高中数学直线的五种方程同步练习题

直线的方程同步练习题

一、单选题(本大题共6小题，共30.0分)

1.如果平面直角坐标系内的两点力(a-1,a+1),B(a,a)关于直线/对称，那么直线/

的方程为()

A.x—y+1=0B.x+y+l=0C.x—y—1=0D.x+y-1=0

2.过点M(—3,2)且与直线工+2丫-9=0平行的直线方程是()

A.2x-y+8=0B.%—2y+7=0C.x+2y+4=0D.x+2y-1=0

3.已知圆C：%2+y2-4x-5=0,则过点P(l,2)的最短弦所在直线/的方程是()

A.3x+2y-7=0B.2x+y-4=0

C.x—2y-3=0D.x—2y+3=0

4.过点P(l,2)且与原点。距离最大的直线方程为()

A.%+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.3%+y-5=0

5.下列说法的正确的是()

A.经过定点PoOo，%)的直线都可以用方程y-%=k(x-%o)表示

B.经过定点A(O,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示

C.不经过原点的直线都可以用方程彳+'=1表示

ao

D.方程(y-%)(尤2-%)=(x-%!)02-yj表示经过两个不同的点

的任意直线

6.已知过点4(—2,m)和点B(m,4)的直线为5A：2x+y—1=0,l3:x+ny+1=。.若

l2ll3,则m+n的值为()

A.-10B.-2C.0D.8

二、多选题(本大题共1小题，共5.0分)

7.下列说法正确的是()

A.截距相等的直线都可以用方程(+；=1表示

B.方程x+my-2=0(meR)能表示平行y轴的直线

C.经过点倾斜角为。的直线方程为y-1=tan0(x-1)

D.经过两点「2。2，丫2)的直线方程(72-yi)(x-X1)-(%2-

yj=o

第n卷(非选择题)

三、单空题(本大题共2小题，共1().()分)

8.经过点(3,0)且与直线x+y-5=0垂直的直线方程为

9.过户(1,2)且与/(2,3)和8(4,-5)距离相等的直线方程为

四、解答题(本大题共7小题，共84.0分)

10.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

(1)斜率是一去经过点4(8,—2);

(2)经过点8(4,2),平行于x轴；

⑶在X轴和y轴上的截距分别是方-3;

(4)经过两点。式3,—2)、22(5,-4).

11.已知直线QX+3y+1=0,%：%+(a—2)y-1=0.

(1)若kJ.%，求实数〃的值；

(2)当时，求直线。与，2之间的距离.

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12.已知点4(2,2)和直线/：3x+4y-20=0.

(1)求过点A,且和直线/平行的直线方程;

(2)求过点A,且和直线/垂直的直线方程.

13.求满足下列条件的直线/的一般式方程：

(1)与坐标轴的交点为(5,0),(0,-2)；

(2)经过点(一1,3),且倾斜角是直线Bx+y-2=0倾斜角的一半.

14.已知直线/经过直线3x+4y-2=0与2x+y+2=0的交点P,且垂直于直线％-

3y4-1=0.

(I)求直线/方程；

(II)求直线/与两坐标轴围成的三角形的面积S.

15.已知直线/过点P(2,3),根据下列条件分别求直线/的方程:

(1)直线/的倾斜角为135。；

(2)直线/在x轴、)，轴上的截距之和为0.

16.根据下列条件分别写出直线的方程：

(1)斜率是遮，且经过点4(5,3)；

(2)斜率为4,在y上的截距为-2；

(3)在y轴上的截距为3,且平行于x轴;

(4)在x,y轴上的截距分别是-3,-1.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查

了推理能力与计算能力，属于基础题.

利用垂直平分线的性质即可得出.

【解答】

解：••・%B=*W=-L线段A8的中点为(竽，手勺，

a-i-aLL

两点力(。一l,a+1),B(a,a)关于直线/对称，

/c(=1,其直线方程为：y—=x—

化为：x—y+1=0.

故选：A.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，考查了点斜式和一般式的互化，是基

础题.

由已知的直线方程求出要求直线的斜率，代入直线方程的点斜式，化为一般式得答案.

【解答】

解：由直线方程x+2y-9=0可得该直线的斜率为一5

则与直线x+2y-9=0平行的直线的斜率为三

又直线过M(-3,2),

由直线方程的点斜式得直线方程为y-2=-1(x+3),

化为一般式得：x+2y-1=0.

故选：D.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查直线与圆的位置关系和两条直线垂直时斜率的关系，属于基础题.

先分析出当直线/与圆心和点尸的连线垂直时弦最短，然后求出直线/的方程即可.

【解答】

解：由已知，圆心为(2,0),则圆心和点P所在的直线的斜率为官=一2,

而当直线/与圆心和点P的连线垂直时弦最短，

所以直线/的斜率为右所以方程为丫-2=之(乂-1),

即x—2y+3=0,

故选D.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查用点斜式求直线方程的方法，数形结合判断什么时候距离最大是解题的关键,

属基础题.

先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式.

【解答】

解：要使过点PQ,2)的直线与原点距离最大，结合图形可知该直线与直线P。垂直，

由卜8=言=2,则所求直线/的斜率为-点

二直线/的方程为y-2=-i(x-l),

即x+2y—5=0.

故选A.

5.【答案】D

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【解析】解：A项错误，直线y-y0=k(x-3只能表示过点匕为必)且斜率存在的直

线；

B项错误，直线y=依+b只能表示过点4(0,b)斜率存在的直线；

C项错误，直线：+1=1只能表示在两轴上截距都存在且不为零的直线；

。项正确，经过任意两个不同的点Pi。1,%)、。2。2，%)的直线都可以用方程⑶-

%)(&-刈)=(x-%i)(y2-yj表示.

故选：D.

逐一分析研究各个选项，通过举反例等手段，排除不正确选项.

本题考查直线方程的适用范围，注意斜率不存在或者截距等于0的情况.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了直线平行、垂直与斜率的关系，考查了计算能力，属于基础题.

利用直线平行、垂直与斜率的关系即可得出.

【解答】

解：••TJ/G，

j4-m0

••耗ABRA=rn+2=一乙

解得m=-8.

又。,

解得71——2.

m+n=—10.

故选A.

7.【答案】BD

【解析】

【分析】

本题考查了直线方程的截距式、点斜式、两点式，一般式.

A,截距相等为0的直线都不可以用方程彳+：=1表示；

aa

B,当m=0时，方程x+my-2=0(m6R)表示平行y轴的直线；

C,倾斜角为。=90°的直线方程不能写成点斜式；

D,X1^x2,直线的斜率存在，可以用点斜式表示.

【解答】

解：对于A,截距相等为0的直线都不可以用方程：+?=1表示，故错误；

对于B,当m=0时、方程x+my-2=0(meR)能表示平行y轴的直线x=2,故正确；

对于C,经过点PQ1),倾斜角为。=90。的直线方程不能写成y-1=tan9(x-1),故

错；

对于D,X]*工2,二直线的斜率存在,可写成仇_%)(%_久1)-(x2-xi)(y-71)=0,

故正确.

故选：BD.

8.【答案】x-y-3=0

【解析】

【分析】

本题考查直线方程的求法，两直线垂直的斜率关系等基础知识，解题的关键是由

直线x+y-5=0的斜率为一1,得出与直线x+y-5=0垂直的直线斜率为k=1,根

据点斜式写出所求直线方程即可.

【解答】

解：因为直线x+y-5=0的斜率为一1,

•••与直线x+y-5=0垂直的直线斜率为％=1,

经过点(3,0)且与直线x+y-5=0垂直的直线的点斜式方程为y-0=x-3,

工化为一般式方程为x—y—3=0>

故答案为：x—y—3=0.

9.【答案】4%+丫一6=0或3刀+2、一7=0

【解析】

【分析】

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本题考查直线的方程的求法和直线平行的关系，属于基础题.

根据题意到A,8距离相等的直线有两条，与A8平行或过AB的中点，从而求出方程即

可.

【解答】

解：直线A3的斜率为%B=分=一4,线段A8的中点坐标为(3,-1).

Z—4

①若所求直线与直线AB平行时，则所求直线的方程为y-2=—4(x—l),即4x+y—

6=0；

②若所求直线过48的中点时，则所求直线的斜率为普=-|,

故所求直线方程为y-2=-|(%-1)，即3x+2y-7=0.

综上所述，所求直线方程为4%+y-6=。或3%+2y-7=0.

故答案为：4%4-y—6=0或3%+2y—7=0.

10.【答案】解：(1)由点斜式得丫一(-2)=-/％-8),化成一般式得久+2、一4=0.

(2)由题意得y=2,化成一般式得y-2=0.

(3)由截距式得I■+三=1,化成一般式得2x—y—3=0.

2

(4)由两点式得望不=言，化成一般式得x+y-1=0.

【解析】本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，是基础题.

(1)利用点斜式方程求解直线方程.

(2)利用直线方程的特殊情况求解.

(3)利用截距式方程求解直线方程.

(4)利用两点式方程求解直线方程.

.【答案】解：且

11(1)vl1:ax+3y+1=0,%：%+(Q—2)y-1=0,41Z2,

ax1+3x(a-2)=0,解得a=|.

且)〃小

(2)vl^.ax4-3y+1=0,l2:x+(a—2)y—1=0,

•••a(a-2)=3x1且一aH1,解得a=3,

即匕：

••/i：3%+3y+1=0,l2'x+y—l=0,3%+3y+1=0,/2:3x4-3y—3=0

•・•直线k，%间的距离为d=品鲁=誓.

【解析】本题考查平面直角坐标系中两直线平行与垂直的充要条件，是基础题.

(1)由两直线垂直的充要条件44+B$2=0可以列关于a的方程求解.

(2)由两直线平行的充要条件｛管:黑:可求a的值，然后利用两平行直线的距离公

式求解.

12.【答案】解：(1)由/：3x+4y-20=0,得用=一：.

设过点A且平行于/的直线为卜，

则的工=ki=

所以及的方程为y-2=-2),

即3x+4y-14=0.

(2)设过点A与I垂直的直线为％.

因为卜他卜=一1，所以的2=?

故直线L的方程为y-2=1(x-2),

即4x-3y-2=0.

【解析】本题考查了求直线方程的点斜式方程，求直线的斜率问题，属基础题.

(1)求出直线/的斜率，根据点斜式方程求出直线方程即可.

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(2)求出所求直线的斜率，再根据点斜式方程求出直线方程即可.

13.【答案】解：(1)由题意，得直线过点(5,0)和(0,-2),故斜率上=与舁=：，

由斜截式方程y=kx+b,得直线方程y=|x—2,

故所求直线的一般式方程为：2x—5y-2=0.

(2)设直线+y-2=0的倾斜角为a,

将直线方程遮％+y—2=0化为斜截式方程：y=—y/3x4-2，则其斜率为-8,

vaG[0,TT).•・a=Y-

因为需求直线的倾斜角是空的一半，故倾斜角为全

其斜率为8，又经过点(-1,3),

由点斜式得直线方程y+1=V3(x+1),

故所求直线的一般式方程为：V3x-y+V3-l=0.

【解析】本题考查求直线方程，属于基础题.

(1)求出斜率，利用斜截式方程即可求解；

(2)求出倾斜角，得斜率，由点斜式方程即可求解.

14.【答案】解:(I)由｛机[/。。,解得忧J

•・•点P的坐标是(一2,2).

设直线I的方程为3x+y+c=0.

代入点尸坐标得3x(—2)+2+c=0,得c=4,

••・所求直线/的方程为3x+y+4=0；

(U)由直线/的方程3x+y+4=0,

得W+5=1，

3

知它在X轴、y轴上的截距分别是一•一4,

二直线/与两坐标轴围成三角形的面积S=1x4xi=|.

【解析】(I)联立方程组求得已知两直线的交点坐标，设出与x-3y+1=0垂直的直

线方程3x+y+c=0,代入交点坐标求得c,则直线/方程可求；

(口)化直线/的方程为截距式，代入三角形面积公式得答案.

本题考查直线的一般式方程，考查了一般式和截距式的互化，是基础题.

15.【答案】解：(1)设直线/的斜率为％,则/c=1即135。=一1,

又直线过点P(2,3),

所以直线的点斜式方程为y-3=-(%-2),

化为一般形式为％+y-5=0；

(2)设直线/在x轴、y轴上的截距分别为a