广东省清远市连州市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题【含答案解析】

连州市2023-2024学年第二学期期中八年级核心素养展示活动数学学科试卷说明：1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟．2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．1.若a＞b，则下列各式中一定成立的是()A.a＋2＜b＋2 B.a－2＜b－2 C.＞ D.－2a＞－2b【答案】C【解析】【详解】解：已知a>b，A.a+2>b+2，故A选项错误；B.a−2>b−2，故B选项错误；C.＞，故C选项正确；D.−2a<−2b，故D选项错误．故选：C.2.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.赵爽弦图 B.笛卡尔心形线C.科克曲线 D.斐波那契螺旋线【答案】C【解析】【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选C．【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）A.40° B.50° C.60° D.70°【答案】D【解析】【详解】解：因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°，所以其底角为=70°．故选：D．4.下面给出的5个式子中：①3＞0，②4x+3y＞0，③x=3，④x－1，⑤x+2≤3，其中不等式有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】B【解析】【分析】根据不等式概念可直接进行排除选项．【详解】解：由题意得：3＞0；4x+3y＞0；x+2≤3是不等式．故选B．【点睛】本题主要考查不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．5.下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（）A.x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2 B.x2﹣4x+4＝（x﹣2）2C（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 D.x﹣1＝x（1﹣）【答案】B【解析】【分析】根据因式分解的定义即可判断.【详解】A.右边含有加减，不是因式分解；B.是因式分解；C.是整式的运算，不是因式分解；D.右边含有分式，不是因式分解.故选B【点睛】此题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积形式.6.下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A.两个锐角对应相等 B.斜边和一直角边分别对应相等C.两条直角边分别对应相等 D.一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等【答案】A【解析】【分析】根据三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，逐条排除即可．【详解】解：A．两锐角对应相等的两个直角三角形，不能判定全等，故此选项符合题意；B．斜边和一直角边分别对应相等的两个直角三角形，根据能判定全等，故此选项不符合题意；C．两条直角边对应相等的两个直角三角形，根据能判定全等，故此选项不符合题意；D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等，先根据，再用可判定全等，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查直角三角形全等的判定方法，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．7.不等式组的解集在数轴上应表示为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】在数轴上把不等式组的解集表示出来，即可选项答案．【详解】解：不等式组的解集在数轴上应表示为：．故选：B．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集等知识点，注意：在数轴上表示不等式组的解集时，包括该点时用实心点，不包括该点时用空心点，熟练掌握知识点是解题的关键．8.等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米，则这个三角形的周长为()A.22厘米 B.17厘米 C.13厘米 D.17厘米或22厘米【答案】A【解析】【详解】解：若4厘米为腰长，9厘米为底边长，由于4+4＜9，则三角形不存在；若9厘米为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为9+9+4=22（厘米）．故选A．9.一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数图象在x轴上方或x轴上时，自变量的取值范围即可．【详解】解：由函数图象可知，当一次函数图象在x轴上方或x轴上时，自变量的取值范围为，∴不等式的解集是，故选：D．10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【详解】试题分析：连接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8．∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜边AB的中线，∴BD=AD=4，∴BF=DF=2，∴AF=AD+DF=4+2=6．故选B．考点：作图—基本作图；含30度角的直角三角形．二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分．11.不等式2x-1>0的解集为___________.【答案】【解析】【分析】先在不等式两边同时加上1，再不等式两边同时除以2，即可求解．【详解】解：，不等式两边同时加上1，可得；不等式两边同时除以2，可得；故答案为：．【点睛】本题考查解不等式，掌握不等式的基本性质是解题的关键：不等式两边同时加（减）同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘（除）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘（除）同一个负数，不等号方向改变；．12.分解因式：2mx－6my＝__________．【答案】2m(x－3y)【解析】【详解】试题分析：对于因式分解的题目．如果有公因式，我们首先都需要提取公因式，然后利用公式法或十字相乘法进行因式分解.原式=2m（x－3y）.考点：因式分解.13.已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角的度数是_______________【答案】或【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况讨论：若顶角的外角等于和若底角的外角等于，根据等腰三角形的定义即可求解，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．【详解】解：若顶角的外角等于，则顶角为，若底角的外角等于，则底角为，则顶角为：，综上所述，顶角的度数是或．14.如图，在正方形的外侧，作等边，则______________________________【答案】##度【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理等等，先由正方形的性质得到，再由等边三角形的性质得到，据此推出，求出，则．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴，故答案为：．15.如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B′，则坐标是___．【答案】【解析】【分析】根据题意，先利用含30度角的直角三角形的性质求得，再根据已知条件及勾股定理求得的长，根据已知，以及旋转的性质可知,，进而可知的坐标．【详解】解：如图，是直角三角形，，，，，OC＝，，由旋转可知，，，，在轴上，轴，．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，根据旋转求得角和线段相等是解题的关键．三、解答题(一)∶本大题共3小题，每小题8分，共24分16.解不等式组，并求出其所有整数解的和．【答案】；0【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求出一元一次不等式的解集，再根据找不等式组的解集的规律可得原不等式组的解集为，进而可得原不等式组的所有整数解为、、，再进行相加即可，熟练掌握一元一次不等式的解法及找不等式组的解集的规律是解题的关键．【详解】解：，解不等式得：，解不等式得：，原不等式组的解集为：，原不等式组的所有整数解为：、、，．17.先把因式分解，然后计算求值，其中，．【答案】，【解析】分析】本题主要考查了因式分解和代数式求值，先利用平方差公式分解因式，再代值计算即可．【详解】解：，当，时，原式．18.如图，已知△ABC，∠C=90°，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．【答案】（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）．（2）16°．【解析】【分析】（1）根据到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，作出AB的中垂线．（2）要求∠CAD的度数，只需求出∠CAB，而由（1）可知：∠BAD=∠B【详解】解：（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）．（2）∵在Rt△ABC中，∠B=37°，∴∠CAB=53°．又∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=37°．∴∠CAD=53°—37°=16°．四、解答题(二)∶本大题3小题，每小题9分，共27分．19.如图，点A，D，B，E同一直线上，．（1）求证：；（2），求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先说明，再根据即可证明结论；（2）由（1）可知，再利用平角的性质即可解答．【小问1详解】解：∵，∴，∴，在和中，∴．【小问2详解】解：∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判断与性质是解题的关键．20.如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．（1）画出绕点A逆时针旋转后得到的；（2）分别写出和坐标．【答案】（1）见解析（2），【解析】【分析】本题考查了图形的旋转变换、坐标与图形：（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点A逆时针旋转的对应点的位置，然后顺次连接即可；（2）直接观察图像写坐标即可．正确得出各对应点的坐标是解题关键．【小问1详解】解：根据旋转的性质得：如图所示，即为所求：【小问2详解】由图可得：，．21.为响应“垃圾分类”，某街道拟采购A，B两款垃圾桶．已知购买A、B两款垃圾桶各个，采购费用需元，其中A款单价比B款高元．（1）求A、B两款垃圾桶的单价各多少元？（2）经商议，该街道决定采购A、B两款垃圾桶共个，采购专项费用总计不超过万元，则至少购买B款垃圾桶多少个？【答案】（1）A、B两款垃圾桶单价各是元、元（2）个【解析】【分析】（1）设A、B两款垃圾桶单价各是x元、y元，根据题意列方程组求解即可；（2）设购买B款垃圾桶x个根据题意列出不等式求解即可．【小问1详解】解:设A、B两款垃圾桶单价各是x元、y元，由题意得：，解得答：A、B两款垃圾桶单价各是元、元．【小问2详解】设购买B款垃圾桶x个，得，解得答：至少购买B款垃圾桶个．【点睛】本题是二元一次方程组的应用与一元一次不等式的应用的综合题，主要考查了列二元一次方程组解应用题，列一元一次不等式解应用题，解题的关键是正确设元，并找到题目中的等量关系或不等关系列出方程或不等式．五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分)22.综合实践课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动．【动手操作】如图，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点E处，与交于点F．【猜想证明】（1）求证：是等腰三角形；【结论应用】（2）若，求的面积【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边等：（1）由矩形和平行线的性质得到，由折叠的性质可得，则可证明，得到，据此可证明结论；（2）设，则，由勾股定理建立方程，解方程得到，则．【详解】解：（1）∵四边形是矩形，∴，∴，由折叠的性质可得，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）设，则，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴．23.阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；利用这