苏教版初升高一初数学预习专题04二次根式-初升高数学无忧衔接(学生版+解析)

专题04二次根式专题专题综述课程要求初中对于二次根式的学习，主要集中在基础的“数”的运算，对于二次根式里含代数式的问题设计较少。相较于初中的二次根式的学习，高中更多的是研究二次根式内含代数式的问题，主要利用二次根式内的数（式）的非负性。课程要求课程要求《初中课程要求》1、了解二次根式的概念；2、知道被开方数必须是非负数；3、能运营二次根式的性质解决实际问题。《高中课程要求》1、在掌握二次根式的基础方法上进一步熟悉二次根式的运算方法；2、能够进行二次根式的分子、分母有理化；3、会使用“夹逼”的方法推出被开放数为零。知识精讲知识精讲初中知识储备：利用公式因式分解初中知识储备：利用公式因式分解备：绝对值一般地，形如a(a≥0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如a+b，x2+2x+3等是无理式，而a1．分母（子）有理化把分母（子）中的根式化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式。分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母（子）的有理化因式，化去分母（子）中的根号的过程；例如1a,我们可以这样有理化：1a=aa∙a=aa；而对于1a−2．二次根式a2a典例剖析典例剖析例题1．实践与探索（1）填空：________；________．（2）观察第（1）的结果填空：当时，________；当时，________．（3）利用你总结的规律计算：，其中x的取值范围在数轴上表示为．变式训练变式训练1.用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n，如：1※2．（1）求（﹣2）※；（2）若3※m＜－6，化简．能力提升能力提升1.有一道题“已知，求的值”，小明在解答时，没有直接带代入，而是这样分析的：因为，所以，所以，．所以，故．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若，求的值．对点精练对点精练1．二次根式中字母a的取值范围是（）A．a≠﹣1 B．a＞﹣1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣12．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（）A． B． C．8 D．无法确定3．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（）A．a－b＝0 B．a＋b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b24．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（）A．6 B． C．12 D．5．若，则代数式的值为（）A．7 B．4 C．3 D．6．设a，b，c是△ABC的三边的长，化简+|b﹣a﹣c|的结果是________．7．已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是__．8．________．9．已知y＝1＋＋，则2x＋3y的算术平方根为_____．10．在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系例如：由（＋1）（﹣1）＝1，可得＋1与﹣1互为倒数，即＝﹣1，＝＋1，类似地，＝﹣，＝＋；＝2﹣，＝2＋；⋯．根据小腾发现的规律，解决下列问题：（1）＝___，＝___；（n为正整数）（2）若＝2﹣m，则m＝___；（3）计算：＝___．11．计算．（1）；（2）．12．计算：．13．小颖利用平方差公式，自已探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程．解：设﹣＝m，与原方程相乘得：（＋）×（）＝5m，x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，∴﹣＝1，与原方程相加得：（＋）+（）＝5＋1，2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．学习借鉴解法，解方程﹣＝1．14．阅读下列材料．然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝①；＝＝②；＝＝＝③；以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1④；（1）请用不同的方法化简：参照③式求；参照④求；（2）化简：++…+．15．先阅读下面的解题过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，即，，则有：．（1）根据上述方法化简：①；②．（2）已知，则______．专题04二次根式专题专题综述课程要求初中对于二次根式的学习，主要集中在基础的“数”的运算，对于二次根式里含代数式的问题设计较少。相较于初中的二次根式的学习，高中更多的是研究二次根式内含代数式的问题，主要利用二次根式内的数（式）的非负性。课程要求课程要求《初中课程要求》1、了解二次根式的概念；2、知道被开方数必须是非负数；3、能运营二次根式的性质解决实际问题。《高中课程要求》1、在掌握二次根式的基础方法上进一步熟悉二次根式的运算方法；2、能够进行二次根式的分子、分母有理化；3、会使用“夹逼”的方法推出被开放数为零。知识精讲知识精讲初中知识储备：利用公式因式分解初中知识储备：利用公式因式分解备：绝对值一般地，形如a(a≥0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如a+b，x2+2x+3等是无理式，而a1．分母（子）有理化把分母（子）中的根式化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式。分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母（子）的有理化因式，化去分母（子）中的根号的过程；例如1a,我们可以这样有理化：1a=aa∙a=aa；而对于1a−2．二次根式a2a典例剖析典例剖析例题1．实践与探索（1）填空：________；________．（2）观察第（1）的结果填空：当时，________；当时，________．（3）利用你总结的规律计算：，其中x的取值范围在数轴上表示为．【答案】（1）3，5；（2）a，；（3）2【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简求出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简求出答案；（3）直接利用二次根式的性质化简求出答案．【详解】解：（1）3；

=5；故答案为：3，5；（2）当a≥0时a；当a＜0时，-a；故答案为：a，-a；（3）由数轴可得x的取值范围为，∴x-2＞0、x-4＜0，∴=2．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．变式训练变式训练1.用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n，如：1※2．（1）求（﹣2）※；（2）若3※m＜－6，化简．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；（2）根据新定义列出关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围即可得到最终答案．【详解】解：（1）；（2）由已知可得：3m<-6，解之可得：m<-2，即-m>2，∴2-m>4>0，-m-2>0，∴．【点睛】本题考查实数运算的综合应用，熟练掌握新定义运算的解题方法、一元一次不等式的求解及二次根式的性质是解题关键．能力提升能力提升1.有一道题“已知，求的值”，小明在解答时，没有直接带代入，而是这样分析的：因为，所以，所以，．所以，故．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若，求的值．【答案】-4【分析】先把分母有理化，得出a的表达式，最后代入中即可．【详解】解：∵，∴，∴，即，∴，∴【点睛】此题考查的是求代数式的值，涉及完全平方公式，分母有理化等知识，读懂题意，掌握相关运算法则是解题的关键．对点精练对点精练1．二次根式中字母a的取值范围是（）A．a≠﹣1 B．a＞﹣1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣1【答案】C【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，a+1≥0，解得a≥-1．故选：C．【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，比较简单．2．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（）A． B． C．8 D．无法确定【答案】C【分析】从数轴上可以看出，，所以，进一步根据绝对值的意义和二次根式的运算化简即可．【详解】解：由数轴可知：∴．故选：C．【点睛】此题考查二次根式的化简与绝对值的意义，注意字母的取值范围是解题的关键．3．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（）A．a－b＝0 B．a＋b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2【答案】C【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各个式子的值，即可得出选项．【详解】解：分母有理化，可得a=2+，b=2-，∴a-b=（2+）-（2-）=2，故A选项错误，不符合题意；a+b=（2+）+（2-）=4，故B选项错误，不符合题意；ab=（2+）×（2-）=4-3=1，故C选项正确，符合题意；∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2-）2=4-4+3=7-4，∴a2≠b2，故D选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．4．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（）A．6 B． C．12 D．【答案】A【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值．【详解】∵，∴，∴的整数部分，∴小数部分，∴．故选：．【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．5．若，则代数式的值为（）A．7 B．4 C．3 D．【答案】C【分析】先将代数式变形为，再代入即可求解．【详解】解：．故选：C【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x的值直接代入计算．6．设a，b，c是△ABC的三边的长，化简+|b﹣a﹣c|的结果是________．【答案】2a+2c【分析】根据三角形三边长关系，可得a+c＞b，结合二次根式和绝对值的性质，即可化简．【详解】解：∵a，b，c是△ABC的三边的长，∴a+c＞b，a+b+c＞0，∴b﹣a﹣c＜0，∴+|b﹣a﹣c|=|a+b+c|+|b﹣a﹣c|=a+b+c+a+c-b=2a+2c．故答案是：2a+2c．【点睛】本题主要考查三角形三边长关系以及二次根式的性质，掌握二次根式的性质，是解题的关键．7．已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是__．【答案】．【分析】把方程变形为，根据方程没有实数根可得，解不等式即可．【详解】解：由得，有意义，且，方程没有实数根，即，，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定的取值范围．8．________．【答案】【分析】分别根据绝对值的性质，二次根式的性质，特殊角的三角函数值和负整指数幂的性质进行计算，再算加减即可．【详解】，故填：．【点睛】本题考查了实数的综合运算能力，解答此题的关键是熟练掌握负整指数幂、二次根式、绝对值和特殊角的三角函数的运算．9．已知y＝1＋＋，则2x＋3y的算术平方根为_____．【答案】2【分析】根据二次根式的非负性求出，代入计算得到，再根据算术平方根的定义解答．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴2x＋3y的算术平方根为2，故答案为：2．【点睛】此题考查二次根式的非负性，算术平方根的定义，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．10．在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系例如：由（＋1）（﹣1）＝1，可得＋1与﹣1互为倒数，即＝﹣1，＝＋1，类似地，＝﹣，＝＋；＝2﹣，＝2＋；⋯．根据小腾发现的规律，解决下列问题：（1）＝___，＝___；（n为正整数）（2）若＝2﹣m，则m＝___；（3）计算：＝___．【答案】9【分析】（1）根据题目示例可得规律；（2）根据（1）得到的规律即可求解；（3）根据（1）的规律化简每个根式后再合并．【详解】解：（1）因为，所以＝；因为，所以；（2）∵＝2﹣m，∴，∴，∴，∴，∴；（3）．故答案为：（1）；；（2）；（3）9．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键.11．计算．（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案；（2）利用完全平方公式和平方差公式把括号展开，和二次根式的除法运算，最后合并即可得到答案．【详解】解：（1）（2）【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．12．计算：．【答案】3【分析】根据零指数幂，化解绝对值，分数指数幂，二次根式分母有理化等运算法则计算即可．【详解】解：原式＝，，，．【点睛】本题主要考查零指数幂，化解绝对值，分数指数幂，二次根式分母有理化等知识点，掌握以上知识点的运算法则是解题关键．13．小颖利用平方差公式，自已探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程．解：设﹣＝m，与原方程相乘得：（＋）×（）＝5m，x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，∴﹣＝1，与原方程相加得：（＋）+（）＝5＋1，2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．学习借鉴解法，解方程﹣＝1．【答案】x＝7【分析】根据借鉴题中的方法，即可计算求解．【详解】