高中数学必修一第二章《一元二次函数函数、方程和不等式》解答题提高训练 (28)(含答案解析)

必修一第二章《一元二次函数函数、方程和不等式》解答题专题提高

训练(28)

1.为了持续推进“喜迎生物多样性，相约美丽春城”计划，在市中心广场旁的一块矩形空地上进行

绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围(斜线部分)均种满宽度相同的鲜

花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积

(包括鲜花)的最小值.

2.己知函数仆)=加+(1-。)*+。-2.

(1)当4=1时，求不等式犯20的解集；

工一3

(2)求关于x的不等式—1(aeR)的解集.

3.已知函数/'(》)=52.

(1)若不等式/(6>0解集为{X|-2<X<3},求不等式—+奴+2〃<0的解集；

(2)己知"1,c=3,若命题“Vxe,总有〃x)Z0，，是假命题，求实数。的取值范围.

4.1.设实数a,b,c均为正实数

(1)证明：a3+b3>a2b+ab2

(2)当a+6+c=l时，证明：-1)(-!--1)^8

abc

5.已知：/(x)=(tz-2)x2+2(A-2)X-4,

(1)当xeR时，恒有〃x)<0,求〃的取值范围；

(2)当xw［l,3］时，恒有〃x)<0,求”的取值范围；

(3)当x叩,3］时,恰有e一7成立，求a,m的值.

6.对平面直角坐标系第一象限内的任意两点(a,。)，(c/)作如下定义：如果£>方，那么称点(4。)

是点(c,d)的“上位点”，同时称点(c,d)是点(〃力)的“下位点”.

(1)试写出点(3,5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标：

(2)设a,b,c,d均为正数,且点(a㈤是点(c,d)的“上位点”，请判断点P(a+c,b+d)是否既是

点(a,。)的“下位点”，又是点(G")的“上位点”.如果是，请证明；如果不是，请说明理由.

7.设y=/(X)=3尔+2bx+c,若a+〃+c=OJ(O)/⑴>0.

(1)求证：方程/。)=。有实根；

(2)求2的取值范围；

a

(3)设/⑶与x轴交于4B两点，求线段48长度的取值范围.

8.已知1函数旷=Q2一办+](。£/?).

(1)当a=-l时，解不等式y<0；

(2)关于％的不等式y<2x—1.

9.解关于x的不等式以2-(“+l)x+l<0

10.已知关于的x不等式ax?+(a-l)x-l>0.

(1)若此不等式的解集为求实数〃的值；

(2)若awR,解这个关于x的不等式；

(3)Vxe[l,3],(ar-l)(x+l)>(2a+l)x-a恒成立，求a的取值范围.

11.某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量。(万件)与广告费x

(万元)之间的关系式为。=>(犬之0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件

此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每

件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.

(1)试写出年利润卬(万元)与年广告费x(万元)的关系式；

(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？

3

12.已知函数/*)=2«¥2+以一二.

8

(1)若/(一1)=1,求。的值；

(2)当。取什么值时，/(工)<0对一切实数x成立？

13.己知。>0,b>0f判断G+〃与恭+美的大小，并给出证明.

14.(1)己矢口。>人，ab>0求证：—</；

fab

(2)已知。>Z?>0,Ovcvd,求证：—>—.

ca

15.求下列不等式的解集：

(1)(x+3)(x-2)>0

(2)|3x-2|<l

16.1.已知集合A=｛目-次2+如+”>。｝=(一1,3),集合8=｛出2-5-2a2<0｝.

（1）求常数〃八〃的值；

（2）设。:xeA,q:xeB,且p是g的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

3

17.求丫=1-2》-二的取值范围.

x

18.已知a,b,c,d是全不相等的正数，求证：（ab+cd）（ac+bd）>4abcd.

19.已知二次函数y^ax2+bx-a+2.

（1）若关于x的不等式aK+以-〃+2>0的解集是{x[-1<r<3},求实数a*的值；

（2）若6=2,解关于x的不等式以2+汝-a+2>0.

20.某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠肺炎患者的无

创呼吸机，需要投入成本y（单位：万元）与年产量x（单位：百台）的函数关系式为

5x2+150x,0<A:<20

y=6400，”八“.据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫

301x+------1700,x>20

.x

情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.

（1）求年利润，（单位：万元）关于年产量X的函数解析式（利润=销售额-投入成本固定成本）；

（2）当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润.

21.某中学生活区拟建一个游泳池，池的深度一定，现有两个方案：

方案一：游泳池的平面图形为矩形且面积为200m二池的四周墙壁建造价格为每米400元，中间一

条隔壁（与矩形的一边所在直线平行）建造价格为每米100元，池底建造价格为每平方米60元（池

壁厚度忽略不计）；

方案二：游泳池的平面图形为圆且面积为647tm2,池的四周墙壁建造价格为每米500元，中间一条

隔壁（圆的直径）建造价格为每米100元，池底建造价格为每平方米60元（池壁厚度忽略不计）.

（1）若采用方案一，游泳池的两边分别设计为多少时，可使总造价最低？

（2）以总造价最低为决策依据，应该选择哪个方案？

22.已知函数/1（力=%2-2以+6,其中。>0,/?>0,/（-1）=5.

（1）求之9+12的最小值；

ah

（2）当xe[l,+8）时，〃x）>l恒成立，求实数a的取值范围.

23.设p：实数x满足f<0（a>0）,q-实数x满足3〈x<6.

（1）若a=l,且p,g都为真命题，求x的取值范围;

(2)若q是2的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

24.(1)若关于x的不等式V-奴>〃一3的解集为R,求实数a的取值范围;

(2)设x>y>0,且个=2,若不等式恒成立，求实数。的取值范围.

25.(1)若对于一切实数x,/nr?-尔-1<0恒成立，求实数机的取值范围；

⑵若对于1W3,机+5恒成立，求实数机的取值范围.

26.已知关于x的不等式(依-二-5)。-4)>0(ZwR),设Z为整数集.

(1)求不等式的解集A；

(2)对于上述集合4,设3=AnZ,探究B能否为有限集？若能，求出使8元素个数最少时的女

的所有取值，及此时的集合8,若不能，请说明理由.

1Q

27.(1)己知a>0,b>0,a+b—1,求-+7的最小值；

ab

(2)在直径为"的圆内接矩形中，问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大，最大面积是

多少？

28.若二次函数/。)=加+法+(?满足/(2)=/(-1)=-1,且函数/(x)的最大值为8.

(1)求函数函X)的解析式

(2)当xe[2,汨时，函数.f(x)的最小值为-8,求实数机的值.

29.高一年级张三同学在学习基本不等式过程中，遇到了以下问题：”已知x>0,y>0,x+y=\,

求%;的最小值",张三同学的解答过程如下:

x>0,y>0,根据基本不等式可得：\=x+y>2y/xy,~,

x>0,y>0,根据基本不等式可得：

.•.1+222应,，=三2四-2=4拒，，l+2的最小值为4夜.

xy，孙xy

(1)指出张三同学解答过程的错误之处并给出正确的解答过程；

1o

(2)求函数=；+xe(O,l)的最小值.

2x1—x

30.解关于x的不等式：ax2-(2a+l)x+2<0

【答案与解析】

1.最小值为424+80#平方米

【解析】

求出整个绿化面的长为2x+6米，宽为迎+4米，然后由面积公式以及基本不等式求解最值即可.

X

解：设草坪的宽为X米，长为y米，

由题意可得，孙=200,则>=出,

X

因为草坪四周及中间的宽度均为2米，

则整个绿化面的长为2x+6米，宽为迎+4米，

X

所以绿化面积为(2x+6)(—+4)=424+8x+—..424+2,/sx—=424+80x/6,

XX\x

当且仅当8乂=幽，即x=5"取等号：

X

所以整个绿化面积的最小值为424+8()面平方米.

2.

⑴[-1,1]u(3~)

(2)答案见解析

【解析】

(1)先求出/(力=/一1,所求不等式等价于1(二1)(：一1)0一3)2°,利用高次不等式的解法即

[X一3

可求解；

(2)原不等式即o^+O-Gx-lvO,当。=0时x-1<0,当。工0时，原不等式可化为

(a¥+l)(x-l)<0,分别讨论〃>0,-l<a<0,a=-l,解不等式即可求解.

(1)

当a=l时，/(x)=x2-l,则不等式以立20即三二U。，

x~3x~3

等价于!(、+1)(18-3”。

]x-3w0

f3x

所以原不等式解集为[-川53，心).

(2)

不等式/(X)<4-1等价于ax2+(l-a)x+t7—2<Cf-l,

即ax2+(l-«)x-l<0,

当a=0时，原不等式可化为x-l<0,解得：x<\,不等式解集为(—,1),

当〃彳0时，原不等式可化为(依+1)(工-1)<0,

方程(or+l)(x—l)=0的两根为：-：，1，

当〃>0时，一此时不等式解集为

当avO时，

若-'<1即"T时，不等式解集为(7,-L]U(1，+8),

a\a)

当」=1即a=—l时，不等式解集为(Y,l)U(l,y)，

a

当一！>1即一1<“<0时，不等式解集为

综上所述：当。=0时，原不等式解集为(―」)，

当a>0时，不等式解集为,：，1),

当—1<4<0时，不等式解集为(-8,1)=(-},+8),

当a=-1时，不等式解集为(ro,l)U(l,«»)，

当"-1时，不等式解集为(YO,-£|U(1,+8),

3.

⑵(4+8)

【解析】

(1)由不等式的解集可得/(x)=0的两个根，利用根与系数的关系建立等式求出a、b、c的关系，

代入所求不等式求解即可得答案.

(2)写出该命题的否命题，由题意，该命题的否命题为真命题，从而分离参数转化为最值的求解

即可得答案.

(1)

解：关于x的不等式/(x)>0的解集为{x|-2<x<3},

所以方程ar?_加+。=0的两根为一,23,且。<0,

，rb

—2+3=—

所以,"，解得b=a,c=-6a.

-2x3=-

.a

所以不等式cf+必；+26<0可转化为+o¥+2〃vO,

12

BP6x2-x-2<0»解得一

23

所以不等式52+以+2/7<0的解集为b-3<》<'|}.

(2)

解：命题“Vxe,总有〃x)NO”是假命题，

所以它的否定命题“大€1,使得/(x)<0”是真命题,

又a=l,c=3,所以不等式/(%)<0为X，—fer+3V0,

1]3

即天£-,1,使得。八+三成立，

_2Jx

因为y=x+。在xeR,[单调递减，所以G=4,

所以人>4,

所以实数人的取值范围是(4+8).

4.

(1)证明过程见解析

(2)证明过程见解析

【解析】

(1)作差法比较两个式子的大小；(2)将a+b+c=l代入不等式左边变形，再利用基本不等式进行

证明.

(1)

22

43+//-(/8+/)=(/一4〃)+仅3-=a(Q-Z7)+/?2(人一〃)

=(a_/?)(/_b?)=(a-b)2(q+b)20

当且仅当。口时，等号成立，证毕

(2)

因为…小所以—一产产一产经一归等)(*(会

因为实数小b,。均为正实数，所以b+cN2j互，a+c>l4ac,a+b>2y[ab,当且仅当a=6=c=

;时，等号成立，此时d-i)4-i)d-i)=("£](小丫”正半2：匣=8,证毕

3abcyabc)abc

5.

(1)-2<a<2

34

(2)a<—

15

(3)a=3,/w=6

【解析】

fa—2Vo

(1)当a=2时，/(x)=T<0恒成立，当。力2时，解不等式公<。即可求解；

(2)当a=2时，/(x)=T<0对于xe[1.3卜恒成立，当“二2时，求出f(x)的对称轴，由单调性可

得[阿<0或，3)<0,解不等式组即可求解；

(3)由/(64蛆-7可得(〃-2)—+(2"4-m)尤+34()对于光41,3卜恒成立，可得1,3是对应方程

的两根，根据韦达定理列方程即可求解.

(1)

当a=2时，/(x)=Y<0恒成立，所以a=2符合题意，

a—2<0

当"2时，若〃力<0可得人,.2,,。、/八八，解得：-2<a<2,

7A=4(a-2)-4(rz-2)x(-4)<0

综上所述。的取值范围为-2<。02.

(2)

当a=2时，/(x)=-4<0对于工41,3]恒成立,

当。w2时，f(x)=(a—2)x2+2(a-2)x-4对称轴为x=—1,

a-2<0Q-2>034

所以或《/⑶-4<。,解得："2或2<〃<及

/(l)=3tz-10<0

综上所述。的取值范围为。＜]34.

(3)

由f[x)<tnx-lnJ:M(6f-2)x2+2(tz-2)x-4</nr-7,

即(a-2)x2+(2tz-4-/H)x+3<0,对于x£[1,31恒成立,

所以方程（。-2）工2+（2〃-4-m）工+3=0的两根分别为1,3,

a-2>0

a=3

所以1+3=冬2/7———4—，解得:

2-am=6

1x3=^-

所以。，〃?的值分别为3,6.

6.

（1）一个“上位点”坐标为（3,4）,一个“下位点”坐标为（3,7）（答案不唯一，正确即可）

（2）是，证明见解析

【解析】

（1）由已知"上位点''和"下位点''的定义，可得出点（3,5）的一个“上位点”的坐标为（3,4）,-

个“下位点''的坐标为（3,7）；

（2）由点（。力）是点9"）的"上位点''得出6c,然后利用作差法得出与的大小关系，

b+dbd

结合“下位点”和"上位点”的定义可得出结论.

（1）

解：由题意，可知点（3,5）的一个“上位点”坐标为（3,4）,一个“下位点”坐标为（3,7）.（答案不唯一，

正确即可）

（2）

解：点P（a+c,6+4）既是点（。力）的下位点，又是点（c/）的“上位点”，证明如下:

;点（。,6）是点（G”）的“上位点”,

・ac

••一>,

hd

又。，b,c,d均为正数，

ad>be,

..a+ca_b(^a+c)-a(b+d^_he-ad

・~b+d~~b~b(b+d)~b(b+d)<，

・・・P(a+G"d)是点(a,b)的“下位点”，

..a+cc_d(a+c)-/(♦+()_ad-be〉.

*b+ddd(b+d)d(b+d)，

・•・P(a+c,"d)是点(c,d)的“上位点”,

综上，P(a+c,A+d)既是点(〃,»的吓位点“，又是点(c,d)的“上位点”.

7.

(1)证明见详解

(2)-2<-<-1

【解析】

(1)由a+O+c=O,/(0)/(1)>0可得。3—。)>0,分析可得。工0,。工0,故

A=4/?2—12ac=4[(tv——)2+——]>0,即得证；

24

(2)由〃+"c=O,/(O)/⑴>0可得(一。一。)(2。+勿>0,两边同时除以即得解；

(3)设方程/。)=。的两个不等的实根为对马，故

22+

\AB\=\x{—x21=^/(%(+x2)—4XjX2=A(-,)~(―)+~»结合一£(一2,-1),以及二次函数性质，即

V9。3a3a

得解

(1)

由题意，/(0)/(1)>0

故C(3Q+2/?+C)>0

而a+b+c=O,h=-a-c

c[3a+2(~«-c)+c]>00c(a-c)>0

若4=0,则-C?〉。不成立;

故awO,cwO,对方程/（工）=。

△=*12仁4(一-2g4(/+c2y)=4[("笠+宁]>。

故方程/。)=。有实根

(2)

由Q+Z?+C=O,c=-a-b

=c(3a+21?+c)=(-a-b)(2a+b)>0

bh

两边同时除以/,故(1+±)(2+上)<0

aa

(3)

由(1),方程/。)=。满足A〉0,故有两个不等的实根不，W

设/(%)与x轴交于两点，不妨设440),8(%,0)

।_2bc

由30r2+2Zzr+c=()可得，%+匕=一丁，菁/2=丁

3a3a

故|AB|=|玉-%|=｛(1+*2)2-43々=J暮一手=J*与+：(」)+：

V9a3aV9a3a3

h[A~~~44

令，=一/£(-2,-1),故|A8|=J——+—1+—

aV933

4443

^y=-r+-r+-,为开口向上的二次函数，对称轴为/=-彳

9332

故/二一|时，Win=；」人回疝小日；

42

，=一1或，=一2时，>2<-,|AB|nwx<-

故|A8|ep?,|),即线段AB长度的取值范围为「§,|)

8.

(1)｛尤|》>山5或x<匕苴｝

22

(2)答案见解析

【解析】

(D直接解不等式-W+x+lvO,即得解；

(2)化简为(依-2)(x-l)<0,再对。分类讨论得解.

(1)

当。=一1时，不等式y<。化为一j?+x+i<(),.♦.J-x-i>(),

由方程£―工一]=0,得石=1,X[

二不等式的解集为｛幻X>与叵或X<35｝

(2)

由不等式y<2工一1,得ox?—(。+2)工+2<0,

即(办一2)(%—1)<0.

2

方程(ar-2)(x-l)=0的两根是玉=1,%①工°)

a

22

①当4<0时，一<0,不等式的解为X<-或X>1；

aa

②当4=0时，不等式的解为X>1；

7?

③当0vav2时，1<—不等式的解为1<工<一；

aa

2

④当。=2时，1=：,不等式无解；

⑤当。>2时，1>-,不等式的解为±<xvl

aa

综上：①当。<0时，不等式的解为何工<：或x>l｝；

②当。=0时，不等式的解为何1>1｝；

2

③当0<av2时，不等式的解为｛x|l<x<z｝；

④当a=2时，，不等式解集为0；

⑤当a>2时，不等式的解为｛x|：<x<l｝.

9.见解析

【解析】

将不等式变形为(奴-然后分a>0,a=0,0<«<1,a=\,”>1分别求解，即可得

到答案.

不等式ar?-(a+l)x+l<0,变形为(以一1)(尤-1)<(),

①当。=0时，不等式的解集为｛x|x>l｝；

②当a<0时，不等式的解集为｛x|x<L或x>"；

a

③当4>0时，

若0<。<1时，->1,不等式的解集为｛x[l<x<U；

aa

若。=1时，一=1,不等式的解集为0;

a

若。>1时，0不等式的解集为｛x[L<x<l｝.

aa

综上所述，当a=0时，不等式的解集为｛x|x>D;

当。<0时，不等式的解集为｛x|x<，或x>l｝；

a

当0<a<l时，不等式的解集为｛x[l<x<2｝；

a

当。=1时，不等式的解集为0；

当。>1时，不等式的解集为｛xp<x<l｝.

a

10.

(1)a=-2

(2)答案见解析

小心近+4、

(3)(——-——,+oo)

【解析】

(1)由题意可得-1,-g为方程(⑪-l)(x+D=0(a<0)的两根，由代入法可得所求值：

(2)讨论。=0,a>0,a<0,又分4=—1,a<-\,—IVQVO时，由二次不等式的解法，即可得

到所求解集；

(3)由题意可得a，-x+l)>2x+l在掇!k3恒成立，可得〃,2x+l一六"？)在掇?3恒成立，

x~-x+lX--x+1

利用换元法求分式型函数最值，结合对勾函数的单调性可得/(，)="2+：在公立时取最小值，此

4f2

时专工取最大值，可得〃的范围.

厂-x+1

(1)

不等式0¥2+(4-1»-1>0化简为(公-1)。+1)>。的解集为｛幻-1<工<-；),

可得—1，为方程(公-1)a+1)=03<0)的两根，

可得，=-"即a=-2；

a2

(2)

当a=0时，原不等式即为x+lvO,解得xv-l,解集为“1工<-1｝；

当a>0时，原不等式化为(x-3(x+l)>0,解集为｛x[x>，或x<-l｝；

aa

当。<0时,原不等式化为(x」)(x+l)<o,

a

①若。=—1,可得(x+l)2<0,解集为0；

②若,可得解集为{x|-l<xv'};

aa

③若一-<-1,可得解集为

aa

(3)

Vxe[1,3],(tzx-l)(x+1)>(2a+l)x-。恒成立，

等价为心2f+l)>2x+l在啜!k3恒成立，

1a

由于X"—X+l=(X)~H>0恒成立，

24

可得〃>2x+l.26+；)在掇/3恒成立，

x~-x+1X-x+l

2*+；)2f

令f=x+g£372

则

2,2W-x+l/-2'+?r-2+工

44/

令/（r）=r-2+5，,由对勾函数可知，=等《|,|

且当3<r<也时，/⑺单调递减，当且时，/⑺单调递增,

2222

且"立时/Q）取最小值，

2

2f22t、金人

此时产方*77T取得最大值，代入户得也上3

t-ZfH--/—ZHt-2/+—2

44，4J

>2a+4

即〃的取值范围是（更受,+«））.

,QOY,45

“•⑴w=Fr"g°）；⑵当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万

兀.

【解析】

（1）由题意可得，产品的生产成本为（32Q+3）万元，得到每万件销售价，进而得到年销售输入,

即求解年利润的表达式；

（2）令x+l=f（f21）,则卬=50-［；+手），利用基本不等式求解最值，即可得到结论.

(1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q+3)万元，每万件销售价为：x150%+50%,

:•年销售收入为产岁xl50%+版50%)Q=|(32Q+3)+gx,

31

；・年利润W=1(32Q+3)+：x—(32Q+3)—x

-X2+98X+35

=；(32Q+3-x)=(x>0).

2(%+1)

(2)令x+l=r(fNl),则

W="1)2+98(1)+35

2t

Vf>l,—>2.E^=8,即W442,

2tV2t

t3?

当且仅当:=三，即r=8时，W有最大值42,止匕时x=7.

2t

即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元.

12.

(1)«=—

8

(2)(-3,0]

【解析】

(1)直接由=1列方程求出a的值，

(2)由题意可得当a=0时，不等式恒成立，再由可求出。的取值范围

[A<0

(1)

311

由/(-1)=1,得2a-a-?=l,解得a=2,

88

(2)

3

当。=0时，/(©=-弓<0对一切实数不成立，满足题意，

O

当。工0时、因为/。)<0对一切实数X成立，

x<0

a<0z、

所以Az即2/c(3、,解得—3<a<0，

[A<0a-4x26fxl--l<0A

综上〃的取值范围为(-3,0]

13.4+赤4为+，=，证明见解析

【解析】

利用作差法判断-(&+如与。的大小关系即可求解.

f++%_函+国=成甘心忙b亚=匕以上二帅

4a)'7yla-4by[ab

—\fb^

\[ab

因为Q>0,b>0,所以6+〃>0,(G—括)>0,4ab>0,

所以吐㈣忏而2”当且仅当。=〃时等号成立，

4ab

所以G+/4恭+j=(当且仅当时取等号).

14.(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(D利用不等式的性质即可证明.

(2)利用(1)的结论，根据不等式的性质即可求解.

(1)因为而>0,所以二>0.

ab

又a>b,所以。•二>6」，

abab

即-9因此一

baab

(2)因为0<c<d,根据(1)的结论，得1>=>0.

ca

又a>b>0,则>>6」，即色>9.

caca

15.

(1){x|x>2或％<-3}

(2)|x||<x<l!

【解析】

(1)应用一元二次不等式的解法求解集.

(2)应用公式法求绝对值不等式的解集.

(1)

方程(x+3)(x—2)=0的根为一3,2,

/.(x+3)(x-2)>0,可彳导x>2或xv-3,

不等式的解集为｛x|x>2或x<-3｝；

(2)

不等式内-2|<1=-1<3》-2<1,解得g<x<l,

不等式解集为｛x[g<x<“.

16.

(1)m=2,n=3

(2)(-oo,-3](JI，+oo^

【解析】

(1)把不等式的解集转化为方程的两个根，用韦达定理求解；(2)先求集合8,注意对〃进行分

类讨论，利用p是q的充分不必要条件，转化为集合之间的包含关系，求解。的取值范围

(1)

因为人=｛乂一工2+/nr+〃>0｝=(-1,3)，所以-1和3是方程-/+〃=0的两个根，由韦达定理得：

-]+3=m,-1x3=-〃，解得：m=29n=3

(2)

x2-ax-2a2<0,解得：当。>。时，集合3=(-a,2a),当a<0时，集合8=(”一a),当a=0时，

解集为0

因为〃是q的充分不必要条件，P：XEA,qixeB

当a=0时，B=0,此时〃是4的必要不充分条件，不满足题意，舍去

/\f-a——13

当4>0时，需要满足(T,3)u(-a,2a),此时2a>3，解得：心万

/、f2a«-1

当。<0时，需要满足(T3)u(2a,—a),此时，解得：a<-3

I-tzN3

综上：实数a的取值范围为(f，-3]U+8)

17.卜8,1-26]U[1+2指,+8).

【解析】

利用均值不等式求当Q0时2x+33与当x〈0时(一2幻+(-33)的最小值，即可计算作答.

XX

依题意，原函数中x取值范围是冗<0或x>0,

当了>0时，y=l-2x--|=l-^2x+-|j,

则当x>0时，2》+3224区3=2痴，当且仅当2X=3,即》=逅时取等号，于是得yVl-2卡，

xVxx2

当x<0时，y=1+(-2%)+(--)>2.l(-2x)-(--)=2^6,当且仅当一2'=-』，即x=-好时取等号，

xVXx2

于是得yN1+2后,

综上，y=l-2x—的取值范围为(-1-2"]叩+2疯”).

18.证明见解析.

【解析】

利用均值不等式可得M+c"±27^瓦万>0,碇+川22/而>0两式相乘，再判断等号成立的条件,

即得证

'：a,b,c,d都是正数，

ab+cd>2\labcd>0,等号成立的条件为帅".

ac+bd>2y[abcd>0,等号成立的条件为。c=bd.

两式相乘得("+cd)(ac+々/)24"cd,等号成立的条件为〃=4且匕=。.

又a,b,c,d全不相等，故(a〃+cd)(ac+〃d)>4"cd.

19.

(1)。=-1/=2

(2)答案见解析

【解析】

(1)根据不等式的解与对应方程根的关系可求实数的值.

(2)就。<0,。=。,0<4<1,。=1,。>1分类讨论后可得不等式的解.

(1)

若ax2+bx-a+2>0的解集是{x|-l<x<3},

则x=-l,x=3是a^+bx-。+2=0的根，

由方程的根与系数关系可得2-a.

----二—lxJv

a

a<0

解得〃=-1,〃=2.

(2)

(2)b=2,ax2+bx-a+2=ax1+2x-a+2=(x+l)(ox-a+2),

当a=0时，解得x>-1,

当a<0时，可化为，(x+l)(x-q^2)<0

解得，

a

当a>0时，可化为(X+1)[-'/)>0,

①0<兴1时，—<-1,解不等式得〜或大>-1,

aa

a—2

②〃=1时，幺」=-1,解不等式得，xw-1,

a

/7一'n-D

③。>1时，—>-1,解不等式得，XV—1或

aa

综上，当。=0时，解集{小>-1},

a-2

当a<0时，解集为

当0<4<1时，解集为｛x|x>-l或X<---｝,

a

a=\时，解集为1｝,

时，解集为｛X|X<-1或X>巴工｝

a

20.

-+150x-500,0<A:<20

(1)t=<

1200-x+^2,x>20

(2)8000台，1040万元

【解析】

(1)分别求出04x<20和x220时的解析式，即可得到年利润/(单位：万元)关于年产量x的

函数解析式；

(2)分别求出04x<20和x220时的最大值，比较大小，即可得到最大年利润.

(1)

当0Kx<20时，t=300x-(5x2+150x)-500=-5x2+150x-500；

当Q20时，f=300x-(301x+%^j+1700-500=1200-[x+^^).

-5X2+150X-500,0<X<20

所以f=，।…f6400

1200-1x+——,^>20

(2)

当0Wx<20时，t=-5X2+150X-500=-5(x-15)2+625,

故当x=15时，f取得最大值，为625,

当x220时，因为x+手22/万•哼=160,

当且仅当工=上吆，即％=80时等号成立，

x

所以，=1200-(x+^^卜1200-160=1040,

即当x=80时，f取得最大值，为1040,

综上所述，当年产量为8000台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元.

21.

(1)一边长为三'Hi,另一边长为15m

(2)选择方案一

【解析】

(1)设矩形的一边长为加，则另一边长为2"m,计算E=12000+900x+幽竺,

根据均值不

XX

等式得到答案.

(2)计算方案二的造价为其，38777.6>36000,比较大小得到答案.

(1)

设方案一中矩形的一边长为,】，则另一边长为3m.

X

不妨设中间的隔壁与矩形的长为Q的边平行，并设此时的总造价为E元,

则£=200X60+(x+剪卜2X400+100x=12000+900%+160000

>12000+2,900x-16()()()()=36000，

X

当且仅当900》=坦妈，即x=¥时等号成立.

x3

所以当游泳池的一边长为4手0m,另一边长为15m时，方案一的总造价最低，为36000元.

(2)

设方案二的总造价为S,元，则s2=64兀X60+J—x2nx500+J—X2X100

V兀V7C

=1600+1184071x38777.6>36000

所以应该选择方案一，且游泳池的一边长为7m,另一边长为15八

22.

(1)8

(2)a<\

【解析】

92192

(1)根据条件得2々+。=4,再由—+工=:(一+户(2。+"展开利用基本不等式求解最值即可;

ab4ab

24-3

(2)由(1)可得2a＜r士二，当xwll,+8)时恒成立，令f=x+l€[2,+oo),所以

x+1

2a＜^—1)2-3=f+--2,再由基本不等式求最值即可.

tt

(1)

函数/(x)=%2-2or+Z;,/(-1)=5,所以/(%)=l+2a+h=5,

整理得：2。+6=4,

在…921z92、小,、I,29b.19b4”、。

所以—I—=—(—I—)(2a+b)=—(20H---1)>—(20+2.------)=8,

ab4ab4ab4\ab

9b4a39?

当且仅当一,即。==,6=1时，己+丁取倒最小值8；

ab2ab

(2)

由(1)知，/(x)=x2-2ox+4-2tz,所以〃力>1恒成立,

V-24-3

可得--2奴+4-2々>1,整理得当X£[l,+oo)时恒成立，

x+i

令f=x+le[2,+8),所以+3=/+4_2,

tt

又因为f+；-2221-2=2,当且仅当f=2时，f+；-2取得最小值2,

所以为＜2,得。＜1

23.

(1)[3,4)

⑵I，+8)

【解析】

(1)当。=1时，解一元二次不等V-3x-4<0所得解集再与3<x<6求交集即可；

(2)先求出/-3以-4/v0(a>0)的解集，再根据4：34x<6是其真子集即可求解.

(1)

(1)若。=1,则P：实数x满足f-3x-4<0,

解得：-1<x<4.^:3<x<6.

f-l<x<4

VP,q都为真命题，・•・，,，解得：3<x<4.

[3<x<6

，工的取值范围为[3,4).

(2)

(2)由P：实数工满足f一3以一4/<0(〃>o),BP(x-4a)(x+a)<0(a>0)

解得：-a<x<4a.

若夕是，的充分不必要条件，则｛x|3Wx<6｝是｛x|-a<x<4a｝的真子集，

~ci<3

3

，(644a,解得：aN—.

八2

a>0

•••实数”的取值范围是右—1.

24.(1)(-6,2)；(2)(7,4].

【解析】

(1)根据题意得到A=〃+4(a-3)<0,解得答案.

(2)化简得到“4」匚，根据题意得到」^-Ex-yH」一，利用均值不等式得到答案.

x-yx-yx-y

(1)由题意知关于X的不等式d-办-“+3>0的解集为R,

所以八=4+4（。-3）<0,BPa2+4a-12<0,

所以-6<a<2,即实数a的取值范围是(-6,2).

(2)由题意知不等式f-ar+yZ+ayzO恒成立，即％2+/Na(x-y)恒成立.

因为x>y>0,a<^^,因为=+2。'="_)，)+/24