湖南省衡阳市衡山县前山片2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（解析版）

2024年上学期八年级第二次月考数学试卷一．选择题（共10小题，每小题3分）1.下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对边相等且平行【答案】C【解析】【分析】根据矩形和菱形的性质即可得出答案．解：A：因为矩形的对角线相等，故此选项不符合题意；B：因为菱形和矩形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意；C：因为对角线互相垂直是菱形具有的性质，故此选项符合题意；D：因为矩形和菱形的对边都相等且平行，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形性质的区别是解题关键．2.如图，在平行四边形中，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形性质，，，结合，求出的度数.解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，又∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了平行四边形性质，结合平行四边形的性质和已知条件是解题的关键.3.在四边形中，，请再添加一个条件，使四边形是矩形，添加的条件不能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由矩形的性质、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．解：，，四边形是平行四边形，A．四边形是平行四边形，，四边形是菱形，故该选项错误，符合题意；B．四边形是平行四边形，，四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；C．四边形是平行四边形，，四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；D．四边形是平行四边形，，四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定、平行四边形的判定与性质，是解题的关键．4.若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把点代入反比例函数解析式即可得到答案．解：∵反比例函数（）的图象经过点，∴，解得，故选：B【点睛】此题考查了反比例函数，把点的坐标代入函数解析式准确计算是解题的关键．5.下是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（）A.由②推出③，由③推出① B.由①推出②，由②推出③C.由③推出①，由①推出② D.由①推出③，由③推出②【答案】A【解析】【分析】根据正方形和矩形的性质定理解题即可．根据正方形特点由②可以推理出③，再由矩形的性质根据③推出①，故选A．【点睛】此题考查正方形和矩形性质定理，难度一般．6.下列分式的变形正确的是（）A.＝﹣ B.＝x+yC. D.【答案】D【解析】【分析】根据分式的基本性质，分别进行判断，即可得到答案．解：A、，故此选项不符合题意；B、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题；C、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；D、，正确，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．7.一次函数的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数，当时，图象过一、二、三象限；当时，图象过一、三、四象限；时，图象过一、二、四象限；时，图象过二、三、四象限．判断一次函数的图象经过象限即可．解：当时，一次函数的图像经过第一、二、三象限，当时，一次函数的图像经过第二、三、四象限，所以，只有选项A符合题意，故选：A．8.如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连结．若，则（）A.2 B. C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先由菱形的性质得，，，再由勾股定理求出，然后由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．解：∵菱形，∴，，，∴由勾股定理，得，∵E为边的中点，∴故选：B．【点睛】本考查菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．9.如图，的对角线相交于点O，下列结论错误的是（）A. B.C.， D.是轴对称图形【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质及中线的性质，轴对称图形的定义依次判断即可．解：A、∵平行四边形的对角线相交于点O，∴．∴．∴，故此选项正确，不符合题意；B、由A即可得出选项正确，不符合题意；；C、∵平行四边形，∴，，选项正确，不符合题意；D、▱ABCD是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误，符合题意．故选D．【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及中线的性质，轴对称图形的判断，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．10.如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】过作，根据等边三角形的性质即可得到，结合点到直线的距离垂线段最短即可得到过B作交于一点即为最小距离点．解：过作，∵是等边三角形，，∴，∵，∴，∵到直线的距离垂线段最短，∴过B作交于一点即为最小距离点，最短距离为，∵是等边三角形，，，∴，故选：D【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，解题的关键是作出图形找到最小距离点．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11.将一次函数的图象向下平移4个单位，得到的一次函数的表达式是___________．【答案】【解析】分析】根据平移“上加下减”求解即可．解：将一次函数的图象向下平移4个单位，得到，故答案为：．【点睛】本题考查了平移规律，熟记概念是关键．12.小亮从家匀速跑步到学校，接着马上原路匀速步行回家，已知小亮步行回家的时间是跑步到学校时间的2倍．如图是小亮离家的路程与时间的函数图象，则小亮回家的速度是每分钟步行___________m．【答案】90【解析】【分析】先根据小亮步行回家的时间是跑步到学校时间的2倍，得到小亮步行回家的时间，再根据速度＝路程÷时间，进行计算即可得到答案．解：小亮步行回家的时间是跑步到学校时间的2倍，小亮步行回家的时间为：，小亮回家的速度是：，故答案为：90．【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，根据函数图象得到小亮步行回家的时间，是解题的关键．13.在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是___________．【答案】【解析】【分析】根据点关于y轴对称的点的坐标为求解即可．解：在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是，故答案为：．【点睛】本题考查坐标与图形变化-轴对称，熟练掌握点关于坐标轴对称的点的坐标规律是解答的关键．14.关于的方程的解是正数，则的取值范围是____________．【答案】且【解析】【分析】本题考查了含参数的分式方程的求解，将分式方程转化为一元一次方程是解题关键．只需在方程两边乘，化为整式方程，求出再根据解是正数得到且，即可求解．解：方程两边乘，得解得：方程的解是正数，且，解得：且，故答案为∶且15.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，且．若反比例函数的图象经过点B，则k的值为______．【答案】4【解析】【分析】根据正方形的性质求出点B的坐标，再根据反比例函数的图象经过点B，把点B的坐标代入反比例函数，即可求出k的值．解：正方形中，，∴，∵反比例函数的图象经过点B，∴，故答案为：4．【点睛】本题考查了正方形的性质与待定系数法求反比例函数的解析式，正确求出点B的坐标是本题的关键．16.世界上最小，最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，质量只有克，用科学记数法表示为___________．【答案】【解析】【分析】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题关键．科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，正确确定，的值是解题的关键．解：，故答案为：．17.已知，则代数式的值为__________________．【答案】【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值．直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，把已知数据代入得出答案．解：，当时，原式．故答案为：．18.如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于F，则的最小值为______________．【答案】##【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值．解：如图，连接．∵在中，，∴，∴．又∵于点E，于F．∴，∴四边形是矩形．∴．∴当最小时，也最小，即当时，最小，∵，∴，∴线段EF的最小值为．故答案为：．三、解答题（共8小题，共66分）19.解方程：．【答案】【解析】【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的方法求解即可，注意要检验．由去分母得，化简得，解得，经检验是原方程的解．20先化简，再求值：，其中，．【答案】，6【解析】【分析】先对所求式子进行化简，然后根据，可以求得化简后式子的值，本题得以解决．解：，当，时，原式．【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是会对所求的式子化简并求值．21.已知：如图，在平行四边形中，E，F是对角线上两点，连接，，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，根据已知条件证明，即可得出．证明：四边形是平行四边形，，，，，，，即，在和中，，，．22.阳光合作社在党委政府的精心指导下，大力发展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用1500元人民币购进蓝莓销售；由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售完．该水果店又用1200元人民币购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，但每千克的价格比第一次购进的便宜了10元．（1）该水果店第一次购进蓝莓每千克多少元？（2）假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于900元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？【答案】（1）该水果店第一次购进蓝莓每千克50元；（2）要使总利润不低于900元，则每千克蓝莓的售价至少是60元．【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．（1）设该水果店第一次购进蓝莓每千克元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元，利用数量总价单价，结合两次购进蓝莓的数量相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；（2）设每千克蓝莓的售价是元，利用利润销售单价销售数量进货总价，结合利润不低于900元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．【小问1】解：设该水果店第一次购进蓝莓每千克元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意．答：该水果店第一次购进蓝莓每千克50元；【小问2】设每千克蓝莓的售价是元，根据题意得：，解得：，的最小值为60．答：要使总利润不低于900元，则每千克蓝莓的售价至少是60元．23.如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．（1）求证：四边形BCEF是矩形；（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．【答案】（1）见解析；（2）EF=．【解析】【分析】（1）先证明四边形BCEF是平行四边形，再根据垂直，即可求证；（2）根据勾股定理的逆定理，求得△CDF是直角三角形，等面积法求得CE，勾股定理即可求解．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∵EF=DA，

∴EF=BC，EF∥BC，

∴四边形BCEF是平行四边形，

又∵CE⊥AD，

∴∠CEF=90°，

∴平行四边形BCEF是矩形；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB=3，

∵CF=4，DF=5，

∴CD2+CF2=DF2，

∴△CDF是直角三角形，∠DCF=90°，

∴△CDF的面积=DF×CE=CF×CD，

∴CE=，

由（1）得：EF=BC，四边形BCEF是矩形，

∴∠FBC=90°，BF=CE=，

∴BC=，

∴EF=．【点睛】此题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理以及逆定理，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．24.若三个非零实数x、y、z满足：若其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x、y、z构成“和谐三数组”．例如：因为、、的倒数能够满足，所以数组、、构成“和谐三数组”（1）下列三组数构成“和谐三数组”的有；（填序号）①1、2、3；②1、、；③、、．（2）若、、构成“和谐三数组”，求实数的值；【答案】（1）②③（2）1或【解析】【分析】此题考查了新定义问题，二次根式及分式的运算，分类讨论思想是解决此题的关键．（1）根据“和谐三数组”的定义挨个求出倒数，再求其中一个数的倒数是否等于另外两个数的倒数的和，如果有一个满足题意即为“和谐三数组”（2）倒数为，的倒数为，的倒数为，由、、构成“和谐三数组”，分三种情况进行讨论求解即可．【小问1】解：①，，，1、2、3不能构成“和谐三数组”②，1、、能构成“和谐三数组”③的倒数为，的倒数为，的倒数为，，、、能构成“和谐三数组”三组数中构成“和谐三数组”的有②③【小问2】解：倒数为，的倒数为，的倒数为，、、构成“和谐三数组”，①当时，解得：；②当时，解得：，当时，不成立，故舍去；③当时，解得：；综上可知，实数的值为或．25.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求的面积；（3）直接写出不等式的解集．【答案】（1）反比例函数解析式为：，一次函数解析式为：（2）（3）或【解析】【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．（1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可；（2）求出点坐