®c=

C.(a+q<8)c=(a(8)c)+(B8c)

D.若。二(%,y),8二(和力)，则aM=|%y2fl

【答案】D

【解析】A.(>l«)®=|>l6z||^|sin<A,a,b>,

4>0时，<Aa,b>=<a,b>,(/la)®b=/l|67||5|sin<a,b>=2(ti0S),

"=0时,2(a®5)=0,(2a)06=0,成立，

%<0时,<Aa,b>=7r-<a,b>,sin<Aa,b>=sin(乃一<a,b>)=sin<a,b>

(Aa)®b=-21^||&|sin<a,b>=-/t(a®b),

综上，A不恒成立；

B.£丽是一个实数，(£瓯)③2无意义，B不成立；

C.若a=(0,1),石=(1,0),2=(1,1),则£+〃=(□),

<^+S,c>=0,(n+Z?)0c=pz+^||c-|sin0=V2xV2x0=0,

--71:'--71

<a,c>=一,vb,c>=一,

44

(a③c)+0®c)=Ix>/2xsin?+1x&xsin?=2,

(3+5)③2x(3③")+(很凶,,C错误；

D.若”=(占,乂)，b=(^x2,y2),则卜卜Qx；+y；,|^|=yjx1+y；,

COS<斓>=,中2+中

Jx：+y：x&+£

2

sin<a,h>=1/1-cos<a,h>=h(书+丫跖>

V(x；+y；)@+£)J(x；+y；)(x；+£)

所以£0B=忖欠sin<ayb>=\xiy1-x2y\,成立.

故选：D.

二、多选题（每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）

9.（2021•福建•莆田第十五中学）若复数2=衿，则（）

1-1

A.z的实部与虚部之差为3B.|z|=V17

C.z=4+iD.z在复平面内对应的点位于第四象限

【答案】BCD

(3-5i)(l+i)8-2i

【解析】z=4-zz的实部与虚部之差为5,故A错,

22

|2|=^4+(-1)=717,故B对，z=4+z,故C对,

z在复平面内对应的点位于第四象限,故D对,故选：BCD.

10.（2021•江苏省郑集高级中学高一月考）已知M为AABC的重心，。为BC的中点，则下列等式成立的

是（）

A.AD=^-AB+\ACB.MA+MB+MC=0

22

___2__i_____i__2__

C.BM=-BA+-BDD.CM=-CA+-CD

3333

【答案】ABD

【解析】如图，根据题意得用为A。三等分点靠近。点的点.

对于A选项，根据向量加法的平行四边形法则易得而=1而+故A正确；

22

对于B选项，彼+砒=2砺，由于M为AD三等分点靠近。点的点，宓=-2而，所以何+砺+砒=6,

故正确；

对于C选项，BM=BA+-AD=BA+-^BD-BA^=-BA+^Bb,故C错误；

对于D选项，GM=CA+|AD=C4+|（C£>-C4）=1C4+|CD,故D正确.

故选:ABD

AB

11.（2021•全国•高一单元测试）下列命题中，正确的是（）

A.在A/WC中，A>B,sinA>sinB

B.在锐角AA3C中，不等式sinA>cosB恒成立

C.在AA8C中，若acosA=bcos8,则AMC必是等腰直角三角形

D.在A48C中，若8=60°,b2=ac,则A48c必是等边三角形

【答案】ABI）

【解析】对于A,由A>3，可得：a>b,利用正弦定理可得：sinA>sinB.正确;

TT

对于5,在锐角AABC中，A,Be（0,-）,

sinA>sin(--B)=cosB,因此不等式sinA>cosB恒成立,正确；

2

对于C,在AABC中，由.cosA=bcosB,利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB.

sin2A=sin2B,

・..A,B£(0,/r),

.•.2A=23或2A=2加一28,

、7C

;.A=B或A+B-,

2

...AABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误.

对于£>，由于3=60",b1=ac>由余弦定理可得：h2=ac=a2+c2-ac,

可得(a-c)2=0,解得a=c,可得A=C=B=60°,故正确.

故选：ABD.

12.(2021•广东•东莞市新世纪英才学校)已知i为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是()

A.3+i>2+iB.4+(a+2)i(aeR)为纯虚数的充要条件是a=2

C.z=(l+i)2(l+2i)对应的点为(-4,2)D.z=老的模为平

【答案】BCD

【解析】对于A,因为虚数不能比较大小，故A为假命题；

对于B,q2-4+(“+2)i(aeR)为纯虚数，

\2A

所以；+[])，解得。=2，当。=2时，〃_4+(a+2)i(awR)为纯虚数,

所以4+(4+2)MwR)为纯虚数的充要条件是〃=2,故B真命题;

对于C,因为z=(l+i)2(l+2i)=2i(l+2i)=T+2i,

所以z=(l+i)，l+2i)对应的点为(-4,2),故C为真命题;

1+i(l+i)(2+i)1+3i

对于D,2^i-(2-i)(2+i)-^-所以|z|=,故D为真命题.

故选：BCD.

三、填空题(每题5分，4题共20分)

13.（2021•吉林长春）已知复数z=l+i（i是虚数单位），贝»z|=.

【答案】V2

【解析】由z=l+i,得|2|=庐下=应；故答案为：V2.

14.（2021•河南三门峡•高三月考（文））设九B为单位向量，且它叫=6,则'+』=.

【答案】6

【解析】因为B为单位向量，且归-q=6,

所以|力『=3,即？一2泊+抹=3,所以标=一；.

所以12a+4=J"+0=J（2a+t>）=>/£+4；:+%=，4-2+1=6.故答案为:@.

15.（2021•海南•北京师范大学万宁附属中学高三月考）如图，为测量山高/,选择A和另一座山的山顶归山

为测量观测点.从M8=MC点测得“ABC点的仰角APOM,C点的仰角/C43=45。，以及/M4C=75。；

从C点测得/MC4=6O。，已知山高3c=100m,则山高MV=m.

【答案】150

【解析】在直角AABC中，ZC4B=45°,BC=100m,所以AC=100&m,

在AA例C中，ZMAC=75,ZMCA=60,从而NM4C=45，

由正弦定理得4MACsin6°=100^m,

sin45s

在直角中，AM=100>/3m,AMAN=60,

MNr-

又由-；77=sin60,可得MV=10()Kxsin60=15()m.

AM

故答案为：150

16.(2021•江西赣州)AA3C的内角/、B、。的对边分别为a、b、c,已知ccosB+^AinC-〃=0,设〃

为AB边的中点，若。。=夕且63。=23。，则8C=.

【答案】2

【解析】由正弦定理可得：sinCcosB+—sinBsinC-sinA=0.又在三角形中，sinA=sin(8+C),

3

/o

/.sinCeosB4--^-sinBsinC=sin(B+C)=sinZ?cosC+cosBsinC,——sinBsinC=sin3cosc.

33

乂在三角形中，sinB>0»/.^sinC=cosC»tanC=V3.'**Ce(0,zr),C=y.

由点〃为AB的中点，CBC=2BD,得6BC=AB即G〃=C,

而c2=a2+廿-ab得廿一ab-2a2=0得/?=2。或\=-«(舍去)，

/.cosB=a'+C~~b'=0,则8=工，在△5CD中有，CD=不由BC=2BD,B=%,

2ac22

则BO?+BC?=CD?,解得BC=2,即a=2.

故答案为:2.

四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)

17.(2021•全国•高一单元测试)实数m取什么值时，复数z=(/+5m+6)+(疡-2加-15"

(1)与复数2-12，相等

(2)与复数12+16/互为共轨复数

(3)对应的点在x轴上方.

【答案】(l)m=-l(2)m=l(3)m<-3或m>5.

【解析】(1)根据复数相等的充要条件得

+5m+6=2

解得m=-1.

-2,??-15=-12

(2)根据共辗复数的定义得

m1+5m+6=12

解得m=l.

m2-2m-15=-16

(3)根据复数z的对应点在x轴的上方可得m2—2m—15>0,解得m<—3或m>5.

18.(2021•山西怀仁)在448。中，内角4、B、。的对边分别是a、b、c,ZA=p6=5时.

⑴若。=7,求c；

(2)记。=成，AABC是直角三角形，求A的值.

【答案】(1)8(2)%=3或%=2叵

33

【解析】(1)在AABC中，由余弦定理得°2=〃+。2-劝ccosA,A72=52+c2-2x5ccosy

即C2-5C—24=0，C>0,所以C=8.

(2)AABC是直角三角形，

若NB=—,则tanA=—=tan—=乖>,k=—=,

2c3a3

若NC=[,则sinA=g=sin?=立，k=巫.故k力或k二”.

19.(2021•全国•高一课时练习)要将一件重要物品从某港口。用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇

出发时，轮船位于港口0北偏西30°且与该港口相距20海里的4处，并正以30海里/B寸的航行速度沿正东

方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里的航行速度匀速行驶，经过1小时与轮船相遇.

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最短，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/忖，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，

使得小艇能在最短时间内与轮船相遇，并说明理由.

【答案】(1)306海里/W；(2)航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里H寸，理由见解析.

【解析】(1)设相遇时小艇航行的距离为s,

贝Is=7900/2+400-2x30/x20xcos(90o-30°)

=4900/-6()07+400=/00错)+300,

,10后

故当时，海里，y=1=30石，

33

即小艇以306海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最短.

(2)设小艇与轮船在6处相遇，如图所示,

贝!!//N00均00产一2X20X30fXcos（90。-30°）,即J=900-竿+等.

'.'0<^r^30>900-600T■—^W900,即-y—°W0,解得.又匕—-时，(z=30.

tttt33

2

故『40时，，取得最小值，且最小值等于

此时，在[\0AB中，有OA=OB=AB心,

故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里丽.

此时小艇能在最短时间内与轮船相遇.

20.（2021•浙江•高一单元测试）已知在△ABC中，cosA=—,〃也c分别是角ARC所对的边.

3

⑴求tan2A；

'，c=2A/2，求△A3c的面积.

（2）若sin^+B

【答案】（1）2及；（2）半.

【解析】（1）因为cosA=半且Aw（0,1）,sinA=A/1-cos2A=等»

.sinAV2

・・tanA4=-------=—

cosA2

-42tanArr

,・tan2A=-------z-=2j2

1-tan2A

]=述，得八述

⑵由sinj^+Bcos

）33

由Bw（0,乃），所以sin8=Jl-cos?B=—，

3

则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=,

,十#csmAc

由正弦定理，Z得H”=.=2,

smC

二△ABC的面积为S=-acsinB=述

23

21.（2021•福建漳州•高一期末）如图，在直角回中，点〃为斜边理的靠近点8的三等分点，点£为

/〃的中点，AB=3,AC=6

B

D

A

⑴用而，元表示而和丽；

(2)求向量丽与反夹角的余弦值.

【答案】(1)AIUOT=-2A皿B+-]AHCU,E―B-=-2A―B---1A-C,-(2)-V

3336130

【解析】(1)因为〃为斜边8c,的靠近点6的三等分点，

所以8力=2BC=±(AC-AB)=-AC-2A8,

3333

uumUUDuuu2I

所以AD=/W+8O=-A8+—AC,

33

因为夕为月〃的中点，

所以荏=：亚=福+：/卜;而十熹正，

所以由=AQ-ZE=—A*--AC,

36

(2)EC=AC-