函数模型的应用 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

稻壳老师4.5.3函数模型的应用学习目标1.会通过具体的函数模型分析实际问题2.能够对问题进行分析，建立合适的数学模型学习重点学习难点应用函数模型解决实际问题选择合适的数学模型解决问题新课导入

我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画，面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？新课学习表是1950~1959年我国的人口数据资料:年份195119521953195419551956195719581959人口总数/万551965630057482587966026661456628286456367207问题：(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符;（2）如果按表的增长趋势，大约在什么时候我国人口总数达到13亿?分析:用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量y0和年平均增长率r问题解答：由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合|2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的?分析:因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数

建立数学模型问题解答因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此大坝是公元前2902年建成的．单击此处输入你的正文，文字是您思想的提炼请添加副标题假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元;方案二:第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案?单击此处输入你的正文，文字是您思想的提炼请添加副标题x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.2...............…...30400300214748364.8107374182.4我们来计算三种方案所得回报的增长情况：单击此处输入你的正文，文字是您思想的提炼请添加副标题oxy2040608010012014042681012画出三个函数模型单击此处输入你的正文，文字是您思想的提炼请添加副标题由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案工的函数的增长情况很不相同，可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的，从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多;在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少;在第5~8天，方案二最多;第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.分析:本题提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系.由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润。于是，只需在区间[10，1000]上，寻找并验证所选函数是否满足丽条要求:第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5;第二，奖金不超过利润的25%，即y<0.25x.不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认.单击此处输入你的正文，文字是您思想的提炼4006008001000120020012345678xyoy=5y=0.25x问题解答画出函数的图像为单击此处输入你的正文，文字是您思想的提炼建立函数模型解决问题的基本过程实际问题函数模型实际问题的解函数模型的解化归解释说明推理运算建立函数模型时,求解函数解析式的方法：(1)待定系数法:已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数模型,此种情形下应用待定系数法求出函数解析式中的相关参数(未知系数)的值,就可以确定函数的解析式。(2)归纳法:先让自变量x取一些特殊值,计算出相对应的函数值,从中发现规律,再推广到一般情形,从而得到函数的解析式。建立函数模型时,求解函数解析式的方法：(3)方程法:用x表示自变量或其他相关的量.根据问题的实际意义,运用已掌握的数学、物理等方面的知识,列出函数的解析式,此种方法形式上和列方程解应用题相仿,故称为方程法,实际上函数的解析式就是含x,