高中数学《二项式定理》考点讲解与训练

《6.3二项式定理》考点讲解

【思维导图】

二项式定理(a+b)-=CU"+CUM-1b+.・・+Cio*+0^(/1eN*)

nai=c»-恸，它表示第4+1项

I若二项展开式的通项为7，+1=©，＞#＞（，=0,1»2........./＞）,冢听0

|则有以下常见结论：

通项公式、。）*（,）=00刀+1是常数项

I（2）*（，）是非负整数O7,+i是整式项

|（3）*（，）是负整数0人+1是分式项

\（4）*（，）是整数07-1是有理项

二项展开式中各项的系数为a,ci,...»a

（a+ft）"展开式的二项式系数和：C2+Cl+C»+...+Ca=2".

二二项式系数与系数的区别

项（1）二项式系数只与各项的项数有关，与a、b的值无关

式（2）系数指该项中除了变量外的常数部分，不仅与各项

的项数有关还与a、b中的数字有关

定

理CS=1C3=lU+i=CJT-i+CJT

当”是偶数时，项的二项式系数最大

二当“是奇数时，鼻与鼻T项的二项式系数相等且最大

项

式

系r

数

性质

【常见考点】

考法一二项式定理展开式

【例1】(1)求(34+一六)4的展开式为.

(2)已知C：—4c+42。；-43。；+…+(-1)"4"。；=729,则〃的值为

【一隅三反】

1.化简多项式(2x+l)5-5(2x+l)"+10(2x+l)3-10(2x+l)2+5(2x+DT的结果是()

A.(2x+2”B.2x5

C.(2x-l)5D.32x5

2.化简：32y+C'„-32n-2+C；-32,,-4+…+•3?=.

考法二二项式指定项的系数与二项式系数

【例2】(1)在(x-6)'。的展开式中，x°的系数是

(2)二项式(x+工)的展开式中常数项是(用数字作答)

/\30

(3)Vx1

+不的有理项共有项

/

【一隅三反】

1.二项式（2/—,）6的展开式中的常数项是（用数字作答）

X

2.在二项展开式中，常数项是_____.

Ix）

3.若x+声）的展开式中力的系数为7,则实数。=.

4.已知（2丁+!）”的展开式的常数项是第7项，则"=.

X

考法三多项式系数或二项式系数

1V

【例3】（1）%2+4-2的展开式中常数项是（）

A.-252B.-220C.220D.252

/\5

(2).若(1+2)&x的展开式中常数项为一80,则”()

1%)

A.2B.1C.-2D.-1

【一隅三反】

1.11+塔一1］展开式中常数项为（）.

A.6B.10C.15D.16

4.在（1+X+击尸的展开式中，X?项的系数为（）

A.30B.45C.60D.90

/1xl（）

5.若12_qx+的展开式中尤6的系数为30,则。等于（)

11

A•—B.—C.1D.2

32

考法四二项式定理的性质

【例2】（1）（多选）的展开式中二项式系数最大的项是（)

A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项

（N

（2）（多选）二项式x2+-的展开式中，系数最大的项为（）•

IX）

A.第五项B.第六项C.第七项D.第八项

（1Y

（3）若x-上的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含/项的系数是

IX）

A.-462B.462C.792D.-792

【一隅三反】

1.在（x—l）”（〃eN+）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则

（2五-9）的二项展开式中的常数项为（）

A.960B.1120C.-560D.-960

2.（ax+》（2乂-1）5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（）

A.-颤|B.-MC.10D.20

3.（多选）已知（a+b）”的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（）

A.7B.8C.9D.10

4.已知（3x+1,展开式中各项系数的和为m,且〃=10g2机，求2）展开式中二项

式系数最大的项的系数.

5.二项式2x—」-的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开

\2xJ

式中的常数项是.

考法五二项式系数或系数和

【例5】若/(x)=(1+2x)7_4+4%+出厂+…+a7f.

求：(1)4+q+…+%；

(2)4+%+%+%；

⑶同+同+同+…+㈤.

【一隅三反】

1.在(2x+1)5的二项展开式中，二项式系数之和为；所有项的系数之和为.

10H,J

2.若(6—x)=ao+aix+a2xN---FaiOx,则(a()+a2+,・・+aio).一(ai+a3+**-+a9)=

n

3.已知(1+2x)=4+41+4/+・・・+4]01|°+q[婢，则a}-2a2+10<710+]la”=

4.设(2工-1)"=g+4%+//+~+41展开式中只有第1010项的二项式系数最大.

(1)求n；

⑵求同+同+同+…+HI；

⑶求4+/+冬+…+卜

考法六二项式定理运用

【例6】(1)7产除以100的余数是

(2)(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是

【一隅三反】

1.已知7428。+a能够被15整除，则。=.

2.3'被5除所得的余数是.

3.0.996的计算结果精确到0.001的近似值是

答案解析

考法一二项式定理展开式

【例1】(1)求(34++)4的展开式为.

(2)已知C，—4&+42亡—4'c；+…+(—1)"4"C；=729,则〃的值为

119

【答案】(1)-+—+54+108x+81x2

XX

【解析】(1)方法一(3市+关|』(3市)''+或(34)36，+璐(35)(左)+琮

(3也)^^}+C(^')=81x'+108x+54+?+*.

方法二(35+力'=(苛l]'="(l+3x)'="・[1+C；«3x+d(3x)2+d(3x)3+d(3x)']

1112

=-(1+12X+54X2+108X3+81X)=-+—+54+108x+81x2.

XXX

(2)由C：-4C：+42C,"43C；+…+(—1)"4"C：=729得

C-1"•(T)"+C：•卅.(T)i+C；-I"-2-(-4)2+C;I.㈠7+…+C；；-l°•(T)"=729

则(1—4)"=729,即(-3)"=729=(-3)6,解得〃=6.

【一隅三反】

1.化简多项式(2x+l)S-5(2x+D"+10(2x+l)3-10(2x+l)2+5(2x+l)-l的结果是()

A.(2x+2)5B.2x5

C.(2x-l)5D.32x5

【答案】D

【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作G(2x+l)j(―1)',故为[(2%+1)-1了

的展开式，化简[(21+1)-=(2x)5=32x5.故选D.

2.化简：32"-C°+C\-32"-2+-32n-4+...+C；；-'-32=—.

【答案】10"—1

【解析】

(32+1)"=x(32/。xl°+C'„x(32「xl'4-...+Cf'x(32)'x1"-'+C"x(32)°x1"

则32WC+C\-32n-2+C；了…+…+•32+1=(32+1)"=10n

所以32"+C1皿+c,；了…+…+c：i.32=10"—1故答案为：10"—1.

考法二二项式指定项的系数与二项式系数

【例2】（1）在（x-百）|°的展开式中，内的系数是

（2）二项式（x+工）的展开式中常数项是

（用数字作答）

<]、30

(3)\/~XH—广的有理项共有..项

<VX7

【答案】⑴9C；）⑵70（3）6

【解析】（1）由耳•产C：oxl°-k（-V3）S令10-k=6,解得k=4,系数为（-G）'C[=9C；＞

（2）二项式（x+工）的展开式的通项公式（用二品/7!二最^^,令8_2厂=0,得

48x7x6x5

「=4,则常数项为LC；=IH=7。，故答案为：70

(3)的通项公式为:〃=G0(叼C=端"

r=0,1=C，/=6,7；=C/，

r=12,7；3=C$°"=18,7；9=C：M，

r=24,G=C2T。,=30,7；,=，

所以有理项共有6项，故选：C

【一隅三反】

1.二项式（2f—‘）6的展开式中的常数项是.（用数字作答）

x

【答案】60

【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为:

&=q（2x2/=（-

令12-3厂=0可得r=4,此时n=22。：=60.

2.在（2/+，］二项展开式中，常数项是一

IX）

【答案】60

【解析】展开式的通项公式是IT=C-（2尤2）6=2（>-r-C^xl2-3r,当12-3「=0

时，r=4

7；M=22.C：=6（）.故答案为60

的展开式中尤4的系数为7,则实数

【解析】根据二项展开式的通项公式可得:

令8-4-r=4,可得r=3,。8%'=08a%a=7,解得：a=~1,故答案为：：1

322

4.己知（21+'）”的展开式的常数项是第7项，则〃=

X

【答案】8

【解析】根据题意，可知第7项为=£>2"-6./-24,而常数项是第7

\xJ

项，则

3〃—24=0,故〃=8.故答案为：8.

考法三多项式系数或二项式系数

【例3】（1）^+4.-2^的展开式中常数项是（）

\XJ

A.-252B.-220C.220D.252

/\5

（2）.若（x+2）g-x的展开式中常数项为一80,则。=（）

A.2B.1C.-2D.-1

【答案】（1）A（2）C

【解析】（1）由@2H--2）5=（x-）10,

X~X

可得二项式a—L尸的展开式通项为&=Gt/F—,）「二（―,

XX

令10—2r=0,解得厂=5,所以展开式的常数项为（—1）5C；）=—252.故选：A.

/、5

（2）V\--x的展开式的通项公式为：4+1=C＞（—,显然，2L5为

lx）

奇数，

/、5

•・•若求（x+2）--X展开式的常数项，.・.2〃—5=—1,解得r=2

1%）

故（x+2）@—%的展开式的常数项等于：C；1=-80.•.&=—2故选：C.

lx）

【一隅三反】

1.卜+二―1）展开式中常数项为（）.

A.11B.-11C.8D.-7

【答案】B

【解析】将x+4看成一个整体，展开得到：*=c8+3产（一1），

Xx~

（X+1严的展开式为：Tm+i=.x-2,"=玛"取4一r_3m=0

X

当〃2=0时，r=4系数为：C：xC；x（-1）4=1当加=1时，厂=1系数为：

C：xC；x（-iy=-12

常数项为1-12=—11故答案选B

A.-30B.30C.-25D.25

【答案】C

【解析】的通项为&

、5

-3x|1--/4

+—,根据式子可知

<4X

7

当r=4或r=2时有常数项，令r=4ng=C；(—1)［十］；令

r=2n4=C；(T)2(+);故所求常数项为C；-3xC；=5—30=—25,故选C.

/(\、6

3.(1+x4)1+-的展开式的常数项为()

\XJ

A.6B.10C.15D.16

【答案】D

【解析】由题意得jl+工］的展开式的通项为？；+i=CW(r=0,l,2「、6),

IX)

(1、6

令「=4,则C：=15,所以(1+d)1+士的展开式的常数项为1+15=16.故选：1).

\x)

4.在(1+X+强尸的展开式中，X?项的系数为()

A.30B.45C.60D.90

【答案】B

【解析】在(1+X+击尸的展开式中,/

通项公式为Tr+i=Cl04x+-^

对于，通项公式为TE=C：”-。2叫kWr,r、keN,rW10.

令r-2021k=2,可得r=2+2021k,故k=0,r=2,故x?项的系数为C；)•C；=45,故

选：B.

5.若卜2

的展开式中f的系数为30,则。等于()

1

A.-B.C.1D.2

32

【答案】D

10'°(110

【解析】将题中所给式子可化为C?11

x+一I=X2工+一-axH—

XX

(iY°

根据二项式定理展开式通项为筹+i，x+-的通项为

IX)

x-rr10-2r

〃+1=Qo'°(g)=c10x

令10—2r=4解得，=3

所以九6的项为/.c%/=120%6令10-2r=6解得厂=2

所以的项为一。.G*力=-45or6

综上可知，1的系数为12()-45。=30解得。=2故选:1)

考法四二项式定理的性质

【例2】(1)(多选)(x—L)的展开式中二项式系数最大的项是()

A.第5项B.第6项

C.第7项D.第8项

(1A"

(2)(多选)二项式x2+-的展开式中，系数最大的项为().

IX)

A.第五项B.第六项C.第七项D.第八项

(1Y

(3)若x-士的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含/项的系

IX)

数是

A.-462B.462C.792D.-792

【答案】(1)BC(2)BC(3)1)

【解析】(1)因为n=ll为奇数，所以展开式中第L区项和第上1!+1项，即第6项和

22

第7项的二项式系数相等，且最大.故选：BC

（2）二项式（产+工）的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项

所以系数最大的项为第六项和第七项故选：BC

（3）—的展开式中只有第7项的二项式系数最大，，〃为偶数，展开式共有13

项，则〃=12.

（X—工）的展开式的通项公式为令12—2r=2,得r=5.

展开式中含/项的系数是（—1）5（2；=—792,故选D.

【一隅三反】

1.在（x—l）”（〃wN+）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则

的二项展开式中的常数项为（）

A.960B.1120C.-560D.-960

【答案】B

【解析】在（x-1）"（nGN*）的二项展开式中，若只有第5项的二项式系数最大，则

n=8,

则（2«—-+）的二项展开式的通项公式为…・（-1）

令4-r=0,求得r=4,可得展开式中的常数项为C；吆'"-1）"=1120,故选B.

2.（ax+》（2%-1）5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（）

A.-辑瞅B.C.10D.20

【答案】C

【解析】由己知，当％=1时，（Q+；）（2—1）S=2,即a=1,所以（％+1）（2%—1）5展开式

中常数项为3X《2%X（-1）4=10,故选C.

3.（多选）已知（Q+b）”的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】ABC

【解析】V已知(a+3”的展开式中第5项的二项式系数C：最大,则〃=7或n=8或n=

9故选：ABC.

4.已知(3x+1)，展开式中各项系数的和为m,且〃=10g2机，求(五—展开式中二项

式系数最大的项的系数.

【答案】59136

【解析】设(3x+l)6=4+4%+4/+…+4丁，令x=l,得根=(3+1)6=46=2设，

所以〃=log2加=12,则(4-2］展开式中有13项，且中间一项(第7项)的二项式系

数最大，

该项为7；=3(4)6=(—2)63丁=59136/.故所求的系数为59136.

5.二项式(〃eN*)的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开

式中的常数项是.

【答案】-20

【解析】由题意知，展开式中有7项，〃=6.因为

"+1=（2力6-［一5）=（-1/C；26-2rx6-2r

令6—2r=0,得r=3,所以常数项为（一1）3。；=一20.

考法五二项式系数或系数和

［例5］若f(X)=(1+2x)7=%+。1工+。2工2+,・・+%/.

求：(1)+%+…+%；

(2)。［+。3+。5+。7；

(3)周+闻+同+…+同.

【答案】(1)27；(2)14；(3)27.

【解析】(1)令X=1,可得AD=33=%+4+〃2+。3+。4+。5+〃6+。7=27,

/.%+q+。2+/+。4+。5+。6+%=27.①

(2)令X=-1可得/(—I)=(—1)3=1()_4+g_〃3+%_—〃7，

・，・4—q+—%+-%+—〃7=­].(2)

由①一②得2(。]+。3+。5+。7)=28,

I.q+%+%+%=14.

(3)由题意得二项式(l+2x)7展开式的通项为=C；(2x)「=2「3,，

.♦•每项的系数4〉0(，=01,2,…,7),

；•|q)|+141+1%I+,•,+1%|=%+4+%+/+/+%+4+%=27.

【一隅三反】

1.在(2x+1)5的二项展开式中，二项式系数之和为;所有项的系数之和为—.

【答案】32243

【解析】根据二项展开式的性质，展开式的二项式系数之和为2〃=25=32,

令x=l可得所有项的系数之和为(2x1+1)5=35=243,故答案为：32,243

2.若(J5—x)lo=ao+aix+a2X2++aiox!0,则(ao+a2+…+aio)2—(a1+a3+…+39)?=

【答案】1

【解析】令x=l,得/+4+…+。]0=(逐一1)，令工=-1,得

%-q+%-03+。。+4o=(V2+1)，

(a。+々2+,••+q())—(%+/+・••+49)-

=(4+4+…+。[0)([)—q+。2—%---^4o)=(V^+1)-1)=1.故选：A.

3.已知(1+2x)=/+u^x+出炉+…+〃]0父°+q,则4—2%+•••—1。4()+1।=

【答案】22

210

【解析】对等式(1+2x)”=/+ci^x+ci2x+…+4Z]QX+a”尤“两边求导，得

10910

22(1+2x)=aj+2a2x4---F10a10x+1l^jX,令x=—1,则

q—2a+••,—1O〃io+Ila”=22.

4.设(2'-1)"=%+0/+4召+~+%/展开式中只有第1010项的二项式系数最大.

(1)求n；

(2)求同+闻+同+…+同;

⑶求卷+/+强+…+条

【答案】(1)2018；(2)32018;(3)-1.

【解析】(1)由二项式系数的对称性，一+1=1010,〃=2018

2

2018

(2)|tz0|+|a1|+|a2|+---+|a2018|=«0-a1+a2+---+«20|8=3

(3)令X=0,得%=(1-0)2-=1,

令x=g，得争次+$+…+舞"—Di，故

a\,a2,a3,02018_1

T+F2^'2^""

考法六二项式定理运用

【例6】(1)7产除以100的余数是

(2)(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是

【答案】(1)41(2)1.34

72727271

【解析】⑴71=(70+1)=C?270+C；270+-+C^70+C^

=m4024-72x70+l(/ne?/)=mAO2+5041

即7J2除以100的余数为41故答案为：41.

2

(2)(1.05)6=(1+0os/=1+ci.0.05+亡.0.05+---«1+0.3+0.0375=1.3375«1.34

故答案为：1.34

【一隅三反】

1.已知742020+a能够被15整除，则a=

【答案】14

【解析】由题可知,

...74202。=(75-1产°

20920

=4。752叫—1)。+42G75刈9(-1)'+…+C^75'(-1)'+C藕>75。(-if

_,7^-2020z^>l^7^2019.x-»2019.i

=^2020I。一^2020/J+^2020+'

02

所以742°2°+a=C2()752°-虢751i+a,

而75能被15整除，要使742°2°+。能够被15整除，只需1+。能被15整除即可,

所以l+a=15,解得：。=14.故答案为：14.

2.38被5除所得的余数是.

【答案】1

【解析】因为新=(5—2)8

=C：♦51(+C；•5,x(-2)+《-56x(-2K+K+C；♦5x(-2)7+C；-5°x(-2)8

=5(C；•5’+C；•56x(-2)+C；-55X(一2尸+K+C；(-2)7)+C：-5°x(-2)8,

所以转化为求C：-5°x(-2)8=256被5除所得的余数，

因为256=51x5+1,所以38被5除所得的余数是1,故答案为：I

3.0.996的计算结果精确到0.001的近似值是

【答案】0.941

［解析］(0.99)6=(1-0.01)6=点X1-CX0.01+C；X(00］)2YX(0.01)3…

=1-0.06+0.0015—0.00002...。0.941故选B

《6.3二项式定理》考点训练

【题组一二项式定理展开式】

1.计算2"-|。：+2"2。：+2"-36；+-+0：等于()

A.3"B.2x3"C.3"—1D.3"-2"

2.设〃eN",化简I+C：］()+C3H)2+C3O3+…+&q()"=,

3.已知〃GN*,若C：+2C；+2?C；+…+2TC『+2"-'=40,则n=

22n2213

4.求值2"-'-C\n_x-2-+C*-2-+……+(―1严2C2，--2.2+(_产=

【题组二二项式指定项的系数与二项式系数】

3

1.展开式中含的项是（)

A.第8项B.第7项C.第6项D.第5项

2.二项式（1—工产°展开式中的第2020项是（）

A.1B.2020/39c.-2O2Ox2019D.%2020

3.二项式的展开式中，常数项为

在的展开式中，第6项为常数项.

（1）求〃；（2）求含/的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.

【题组三多项式指定项系数或二项式系数】

1.在（l+2-x）的展开式中，项的系数为（）

A.-50B.-3（）C.30D.50

2.（犬+3%+2『展开式中》的系数为（）

A.92B.576C.192D.384

3.（x—y）（x+2y+z）6的展开式中，fy3z2的系数为（）

A.—30B.120C.240D.420

4.代数式,+2）（*'的展开式的常数项是一（用数字作答）

丁-1卜4+2）6的展开式中的常数项为.（用数字作答）

5.

6.求（1+x）6（2y+1）5的展开式中x4y2的系数.

7.（f+3x+2）5的展开式中1的项的系数是

8.的展开式中/的系数是一10,求实数a的值

【题组四二项式定理的性质】

九，厂1

1.在——x的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中炉的系数为

I2.

7

()

3535

A.-7B.C.—D.7

T8

2.若（x-L）的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含f项的系数是

（）

A.132B.-132C.-66D.66

3.（石-2］展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是

IxJ

（）

A.180B.90C.-180D.-90

4.（多选）在（x-L］的展开式中，下列说法正确的有（）

（X

A.所有项的二项式系数和为64B.所有项的系数和为0

C.常数项为20D.二项式系数最大的项为第4项

5.（多选）已知（4+板）"（其中〃<15）的展开式中第9项，第10项，第11项的二

项式系数成等差数列.则下列结论正确的是（）

A.n的值为14B.展开式中常数项为第8项

C.展开式中有理项有3项D.二项式系数最大的项是第7项

6.关于（a—的说法，正确的是（）

A.展开式中的二项式系数之和为2048

B.展开式中只有第6项的二项式系数最大

C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大

D.展开式中第6项的系数最大

/2Y

7.（多选题）已知/+3_?展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992,

I）

则下列结论正确的为（）

A.展开式中偶数项的二项式系数之和为25

B.展开式中二项式系数最大的项只有第三项

C.展开式中系数最大的项只有第五项

D.展开式中有理项为第三项、第六项

【题组五二项式系数或系数和】

1,若（1+工）^（1-2x）4=£1。+4尤+4％2+•,•+a7％'，则/+。2+“4+“6=（）

A.3B.4C.5D.6

2.已知（l+x）〃=%+。］++。2工2+…，4）+〃］+%+…+。〃=16,则自然数〃等

于（）

A.6B.5C,4D.3

3.若。（/02。+4》2。“］一切+4婢"］_力2+一+%磔（］_司2。2。=］,则

%+。1+,一+。2020=（）

A.1B.0C.22020D.22021

4.已知多项式（2x7）5_5（2X_1）4+10（2X_1）3_10（2X_1）2+5（2X_1）_］可以写

成。0+。3/+。4丁+。5/，贝1］。（）+。2+。4=（）

A.0B.-1024C.-512D.-256

5.已知（工-1=］的展开式中第9项为常数项，则展开式中的各项系数之和为（）

2G

A./B・C・210D，-210

6.设复数X=2」,（i是虚数单位），则C：O|9X+MH9X2+CO|9X3+...+C；T；X239=

l-i

（）

A.iB.—iC.—1+zD.-1—i

7.已知（1+/U）〃展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，

n2n

（1+Ax）=a0+axx+a2xH-----1-anx,若4+g+…。〃=242,则

%-4+4-------卜（-1）”了的值为（）

A.1B.-1C.81D.-81

10

8.已知（x+l”°=ai+a2x+a3x2H---Faux.若数列a”a2,a3,,,,,ak（l^k^ll,k£N*）

是一个单调递增数列，则k的最大值是（）

A.5B.6C.7D.8

【题组六二项式定理的运用】

1.1一9OC：o+9（）2。—9。3小+…+90”（：；）除以88的余数是（）

A.2B.1C.86D.87

2.设acZ,且04。w13,若51232+Q能被13整除，则。=（）

A.0B.1C,11D.12

3.已知机＞0,且152°20+相恰能被14整除，则加的取值可以是（）

A.一1B.1C.7D.13

4.设a£Z,且0WaV13,若5/2。+@能被13整除，则a=（）

A.0B.1C.11D.12

5.设n£N*,则C；ln80+C\1n-a+C：ln-282+C；ln-383+……+通…+C；108n除以9

的余数为（）

A.0B.8C.7D.2

6.1.026的近似值（精确到0.01）为（）

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.20

7.1.957的计算结果精确到个位的近似值为（）

A.106B.107C.108D.109

8.已知〃为正整数，若+则〃的值为（）

A.2B.3C.4D.5

答案解析

【题组一二项式定理展开式】

1.计算2"-'C：+2'-2C；+2"3C；+…+C,：等于()

A.3"B.2x3"C.3n-lD.3"-2"

【答案】D

【解析】原式可变为(2"C>2ZC；+2n-2c：+2n-3c：+-+C：)-2"C°=

(2+1)"-2"=3"-2"选项D.

2.设〃eN*,化简l+C40+C0102+C；403+—+C；」0"=.

【答案】11"

【解析】容易知1+&•io+♦io?+c；」。'+…+c：•io,,=(i+⑼"=11".故答案为:

11”.

3.已知〃eN*,若C：+2C；+22C；+…+2"-2C：I+2"T=40,则〃=.

【答案】4

【解析】&+2022价..+*靖+》16+2&+22。"..+2勺-1)

=；[(1+2)"—1]=；(3"—1)=40.•.几=4故答案为：4

4.求值22"-'-C；„_,-22"-2+C^„_,-22-3+……+(-1)?"-c；：二;.2+(-1)2"-'=

【答案】1

【解析】通项展开式中的。=-l,a=2,故

221—C；,T.224+*T•22T+……+(T广2嘲2+(_1广=(2-1严-1=]

【题组二二项式指定项的系数与二项式系数】

展开式中含了总的项是

1.)

A.第8项B.第7项C.第6项D.第5项

【答案】C

y/x___3_丫

【解析】展开式的通项公式为:

34x

令二—r=-：nr=5；故展开式中含/I的项是第6项.故选：C.

22人

2.二项式（1-》产°展开式中的第2020项是（）

A.1B.2O2Ox2019C.-2O2O%2019D.x2020

【答案】C

【解析】由二项展开式（1一%产°,可得展开式的通项为0|=。嬴（一X）'，

所以展开式中第2020项为4）2。=嘲（-%）20'9=-2O2O%2019.故选：C.

3.二项式+的展开式中，常数项为_________.

Ixj

【答案】40夜

【解析】（岳的展开式的通项公式为

Tr+l=C•（小『二口J=*•（及厂产2"

\xJ

令6—2r=（）,可得r=3,所以展开式的常数项为（右）’=40底，故答案为:

40vL

4.已知I3&_在的展开式中，第6项为常数项.

(1)求〃；

(2)求含/的项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项.

6345

【答案】(1)〃=10；(2)—；(3)—X2

44~8，256/

【解析】(1)

n-r

*=C”,因为第6项为常数项，所以r=5时，有

fi—2厂

——=0,解得〃=10.

71-2尸11

⑵令一亍一=2,得，•=](〃-6)=]X(10—6)=2,所以含产的项的系数为

10-2r

-----eZ

3i0_2

(3)根据通项公式与题意得,令二^=k〈kwZ),则10-2r=3%,即

reZ

3

r=5——k.rwZ，二七应为偶数.又OWrWlO,二七可取2,0,-2,即「可取2,

2

5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为

6345

"T>256*2

【题组三多项式指定项系数或二项式系数】

1.在11+2—x)的展开式中，工2项的系数为()

A.-50B.-3()C.30D.50

【答案】B

【解析】0+2-x)表示5个因式(1+|-x)的乘积，在这5个因式中，

有2个因式都选一x,其余的3个因式都选1,相乘可得含f的项；

或者有3个因式选一x,有1个因式选工，1个因式选1,相乘可得含炉的项，

X

故/项的系数为C；+(-C：•G•2)=—30,故选B.

2.(f+3x+2)6展开式中x的系数为()

A.92B.576C.192D.384

【答案】B

【解析】(尤2+3%+2?展开式中含》的项为C：(3x)-C；2'=6x3xx32=576x,即x的

系数为576；故选B.

3.(x—y)(x+2y+z)6的展开式中，Vy3z2的系数为()

A.-30B.120C.240D.420

【答案】B

【解析】］(x+2y)+z了展开式中含Z2项为C；(x+2»z2,(x+2y)4展开式中孙3项的

系数为C：x23,x2y项的系数为C；x22,/.(x-y)(x+2y+z)6展开式中x2y3z2的系数为

C汨X23-C；C；X22=480-360=12(),故选B.

4.代数式(J+2)(二-Ip的展开式的常数项是_______(用数字作答)

【答案】3

【解析】［5一1)的通项公式为加=6《尸(―1),=(—1)「C021。.

令2尸—10=—2,得r=4；令2尸—10=0,得r=5.

...常数项为（一1）4C；+2（-Ip以=5-2=3故答案为3.

（丁-。（«+・）6的展开式中