《数据采集与分析技术》课件第2章

第2章数据采集信号分析基础2.1信号的分类2.2傅立叶变换2.3采样定理

在计算机数据采集系统中，信息是用离散信号来表示的，而在生产和科学研究中经常遇到的各种信息往往都是连续信号。这样，就遇到了连续信号离散化的问题。本章将讨论

连续信号离散化的有关问题，在讨论信号分类和傅立叶变换的基础上着重讨论不同情况下的采样定理。采样定理是数据采集系统的理论支持。理解和掌握以采样定理为基础的数字

信号处理无论在理论上还是实践上对数据采集都有着重要的意义。

在讨论采样定理之前，本章对数字信号处理的基本内容进行了回顾和总结。本章有部分内容可能涉及相关的理论推导。读者如果对数字信号处理理论不感兴趣，可以跳过这一

章，这样并不影响对后续内容的理解。对于计算机数据采集更工程化的理论支持还将在第10章进行较为详细的讨论。

2.1信号的分类

2.1.1确定性信号信号根据确定性与否可分为确定性信号和非确定性信号两大类。确定性信号根据周期性与否又可分为周期信号和非周期信号两类；非确定性信号又称为随机信号，可分为平稳随机信号和非平稳随机信号。图2.1是对确定性信号和随机信号的一个简要归纳。图2.1确定性信号与随机信号

1.周期信号

当信号按一定的时间间隔周而复始地重复出现时称为周期信号，否则称为非周期信号。周期信号的数学表达式为

满足式(2.1)的最小T1

称为信号的周期。

1)谐波信号

谐波信号又称为简谐信号，简谐信号是最简单的周期信号，其表达式为

x(t)=Asin(ωt+φ)

(2.2)

式中，

A为幅值；

ω=2πf为角频率；

φ

为初始相位。

2)一般周期信号

一般周期信号又可称为复杂周期信号。一般周期信号可以分解为多个简谐信号之和，且这些简谐信号的频率之比为有理数，详见第2.2.1节信号的傅立叶分解的内容。

2.非周期信号

1)准周期信号

准周期信号的特点是，虽然其也是由若干简谐分量叠加而成的，但这些简谐分量中至少有一个分量与另一个分量的频率之比为无理数(不是公倍数关系)，因此分量合成的结果

不满足式(2.1)的周期性条件。

2)一般非周期信号

一般非周期信号又称为瞬态信号。瞬态信号的特点是幅值衰减很快，如锤击、爆炸冲击振动等信号。

2.1.2随机信号

随机信号又称为非确定性信号，这类信号的波形具有不确定性，幅值和相位变化不可预知，因此不能用确定的数学表达式进行描述，只能通过统计分析方法得到信号的整体统

计特征，如均值、方差、自相关函数和功率谱等。

1.随机信号的数学描述

1)随机变量描述

随机信号可以用随机变量X

(t)来定义。如图2.2所示，对于某个时刻t1

，{xk(t1)}是一个随机变量，工程上称之为随机信号在t=t1时刻的状态。由此可以给出随机信号的一种定义：

如果对于任意一个时刻tn∈T，{xk(tn)}都是随机变量，那么{xk(t)}是一个随机信号，这里

或记作

即用一族随机变量系来表示随机信号，因此，随机信号可以用X(t)来表示。

2)样本函数描述

随机信号除了可以用随机变量X(t)来定义外，还可以用样本函数的集合来定义。随机信号的单个时间历程称为样本函数。在有限时间区间上观测得到的样本函数称为样本记录。随机信号可能产生的全部样本函数的集合(总体)定义为随机信号(如图2.2所示)。

{xk(t)}={x1(t)，

x2(t)，…}-∞<t<∞，

k=1，

2，…

(2.5)

式中，

xk(t

)表示第k个样本函数。

不难理解，上述两种随机信号的定义本质上相同，只是形式不同而已。图2.2随机信号描述

2.概率密度函数与分布函数

尽管随机信号在任一时刻的状态是随机变量，但不同的随机信号都具有各自的特性。例如，汽车分别在碎石路和柏油路上行驶产生的振动信号，机床加工过程中工况不变和工

况变化时产生的噪声信号，在整体上而言就会各有特色且相互间存在一定的差异，如在振幅和频率方面存在的特色和差异。

概率密度函数和分布函数能较好地描述随机信号的统计特征。如图2.3所示，以随机信号的样本序号k为横坐标，对于任一时刻t的随机变量X(t)，其值落在区间[x，

x+Δx]中的概率为

而概率密度函数的定义为图2.3随机信号样本k

概率分布函数的定义为

对于高斯分布(正态分布)的随机变量，其概率密度函数为

式中，μx为均值；σx为均方差。图2.4和图2.5分别为高斯分布的概率密度函数和分布函数曲线。高斯分布是随机信号经典分析理论中最常见的分布函数。图2.4高斯信号的概率密度函数图2.5高斯信号的概率分布函数

对于具有多维随机变量的随机信号，相应地可以用多维概率密度函数fn

(x1

，

x2

，…，xn

；

t1

，

t2

，…，

tn)或多维分布函数Fn(x1，

x2

，…，

xn

；

t1，

t2

，…，

tn)来描述其统计特征。

3.数字统计特征

我们可以利用统计方法来描述随机信号的特征。随机信号的统计特征包括各种总体数字特征值(如均值、方差)和统计函数(如相关函数、功率谱密度函数、幅值分布函数)。以

下介绍工程中经常用到的随机变量数字统计特征。

1)均值(一阶矩)

随机信号X(t)的均值定义为

式中，

f1

(x，

t)是X(t)的一维概率密度函数。由式(2.10)可见，所谓均值，就是随机信号X(t)的所有样本函数在时刻t的函数值的平均，即

以上两种均值定义算法的结果一致。

按某一时刻t求随机变量的均值，通常称为集合平均或总体平均。一般而言，μx

(t

)是时间的函数，表示随机信号X(t

)在各个时刻的摆动中心。

2)均方值(二阶原点矩)

均方值定义为

均方值用来描述信号的能量或强度。

3)方差(二阶中心矩)

方差定义为

方差用来描述信号的离散程度。

4.统计函数描述

1)自相关函数(二阶原点混合矩)

自相关函数为

式中，

X

(t1

)和X(t2

)是随机信号X(t)在任意两个时刻t

1和t2

时的状态。Rxx

(t1

，

t2

)用来描述同一随机信号在两个不同时刻状态之间的联系(相关程度)，通常简记为R

x

(t1

，t2

)。

2)自协方差函数(二阶中心混合矩)

自协方差函数为

Cxx

(t1

，

t2

)也可简写为C

x

(t1

，

t2

)。R

x

(t1

，

t2

)和C

x

(t1

，

t2

)描述了随机信号本身两个不同时刻状态。

3)自功率谱密度函数

自功率谱密度函数为

式中，符号F[·]表示傅立叶变换(参见2.2节)。自功率谱密度函数Sxx

(f)通常简称自谱函数，并简记为Sx

(f)，用于描述信号在频域的能量分布状况，是经典信号分析理论中最常用的特性参数之一。

4)互相关函数

对于两个不同的随机信号X

(t)和Y(t)，仿照自相关函数的定义，可给出互相关函数Rxy(t1

，

t2

)的定义。

这里Rxy(t1

，

t2

)描述的是两个不同随机信号在任意两个时刻的相关程度。

5)互功率谱密度函数

互功率谱密度函数通常简称为互谱函数。

这里Sxy(f

)描述的是两个不同的随机信号相关能量在频域中的分布状况。

5.统计量之间的关系

由式(2.15)可得

而且

可见，均方值ψ2x

(t)、方差σ2x

(t

)、自协方差Cx

(t1

，

t

2)都可用均值μx

(t)和自相关函数Rx

(t1

，

t2

)来表示。

6.随机信号的分类

随机信号通常可分为平稳随机信号和非平稳随机信号。

1)平稳随机信号

所谓平稳随机信号是指其统计特性不随时间变化，或者说，不随时间坐标原点的选取而变化;否则，随机信号就是非平稳的。平稳随机信号的n维分布函数应满足

式中，

ε为任意实数。式(2.22)等价于n维概率密度关系式

概率密度函数不随时间平移而变化的特性决定了平稳随机。

令ε=-t1

，则对于平稳随机信号的一维概率密度函数有

此时，一维概率密度函数不随时间的平移而变化。同理，对于平稳随机信号的二维概率密度函数有

可见，二维概率密度函数只与时间差有关。

由上述特性可以得到平稳随机信号的均值和自相关函数的以下个性。

(1)均值不随时间而变化。

即任意时刻的均值都相等，为一个常数。这样，平稳随机信号的所有样本函数曲线都在水平直线μx

周围波动，离散度为σx

。

(2)自相关函数是单变量τ=t2-t1的函数。

以上利用总体平均不随时间变化的特性定义了平稳随机信号。

2)各态历经信号

在大多数情况下，我们可以用总体中某一个样本函数的时间平均来确定平稳随机信号的总体平均值。比如，随机信号第k

个样本函数的时间均值μx

(k

)和自相关函数Rx

(τ，

k)分别为

如果某个随机信号X(t)是平稳的，而且不同样本函数的时间平均值μx

(k)和Rx

(τ，k)都一样，则称该随机信号是各态历经的。对于各态历经信号，其时间平均等于总体平均，即

各态历经信号的所有特性都可以用单个样本函数上的时间平均来描述，因此，对各态历经随机信号进行统计特征分析比较方便。所幸的是，表示物理过程的平稳随机信号大多

都是各态历经的，因此可以用观察到的单个时间历程记录来估计信号的总体特征。在本书的后续内容中，讨论主要针对各态历经信号进行，即假定我们要采集和处理的信号都是各

态历经的平稳的随机信号。

对于各态历经的随机信号，统计特征的真值不随样本函数的不同而改变，用一个样本函数就可以求得其统计特征。工程实际中，我们只能用有限长的样本记录对统计特征进行

估计。

2.1.3连续信号和离散信号

信号根据独立变量(通常是时间或频率)的取值是否连续又可分为连续信号和离散信号两大类。通常工业生产中的信号都是连续信号，而经过计算机数据采集系统之后得到的信

号是离散信号。图2.6是对连续信号和离散信号的一个简要归纳。图2.6连续信号与离散信号

1.连续时间信号

在所讨论的时间间隔内，对于任意时间值，除若干个第一类间断点外，都可以给出确定的函数值，此类信号称为连续时间信号(过程)或模拟信号(过程)。

所谓第一类间断点，应满足条件:函数在间断点处存在左极限与右极限;左极限与右极限不等，

x(t-0)≠x(t+0)；间断点收敛于左极限与右极限函数值的中点。因此，简谐、直

流阶跃、锯齿波、矩形脉冲等等，都称为连续时间信号。

2.离散时间信号

离散时间信号(过程)又称为时域离散信号(过程)或时间序列。在某个时间区间中，它在规定的不连续的时刻取值。

离散时间信号分为两种情况:时间离散而幅值连续时，称为抽样信号;时间离散而幅值量化时，则称为数字信号或采样信号。在工程实际中，采样与抽样常常混用，统称离散

时间信号。

离散时间信号可以从实验中直接得到，也可以从连续时间信号中经采样得到。

典型离散时间信号有单位采样序列、阶跃序列、指数序列等。由于数字信号处理应用的日益普及，因此离散时间信号的分析已越来越重要。

2.1.4能量信号与功率信号

1.能量信号

在分析区间(-∞，

∞)中，能量为有限值的信号称为能量信号，它满足

例如，矩形脉冲、减幅正弦波、衰减指数等信号即为能量信号。

2.功率信号

有许多信号，如周期信号、随机信号等，它们在区间(-∞，

∞)内的能量不是有限值。这种情况下，研究信号的平均功率更为合适。

在区间(t1

，

t2

)内，信号的平均功率为

若区间变为无穷大时，式(2.35)仍然大于零，那么信号具有有限的平均功率，称之为功率信号。换句话说，功率信号满足条件

对比式(2.34)和式(2.36)，显然，一个能量信号具有零平均功率，而一个功率信号具有无穷大能量。

2.1.5时域信号与频域信号

通常信号的描述以时间为自变量，这样的信号称为时域信号。而在信号分析与处理中常常要在频域内来分析信号和处理信号，此时，信号的自变量为频率。时域信号和频域信

号可以互相转换。把时域信号变换成频域信号进行分析的方法称之为变换域分析。

2.2傅立叶变换

2.2.1信号的傅立叶分解信号的傅立叶分解定理指出：任何一个连续信号，一般来说，都可以分解为一序列正弦信号的叠加。

1.周期信号的傅立叶级数(FS)分解

对于一个周期为T1

，角频率的周期函数x(t)，其三角形式的傅立叶级数为

式中各系数为

以上各式中，

ωk

=kω1，

k=1，

2，

3…。

式(2.37)表明，任意周期函数均可以分解成若干乃至无穷个正弦、余弦分量，各分量的频率是基频f1

的整数倍。

利用欧拉公式，式(2.37)可以转化为指数形式

或

式(2.41)及式(2.42)中，有

或

且有

由傅立叶级数分解可以看出，任何周期信号都可以分解为若干乃至无穷个简谐分量，这些分量的频率都是信号基频f1

的整数倍kf1

，称为k

次(阶)谐波。傅立叶级数系数X

(ω

k)一般是复函数，其模和相位分别对应信号的第k阶谐波的幅值和相位大小，各阶谐波的幅值和相位大小沿频率轴的变化则反映了该周期信号在频域的能量分布状况，可用频谱图进行直观描述。

2.周期矩形脉冲的傅立叶级数

如图2.7所示，设周期为T1

的矩形脉冲信号x(t)的脉宽为τ

，脉冲幅值为E，矩形脉冲在一个周期内

的表达式为图2.7周期矩形脉冲信号

将周期矩形脉冲信号用傅立叶级数表示，根据式(2.44)可求出其傅立叶级数的系数:

这里Sinc称为森克函数，其定义见后面的式(2.78)。

周期矩形脉冲信号的幅值谱图和相位谱图分别如图2.8和图2.9所示。

2.2.2傅立叶变换

1.能量信号的傅立叶变换

如果把能量信号(非周期信号)当作周期为无穷大的周期过程来求其傅立叶级数的表达形式，则可以得到能量信号的傅立叶变换(FourierTransform，

FT)。

以下，我们从周期信号的傅立叶级数推导出能量信号的傅立叶变换表达式。

令

以上两式分别称为傅立叶正变换和逆变换。

如果频率用ω

表示，则有

由上面的傅立叶变换公式可以看出，傅立叶变换是对信号的积分运算，所以傅立叶变换是线性变换(积分运算是线性运算)，这说明傅立叶变换满足线性变换的性质。傅立叶变换还同时具有其他一些良好的性质，比如对称性等，详细内容请读者参考这方面的著作。

以单个矩形脉冲信号为例，表达式见式(2.46)。显然，这是一个典型的能量信号。由式(2.48)，其傅立叶变换为

单脉冲矩形信号及其频谱如图2.10所示。图2.10单脉冲矩形信号及其频谱(a)信号波形;(b)频谱

可见，虽然单矩形脉冲信号的能量在时域集中于有限的脉宽，然而在频域中，其能量却以Sinc(πfτ)的规律分布在无限宽的频率范围上，其中，绝大部分能量集中于区间

对于能量信号，其频谱的含义与周期信号的频谱含义不同，能量信号的连续频谱大小反映的不是幅值，而是频谱密度。

2.周期信号的傅立叶变换

令周期函数x

(t)的周期为T1

，频率为f

1

，则有

式(2.53)中，

n、k为整数，

x(t)的FS

系数为

x(t)的傅立叶变换为

因为

所以

式(2.57)表明，周期函数的傅立叶变换是由脉冲函数组成的离散谱，各谱线位于信号基频的倍频(谐频)处，每个脉冲的强度等于对应频率点的FS系数，如图2.11所示。

由图2.11可见，任意周期函数的FS和傅立叶变换是一致的，

FS代表频谱的幅值大小。图2.11矩形周期信号的傅立叶级数和傅立叶变换比对图(a)傅立叶级数;(b)傅立叶变换

3.抽样信号的傅立叶变换

抽样信号(周期脉冲序列)是数字信号分析处理中常用的解析函数。设一抽样信号的表达式为

由于p(t)是周期函数，则其傅立叶变换为

其中，

P

(fk)为p(t)的FS系数，且

则

抽样信号及其傅立叶变换如图2.12所示。图2.12抽样信号及其傅立叶变换(a)信号波形;(b)傅立叶变换

2.3采样定理

信号的傅立叶分解定理给了我们启发:要讨论一般的连续信号的离散化问题，首先可以从简单、特殊的正弦信号离散化问题谈起。

2.3.1正弦信号的采样

设正弦信号为

式中，A为幅值;ω=2πf为角频率;φ

为初始相位。

为了对正弦信号进行离散化，设采样周期为Ts

，则正弦信号的离散信号为

现在的问题是由x(nTs

)能否恢复出正弦信号x(t)。由式(2.62)可知，要恢复x(t)就要唯一地确定A、ω和φ

的值。只要这三个参数确定了，正弦信号就恢复出来了，下面就讨论如何确定A、ω和φ

的值。

正弦信号的周期T=2π/ω，由

x(nTs

)能否恢复出正弦信号x(t)与采样周期Ts和正弦信号周期T有密切的关系。下面分三种情况讨论。

2.3.2采样定理

1.采样条件

从以上对正弦信号的讨论可知，由离散信号恢复原始正弦信号，采样频率必须和原正弦信号的频率满足一定的关系(即ωs

>2ω)。从信号的傅立叶分解中，知道对一个一般的连续信号x

(t

)可以表示为若干个正弦信号的叠加，其中各频率为f的谐波信号的振幅和相位可由式(2.50)和式(2.51)所示的频谱来表示，把信号和频谱的关系重写为

当X(ω)=0时，表示连续信号x(t)不包含有角频率为ω

的谐波成分;当X(ω)≠0时，表示连续信号x(t)包含有角频率为ω的谐波成分。要使离散信号x(nTs)能唯一恢复出连续信号x

(t)，就意味着x(t)包含的所有谐波都能由离散信号唯一地恢复出来。

如果使X(ω)≠0的频率ω

可以任意大，那么要求Ts也就接近于0，这时只能取Ts为0，这表明连续信号x(t)不能由离散信号x(nT

s)恢复出来。因此，要由离散信号x(nT

s)能唯一恢复出连续信号x(t)，信号的频谱X(ω)和采样周期Ts

(或采样频率ω

s)必须满足下列采样条件:

上述条件的物理意义是:被采样的连续信号x(t)所包含的频率范围是有限的，只包含低于ωc的频率成分，这样，连续信号x

(t

)可表示为谐波信号的叠加，这些谐波信号的频率都小于ωc

。于是，只要使用大于2倍ωc

的采样频率对连续信号x(t)进行采样得到x(nT

s)，根据正弦信号的采样的讨论可知，这时我们可以根据x(nT

s)完全唯一地恢复出x(t)。

下面讨论在条件(1)和(2)成立时，如何由离散信号x(nT

s)恢复x(t)。

2.信号恢复

当满足采样条件(1)和(2)时，因为

所以可以把式(2.69)化简为

因此离散信号x

(nTs

)可表示为

下面分析x(nTs

)和X(ω)的关系。

这说明由x(nTs

)可以完全确定X(ω)。因为X(ω)和x(t)是一一对应的傅立叶变换对，所以由x(nTs

)也可以完全确定x