2023-2024学年广东省江门市新会一中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省江门市新会一中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数5i−2的共轭复数是(

)A.2+i B.−2−i C.−2+i D.2−i2.已知函数f(x)=sin(2πx−π5A.(−320,720)上单调递增 B.(−15,3.底面积为2π，侧面积为6π的圆锥的体积是(

)A.8π B.8π3 C.2π D.4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5mA.1.0×109m3 B.1.2×1095.设向量a=(x+1,x),b=(x,2)，则A.“x=−3”是“a⊥b”的必要条件

B.“x=−3”是“a/​/b”的必要条件

C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件

6.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a=2e1+A.30° B.60° C.120° D.150°7.已知△ABC的外接圆圆心O，且2AO=AB+AC，|OA|=|ABA.14BC B.34BC 8.当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=2sin(3x−π6)的交点个数为A.3 B.4 C.6 D.8二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=m2−1+(m+1)i(m∈R)，则下列命题正确的是A.若z为纯虚数，则m=1

B.若z为实数，则z=0

C.若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，则m=−1

D.z在复平面内对应的点不可能在第三象限10.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的有(

)A.若a/​/α，b/​/α，则a/​/b B.若a⊥α，b⊥α，则a/​/b

C.若a/​/b，b/​/α，a⊄α，则a/​/α D.若a/​/α，α/​/β，a⊄β，则a/​/β11.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O的半径2，点P是圆O内的定点，且OP=2，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是(

)

A.PA⋅PC为定值

B.当AC⊥BD时，AB⋅CD为定值

C.当∠ABC=π3时，△ABC面积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面α截球O的球面所得圆的面积为π，O到α的距离为3，则球O的表面积为______．13.在△ABC中，已知tanA，tanB是关于x的方程x2+m(x+1)+1=0的两个实根，则C=

．14.如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M，N，若AB=mAM，AC=nAN，则m+n的值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=2sin2x−4cos2x+1．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)设g (x)=f(x16.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=2．

(1)求A；

(2)若a=2，217.(本小题15分)

如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC/​/AD，EF/​/AD，AD=4，AB=BC=EF=2，ED=10,FB=23，M为AD的中点．

(1)证明：BM/​/平面CDE；

(2)求点18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点．

(1)求证：CD⊥平面PAD；

(2)求证：AM⊥平面PCD；

(3)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值．19.(本小题17分)

如果函数y=f(x)的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f(x+a)=f(−x)成立，则称此函数具有“P(a)性质”．

(1)判断函数y=sinx是否具有“P(a)性质”，若具有“P(a)性质”求出所有a的值；若不具有“P(a)性质”，请说明理由．

(2)已知y=f(x)具有“P(0)性质”，且当x≤0时f(x)=(x+m)2，求y=f(x)在[0,1]上的最大值．

(3)设函数y=g(x)具有“P(±1)性质”，且当−12≤x≤12时，g(x)=|x|.若y=g(x)与y=mx交点个数为参考答案1C

2A

3B

4C

5C

6C

7A

8C

9ABD

10BCD

11ABD

1240π

133π4142

15解：f(x)=2sin2x−4cos2x+1=1−cos2x−2(1+cos2x)+1=−3cos2x．

(1)f(x)的最小正周期T=2π2=π；

(2)g(x)=f(x2)=−3cos(2⋅x2)=−3cosx，

∵x∈[0,16解：(1)因为sinA+3cosA=2，

所以2sin(A+π3)=2，即sin(A+π3)=1，

由A为三角形内角得A+π3=π2，

即A=π6；

(2)因为2bsinc=csin2B，

2bsinC=2csinBcosB，由正弦定理可得：2bc=2bccosB，

可得cosB=22，

又因为B∈(0,π)，所以B=π417解：(1)证明：因为BC/​/AD，BC=2，AD=4，M为AD的中点，所以BC/​/MD，BC=MD，

四边形BCDM为平行四边形，所以BM/​/CD，

又因为BM⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以BM/​/平面CDE；

(2)如图所示，作BO⊥AD交AD于O，连接OF，因为四边形ABCD为等腰梯形，BC/​/AD，AD=4，AB=BC=2，所以CD=2，

结合(1)BCDM为平行四边形，可得BM=CD=2，

又AM=2，所以△ABM为等边三角形，O为AM中点，所以OB=3，

又因为四边形ADEF为等腰梯形，M为AD中点，所以EF=MD，EF/​/MD，

四边形EFMD为平行四边形，FM=ED=AF，所以△AFM为等腰三角形，

△ABM与△AFM底边上中点O重合，OF⊥AM，OF=AF2−AO2=3，

因为OB2+OF2=BF2，所以OB⊥OF，所以OB，OD，OF互相垂直，

由等体积法可得VM−ABF=VF−ABM，VF−ABM=13S△ABM⋅FO=13×18解：(1)证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD，

又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊂底面ABCD，

所以CD⊥平面PAD．

(2)证明：(证法一)因为CD⊥平面PAD，AM⊂平面PAD，

所以CD⊥AM，

因为△PAD是正三角形，M是PD的中点，

所以AM⊥PD，

又CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD，

所以AM⊥平面PCD，

(证法二)因为CD⊥平面PAD，

又CD⊂平面PCD，

所以平面PCD⊥平面PAD，

因为△PAD是正三角形，M是PD的中点，

所以AM⊥PD，

又平面PCD交平面PAD于PD，AM⊂平面PAD，

故AM⊥平面PCD．

(3)取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，PE，PF，

则EF=CD，EF//CD，

因为AD⊥CD，

所以EF⊥AD，

又在正△PAD中，PE⊥AD，

因为EF∩PE=E，EF，PE⊂平面PEF，

所以AD⊥平面PEF，

因为正方形ABCD中，AD//BC，

所以BC⊥平面PEF，

又EF、PF⊂平面PCD，

所以BC⊥EF，BC⊥PF，

所以∠PFE是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，

因为CD⊥平面PAD，EF//CD，

所以EF⊥平面PAD，

因为PE⊂平面PAD，

所以EF⊥PE，

设正方形ABCD的边长AD=2a，则EF=2a，PE=3a，

所以PF=PE2+EF2=719解：(1)由sin(x+a)=sin(−x)=−sinx，所以a=2kπ+π，k∈Z，

所以函数y=sinx具有“P(a)性质”，其中a=2kπ+π，k∈Z．

(2)因为y=f(x)具有“P(0)性质”，所以f(x)=f(−x)，

设x≥0，则−x≤0，

所以f(x)=f(−x)=(−x+m)2=(x−m)2，

当m≤0时，f(x)在[0,1]为增函数，

所以最大值为f(1)=(1−m)2；

当0<m≤12时，f(x)在[0,m]单调递减，在(m,1]单调递增，且f(0)≤f(1)，

所以最大值为f(1)=(1−m)2；

当12<m<1时，f(x)在[0,m]单调递减，在(m,1]单调递增，且f(0)>f(1)，

所以最大值为f(0)=m2；

当m≥1时，f(x)在[0,1]为减函数，所以最大值为f(0)=m2；

综上可知，当m>12时，最大值为f(0)=m2；当m≤12时，最大值为f(1)=(1−m)2．

(3)因为函数y=g(x)具有“P(±1)性质”，所以g(1+x)=g(−x)，g(−1+x)=g(−x)；

所以g(x+2)=g(1+1+x)=g(−1−x)=g(x)，即g(x)是以2为周期的函数，

又设12≤x≤32，则−12≤1−x≤12，g(x)=g(x−2)=g(−1+x−1)=g(1−x)=|1−x|=|x−1|=g(x−1)．

设n−12≤x≤n+12，n∈Z，

当n=2k，k∈Z时，2k−12≤x≤2k+12，即−1