2023-2024学年广东省佛山市高明一中高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省佛山市高明一中高二（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.等比数列23，a，16，112中a的值等于A.2 B.12 C.13 2.在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度ℎ(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系ℎ(t)=−4.9t2+2.8t+11，则该运动员在t=2s时的瞬时速度为A.−16.8m/s B.16.8m/s C.−9m/s D.9m/s3.若函数y=f(x)在x=x0处的导数等于a，则Δx→0limf(A.a B.2a C.3a D.4a4.已知数列{an}满足an+1=kan−1(n∈A.1 B.−1 C.−2 D.25.如图，已知四面体ABCD的棱长都是2，点M为棱AD的中点，则AB⋅CM的值为(

)A.1

B.−1

C.−2

D.26.已知函数f(x)=ln(x−2)+ln(4−x)，则f(x)A.(2,3) B.(3,4) C.(−∞,3) D.(3,+∞)7.设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA+FB+FCA.3 B.4 C.6 D.98.丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果.设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a,b)上的导函数记为f″(x).若在(a,b)上f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知函数f(x)=x44−t3x3+A.[3,+∞) B.(3,+∞) C.[518,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知{an}是等比数列，公比为q，前n项和为SnA.{an2}为等比数列 B.{lg|an|}为等差数列

C.若10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，动点P，Q分别在线段A.直线BC与平面ABC1D1所成的角等于π4

B.点C到平面ABC1D1的距离为2

C.异面直线D1

11.已知函数f(x)=lnxex，则A.曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程是x−ey−1=0

B.函数f(x)有极大值，且极大值点x0∈(1,2)

C.f(2)<f(3)

D.函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为______．13.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(−2,0)，F2(2,0)14.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，且f(x)>f′(x)，若f(0)=0，则不等式f(2x2−5x−7)>0四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an−1．

(1)求数列{an}的通项公式；

16.(本小题15分)

在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ABB1A1⊥平面ABC，ΔABC为正三角形，D，E分别为BC和A1C1的中点．

(Ⅰ)求证：DE/​/平面ABB1A117.(本小题15分)

已知函数f(x)=13x3+ax+b，当x=−2时，y=f(x)有极大值，且f(4)=283．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)在(1)18.(本小题17分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，离心率为32，点(3,12)在椭圆上．

(1)求E的方程；

(2)过K(−1,0)作互相垂直的两条直线l1与l2，设l1交E于A，B两点，l19.(本小题17分)

约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数m(m≠0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．

设正整数a共有k个正约数，即为a1，a2，…，ak−1，ak(a1<a2<...<ak).

(Ⅰ)当k=4时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；

(Ⅱ)当k≥4时，若a2−a1参考答案1C

2A

3D

4D

5B

6A

7C

8C

9ABD

10ABD

11AB

1227

134

14(−1,715解：(1)当n=1时，S1=2a1−1，所以a1=1，

当n≥2时，Sn−1=2an−1−1，

所以an=2an−2an−1，即an=2an−1，

因为a1=1≠0，所以an≠0，所以16(Ⅰ)证明：如图，取AB的中点为F，连接DF，A1F，

则DF/​/AC，DF=12AC，

在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC/​/A1C1且AC=12A1C1，

又E为A1C1的中点，所以DF//A1E且DF=A1E，

所以四边形A1FDE为平行四边形，

所以A1F//DE，又DE⊄平面ABB1A1，A1F⊂平面ABB1A1，

所以DE/​/平面ABB1A1；

解：(Ⅱ)由于平面ABB1A1⊥平面ABC，且交线为AB，又AB⊥CF，CF⊂平面ABC，

所以CF⊥平面ABB1A1，又BB1⊂平面ABB1A1，

所以CF⊥BB1，又BB117解：(1)函数f(x)=13x3+ax+b，可得f′(x)=x2+a，

当x=−2时，y=f(x)有极大值，

∴f′(−2)=0，即4+a=0，∴a=−4，

当a=−4时，y=f(x)在(−∞,−2)上单调递增，在(−2,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，

故y=f(x)在x=−2处取得极大值，符合题目条件．

又f(4)=283，函数f(x)=13x3−4x+b，∴b=4，

∴函数f(x)的解析式：f(x)=13x3−4x+4．

(2)由(1)知，y=f(x)在(−∞,−2)上单调递增，在(−2,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增．

①当−4<m<−2时，函数f(x)在[−4,m]上单调递增，f(x)max=f(m)=13m3−4m+4；

②当−2≤m≤4时，函数f(x)在[−4,−2)上单调递增，在(−2,2)上单调递减，在(2,m]上单调递增，

又f(−2)=f(4)=283，所以f(x)max=f(−2)=2818解：(1)由题意可知e=ca=323a2+14b2=1c2=a2−b2，解得a=2，b=1，

所以椭圆E的方程为：x24+y2=1；

(2)因为当直线BA斜率为0时，则AB为x轴，可得AB的中点M为原点O，不存在三角形OMN，

所以直线l1，l2的斜率存在，且不为0，

设直线l1的方程为x=my−1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立x=my−1x24+y2=1，整理可得：(4+m2)y2−2my−3=0，

可得y19解：(Ⅰ)当k=4时正整数a的4个正约数构成等比数列，

比如1，2，4，8为8的所有正约数，即a=8．

(Ⅱ)由题意可知