人教版高一数学新教材同步配套教学讲义5.4.1正弦函数、余弦函数的图象(原卷版+解析)

5．4．1正弦函数、余弦函数的图象【知识点梳理】知识点一：正弦函数图象的画法1、描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法．2、几何法利用三角函数线作出正弦函数在内的图象，再通过平移得到的图象．3、五点法先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象．在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是知识点诠释：（1）熟记正弦函数图象起关键作用的五点．（2）若，可先作出正弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到的图象．知识点二：正弦曲线（1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线．（2）图象知识点诠释：（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质．（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如，方程根的个数．知识点三：用三角函数图象解三角不等式的方法1、作出相应正弦函数或余弦函数在上的图象；2、写出适合不等式在区间上的解集；3、根据公式一写出不等式的解集．【题型归纳目录】题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图题型二：含绝对值的三角函数题型三：解三角不等式问题题型四：与三角函数有关的零点问题题型五：识图问题【典型例题】题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图例1．（2022·湖南·高一课时练习）画出下列函数的简图：(1)，；(2)，．例2．（2022·全国·高一课时练习）分别作出下列函数的图象．(1)y＝2cosx，x∈[0，2π]．(2)y＝sin，x∈.例3．（2022·全国·高一课时练习）在所给的平面直角坐标系中，利用五点法画出函数的图象．变式1．（2022·全国·高一课时练习）作出函数在上的图象.变式2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，用五点法作出函数的图像.【方法技巧与总结】1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即或的图象在内的最高点、最低点和与x轴的交点．2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换．题型二：含绝对值的三角函数例4．（2022·江苏·高一单元测试）作出函数，的大致图像．例5．（2022·上海·高一课时练习）分别作出函数和的图像．例6．（2022·上海·高一课时练习）作出函数在内的图像．变式3．（2022·全国·高一课前预习）作函数的图象.【方法技巧与总结】分类讨论解决绝对值问题题型三：解三角不等式问题例7．（2022·全国·高一课时练习）不等式的解集是（

）A． B．C． D．例8．（2022·全国·高一课时练习）不等式的解集为（

）A． B． C． D．例9．（2022·甘肃·嘉峪关市第一中学高一期中）已知定义在区间的函数，则函数的解集是（

）A． B． C． D．变式4．（2022·全国·高一课时练习）已知是定义在上的函数，的图象如图所示，那么不等式的解集是（

）A． B．C． D．变式5．（2022·陕西·吴起高级中学高一阶段练习）不等式的解集为（

）A． B．C． D．变式6．（2022·全国·高一课时练习）不等式的解集是________.变式7．（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为______．变式8．（2022·广西·钦州一中高一期中）函数的定义域为_____________.变式9．（2022·全国·高一课时练习）求函数的定义域．【方法技巧与总结】用三角函数的图象解（或）的方法（1）作出直线，作出（或）的图象．（2）确定（或）的x值．（3）确定（或）的解集．题型四：与三角函数有关的零点问题例10．（2022·湖南·高一课时练习）函数，的图象与直线的交点有________个．例11．（2022·全国·高一单元测试）与交点个数为________个．例12．（2022·上海·高一课时练习）若函数与x轴有5个交点，则实数a的取值范围是___________.变式10．（2022·全国·高一课时练习）若方程在上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为______．变式11．（2022·江苏·高一单元测试）已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为______．变式12．（2022·全国·高一专题练习）设，函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_________变式13．（2022·上海·高一专题练习）方程有________个实数根．变式14．（2022·上海·高一课时练习）求函数和的图像的交点个数．变式15．（2022·海南华侨中学高一期末）已知函数.(1)用“五点法”做出函数在上的简图；(2)若方程在上有两个实根，求a的取值范围.变式16．（2022·江西·南昌市新建区第一中学高一阶段练习）已知函数.（1）先列表，用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象；（2）求方程在区间内的所有实数根之和.【方法技巧与总结】方程的根（或函数零点）问题：三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．题型五：识图问题例13．（2022·河南南阳·高一期末）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．例14．（2022·全国·高一课时练习）与图中曲线对应的函数可能是（

）A． B．C． D．例15．（2022·全国·高一学业考试）函数的大致图象是（

）A． B．C． D．变式17．（2022·全国·高一课时练习）函数的部分图象是（

）A． B．C． D．变式18．（2022·浙江·高一期末）函数在上的图象可能是（

）A． B．C． D．变式19．（2022·全国·高一专题练习）分别对应于函数，，，的图象的正确顺序是（

）．A．①②③④ B．②①③④ C．①②④③ D．②①④③【方法技巧与总结】利用排除法，从定义域、奇偶性、代数三个方面进行排除．【同步练习】一、单选题1．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）函数与函数的图像的交点个数是（

）A．3 B．6 C．7 D．92．（2022·湖南·新邵县教研室高一期末）函数在的图象大致为（

）A． B．C． D．3．（2022·全国·高一课时练习）已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（

）A． B．C． D．4．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知函数在上恰有三个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（2022·全国·高一课时练习）函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．6．（2022·广东清远·高一期末）已知函数，的图象与直线有两个交点，则的最大值为（

）A．1 B．2 C． D．7．（2022·全国·高一课时练习）函数零点的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．08．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）设且，若对恒成立，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2022·全国·高一专题练习）函数的图象与直线的交点个数可能是（

）A．0 B．1 C．2 D．310．（2022·全国·高一课时练习）下列选项能使有意义的m的值为（

）A． B． C． D．或11．（2022·江苏省盱眙中学高一阶段练习）函数，的图象与直线（为常数，且）的交点可能有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个12．（2022·全国·高一课时练习）关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（

）A．当或时，有0个交点 B．当或时，有1个交点C．当时，有2个交点 D．当时，有2个交点三、填空题13．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，，则该函数的图像与直线的交点坐标是______．14．（2022·全国·高一课时练习）用“五点法”作函数，的大致图像，所取的五点是______．15．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域是______．16．（2022·湖南·新邵县教研室高一期末）若函数恰有三个不同的零点，则_________.四、解答题17．（2022·全国·高一课前预习）求函数的定义域.18．（2022·湖南·高一课时练习）作出下列函数在一个周期图象的简图：(1)；(2)；(3)；(4)．19．（2022·全国·高一专题练习）已知函数.（1）完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出在上的简图；0（2）求不等式的解集.20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数（1）作出该函数的图象；（2）若，求的值；（3）若，讨论方程的解的个数．5．4．1正弦函数、余弦函数的图象【知识点梳理】知识点一：正弦函数图象的画法1、描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法．2、几何法利用三角函数线作出正弦函数在内的图象，再通过平移得到的图象．3、五点法先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象．在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是知识点诠释：（1）熟记正弦函数图象起关键作用的五点．（2）若，可先作出正弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到的图象．知识点二：正弦曲线（1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线．（2）图象知识点诠释：（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质．（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如，方程根的个数．知识点三：用三角函数图象解三角不等式的方法1、作出相应正弦函数或余弦函数在上的图象；2、写出适合不等式在区间上的解集；3、根据公式一写出不等式的解集．【题型归纳目录】题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图题型二：含绝对值的三角函数题型三：解三角不等式问题题型四：与三角函数有关的零点问题题型五：识图问题【典型例题】题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图例1．（2022·湖南·高一课时练习）画出下列函数的简图：(1)，；(2)，．【解析】(1)因为，，取值列表：00100描点连线，可得函数图象如图示：(2)因为，取值列表：101描点连线，可得函数图象如图示：例2．（2022·全国·高一课时练习）分别作出下列函数的图象．(1)y＝2cosx，x∈[0，2π]．(2)y＝sin，x∈.【解析】(1)①列表：x0π

2πcosx10－1012cosx20－202②描点连线如图．(2)①列表：x－

π

ππx＋0

π

π2πsin010－10②描点连线如图．例3．（2022·全国·高一课时练习）在所给的平面直角坐标系中，利用五点法画出函数的图象．【解析】列表：点作图，如图所示：变式1．（2022·全国·高一课时练习）作出函数在上的图象.【解析】令，列表如下：X0xy000描点连线得图象如图所示.变式2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，用五点法作出函数的图像.【解析】列表描点作图

【方法技巧与总结】1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即或的图象在内的最高点、最低点和与x轴的交点．2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换．题型二：含绝对值的三角函数例4．（2022·江苏·高一单元测试）作出函数，的大致图像．【解析】函数，其图如下所示：例5．（2022·上海·高一课时练习）分别作出函数和的图像．【解析】的图像为将在轴下方的图像沿轴翻折所得；的图像为在轴右方的图像不变，再将轴右方的图像沿轴翻折所得，故有：

例6．（2022·上海·高一课时练习）作出函数在内的图像．【解析】化简得到，画出函数图像，如图所示：变式3．（2022·全国·高一课前预习）作函数的图象.【解析】故的图象实际就是的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方后得到的图象，如图【方法技巧与总结】分类讨论解决绝对值问题题型三：解三角不等式问题例7．（2022·全国·高一课时练习）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图所示，不等式，的解集为故选：A例8．（2022·全国·高一课时练习）不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数图象如下所示：，不等式的解集为：．故选：．例9．（2022·甘肃·嘉峪关市第一中学高一期中）已知定义在区间的函数，则函数的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】作出函数图像，如图，所以由函数图像得的解集为故选：C.变式4．（2022·全国·高一课时练习）已知是定义在上的函数，的图象如图所示，那么不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，，由可得，解得；当时，，由可得，解得.因此，不等式的解集为.故选：C.变式5．（2022·陕西·吴起高级中学高一阶段练习）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，所以，如图所示：，所以不等式的解集为.故选：B变式6．（2022·全国·高一课时练习）不等式的解集是________.【答案】或【解析】在内,直线,与函数的图像的交点的横坐标分别为,,,,所以满足不等式的解集为.或故答案为：或变式7．（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为______．【答案】【解析】由题意得，解得，令k=-1，解得，令k=0，解得，令k=1，解得，综上，定义域为.故答案为：变式8．（2022·广西·钦州一中高一期中）函数的定义域为_____________.【答案】【解析】对数的真数必须大于零则即解之得：（）故答案为：（）变式9．（2022·全国·高一课时练习）求函数的定义域．【答案】【解析】要使函数有意义，需．即，结合正弦函数的图象，可知，在区间上，适合条件的x的取值范围是．所以该函数的定义域是．故答案为：.【方法技巧与总结】用三角函数的图象解（或）的方法（1）作出直线，作出（或）的图象．（2）确定（或）的x值．（3）确定（或）的解集．题型四：与三角函数有关的零点问题例10．（2022·湖南·高一课时练习）函数，的图象与直线的交点有________个．【答案】2【解析】作，的图象及直线如下所示，知两函数图象有两个交点．故答案为：2例11．（2022·全国·高一单元测试）与交点个数为________个．【答案】【解析】作出函数与的大致图象，如图：因为，，，，且两个函数图象均关于原点对称，所以两个函数图象有个交点，故答案为：例12．（2022·上海·高一课时练习）若函数与x轴有5个交点，则实数a的取值范围是___________.【答案】.【解析】的图像如下图所示：因为与轴有5个交点，由图象可知：，故答案为：.变式10．（2022·全国·高一课时练习）若方程在上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】作出，与的大致图象，如图所示．由图象，可知，即，故实数a的取值范围为．故答案为：.变式11．（2022·江苏·高一单元测试）已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】由题意得：，因为，所以，画出函数图象如下：要想保证有两个不同的实数解，则只需与函数图象有两个交点，显然，解得：故答案为：变式12．（2022·全国·高一专题练习）设，函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_________【答案】【解析】由题意得，在上仅有两个不同的解，即在上仅有两个不同的解，即在上仅有两个不同的解，设，则在上的图象与直线仅有两个交点，作出及直线的图象如下图所示，由图象可知，．故答案为：．变式13．（2022·上海·高一专题练习）方程有________个实数根．【答案】6【解析】作出函数与的图象如图：因为时，，时，，，时，，，时，，，所以由图可知，函数与的图象有6个交点.所以方程有6个实数根.故答案为：6变式14．（2022·上海·高一课时练习）求函数和的图像的交点个数．【解析】由解得，又的值域为，且在定义域上单调递增，作出函数与的图象如图：由图象可知两个图象的交点个数为3个，变式15．（2022·海南华侨中学高一期末）已知函数.(1)用“五点法”做出函数在上的简图；(2)若方程在上有两个实根，求a的取值范围.【解析】(1)列表：x01131作图：(2)若方程在上有两个实根，则与在上有两个不同的交点，因为，所以作出函数在的图象，如下图所示：又，，，，由图象可得，或，故a的取值范围是.变式16．（2022·江西·南昌市新建区第一中学高一阶段练习）已知函数.（1）先列表，用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象；（2）求方程在区间内的所有实数根之和.【解析】（1），，列表如下：012001(2)由图象可知方程有两根，且关于直线对称，所以.【方法技巧与总结】方程的根（或函数零点）问题：三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．题型五：识图问题例13．（2022·河南南阳·高一期末）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A，，所以函数为偶函数，故排除A；对于D，，故排除D；对于C，，则，所以函数为奇函数，故排除C.故选：B.例14．（2022·全国·高一课时练习）与图中曲线对应的函数可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A选项，当时，，A选项不满足条件；对于B选项，当时，，，B选项不满足条件；对于C选项，当时，，C选项不满足条件；对于D选项，令，该函数的定义域为，，故函数为偶函数，当时，，D选项满足条件.故选：D.例15．（2022·全国·高一学业考试）函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函数是定义域上的奇函数其图象关于原点对称，排除选项D；当时，，此时，∴当时，的图象在轴上方，排除选项B；当时，，的图象在轴下方，排除选项C；综上所述，函数的大致图象为选项A.故选：A.变式17．（2022·全国·高一课时练习）函数的部分图象是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】定义域为R.∵，∴为奇函数，其图像关于原点对称，排除A、B；对于CD，令，解得：，即有三个零点，如图示，取，有，∵，∴.排除C；故选：D变式18．（2022·浙江·高一期末）函数在上的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，是奇函数，排除AB，在时，由复合函数单调性知是增函数，且，又增函数，且，所以是增函数，而是增函数，所以是增函数，排除D．故选：C．变式19．（2022·全国·高一专题练习）分别对应于函数，，，的图象的正确顺序是（

）．A．①②③④ B．②①③④ C．①②④③ D．②①④③【答案】A【解析】根据题意，依次分析4个函数：对于，其定义域为，有，是偶函数，与图象①对应；对于，其定义域为，有，是奇函数，与图象②对应；对于，其定义域为，与图象③对应；对于，其定义域为，时，，时，，与图象④对应；故选：A．【方法技巧与总结】利用排除法，从定义域、奇偶性、代数三个方面进行排除．【同步练习】一、单选题1．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）函数与函数的图像的交点个数是（

）A．3 B．6 C．7 D．9【答案】C【解析】的最小正周期是，，时，，作出函数和的图象，只要观察的图象，由图象知它们有7个交点，故选：C．2．（2022·湖南·新邵县教研室高一期末）函数在的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，关于原点对称，又，为奇函数，可排除C，D选项；又时，可得，可排除A选项，B选项正确.故选：B.3．（2022·全国·高一课时练习）已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】方程在内有解，即在内有解，令，，则，所以，解得.故选：C.4．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知函数在上恰有三个零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，又函数在上恰有三个零点，等价于函数在区间上恰有三个零点，由正弦函数的性质可知，，所以，即的取值范围为.故选：D.5．（2022·全国·高一课时练习）函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以是奇函数，排除C，D．当时，，排除B．故选：A．6．（2022·广东清远·高一期末）已知函数，的图象与直线有两个交点，则的最大值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】由可得，所以当时，由与有两个交点可得的最大值为所以则的最大值为故选：D7．（2022·全国·高一课时练习）函数零点的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．0【答案】A【解析】由，得，所以函数零点的个数等于图象的交点的个数，函数的图象如图所示，由图象可知两函数图象有4个交点，所以有4个零点，故选：A8．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）设且，若对恒成立，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，由函数与的图象可知不满足题意；当时，函数单调递减，由图知，要使对恒成立，只需满足，得.故选：C二、多选题9．（2022·全国·高一专题练习）函数的图象与直线的交点个数可能是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】ABCD【解析】由题意知，，，在坐标系中画出函数的图象如图所示：由其图象知，当直线，时，，的图象，与直线有且仅有两个不同的交点．当直线，或时，，的图象，与直线有且仅有三个不同的交点．当直线，时，，的图象，与直线有且仅有一个不同的交点．当直线，时，，的图象，与直线无交点．故选：ABCD．10．（2022·全国·高一课时练习）下列选项能使有意义的m的值为（

）A． B． C． D．或【答案】BC【解析】∵，∴，∴解得.∴选项BC能使有意义故选：BC11．（2022·江苏省盱眙中学高一阶段练习）函数，的图象与直线（为常数，且）的交点可能有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】BC【解析】如图画出函数，的图象，当时，函数图象与直线有1个交点，当时，函数图象与直线有2个交点，当时，函数图象与直线有1个交点，当时，函数图象与直线有2个交点，当时，函数图象与直线有1个交点，综上可知，函数图象与直线，有1个或2个交点.故选:BC12．（2022·全国·高一课时练习）关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（

）A．当或时，有0个交点 B．当或时，有1个交点C．当时，有2个交点 D．当时，有2个交点【答案】AB【解析】根据函数的解析式作出函数的图象如图所示,对于选项A，当或时，有0个交点，故A正确；对于选项B，当或时，有1个交点，故B正确；对于选项C，当时，只有1个交点，故C错误；