《数字电子技术 》课件第2章逻辑代数

第二章逻辑代数基础本章重点：逻辑代数的基本概念、基本定理、基本运算2.1逻辑代数的三种基本运算基本概念

逻辑：事物的因果关系 逻辑运算的数学基础：逻辑代数 在二值逻辑中的变量取值：

0/1逻辑代数中的三种基本运算

与（AND）或（OR）非（NOT）以A=1表示开关A合上，A=0表示开关A断开；

以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮；

三种电路的因果关系不同：与条件同时具备，结果发生Y=AANDB=A&B=A·B=ABABF000010100111真值表或条件之一具备，结果发生Y=AORB=A+BABF000011101111真值表非条件不具备，结果发生

AF0110真值表

0－1律：A＋1＝1A·0＝0

A＋0＝A

A·1＝A互补律：交换律：A＋B＝B＋A

A·B＝B·A结合律：A＋(B＋C)＝(A＋B)＋C

A·(B·C)＝(A·B)·C

分配律：A＋B·C＝(A＋B)·(A＋C)

***

A·(B＋C)＝A·B＋A·C2.2逻辑代数的基本公式、规则一、基本公式重叠律：A＋A＝A

A·A＝A反演律：***还原（对合）律：包含律：吸收律：A＋A·B＝A

A·(A＋B)＝A

公式A+BC=(A+B)(A+C)

的证明（公式推演法）：公式A+BC=(A+B)(A+C)的证明（真值表法）：ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)0000000000100010010001000111111110001111101011111100111111111111二、逻辑代数的重要规则1．代入规则将逻辑等式中的一个逻辑变量用一个逻辑函数代替，则逻辑等式仍然成立。

逻辑代数有三个重要的运算规则，即代入规则、反演规则和对偶规则。

例见下页例：已知等式，试用F＝B＋C代替等式中的B。反演律应用于三个变量解：用F代替B，则等式变为：2．反演规则如果将逻辑函数F表达式中所有的“·”与“＋”互换，常量“1”与“0”互换，原变量与反变量互换，所得到的逻辑函数就是原逻辑函数F的非。

反演规则实际上是反演律的推广，利用反演规则可以很容易地写出一个逻辑函数的非。例：3．对偶规则如果将逻辑函数F表达式中所有的“·”与“＋”互换，常量“1”与“0”互换，而变量都保持不变，所得到的逻辑函数是原逻辑函数F的对偶式，记为F*。

利用对偶规则，很容易写出一个逻辑函数的对偶式。如果证明了某逻辑表达式是正确的，其对偶式的正确性，就不用再证明了。由于逻辑代数的基本公式除还原律外都是成对出现的，且互为对偶式，使用对偶规则可以使基本公式的证明减少一半。一、逻辑函数Y=F(A,B,C,······)若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。输入/输出之间是一种函数关系。注：在二值逻辑中， 输入/输出都只有两种取值0/1。2.3逻辑函数及其表示方法二、逻辑函数的表示方法真值表逻辑函数表达式（逻辑式）逻辑图波形图卡诺图（第五节）计算机软件中的描述方式（EDA）真值表输入变量ABC····输出Y1Y2

····遍历所有可能的输入变量的取值组合输出对应的取值逻辑式将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。逻辑图用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。波形图将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。（如下图）举例：举重裁判电路(目前左中右三裁判同等权利)ABCY00000010010001101000101111011111真值表逻辑式例：奇偶判别函数的真值表(偶数为1)A=0,B=1,C=1使

A=1,B=0,C=1使A=1,B=1,C=0使这三种取值的任何一种都使Y=1,所以Y=?各种表现形式的相互转换：ABCY00000010010001111000101111011110真值表逻辑式：找出真值表中使Y=1的输入变量取值组合。每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。将这些变量相加即得Y。1.把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出Y。

对两个变量A、B来说，可以构成四个最小项：；记为。对n个变量来说，可以构成

个最小项。一、最小项如果一个具有n个变量的逻辑函数的“与项”包含全部n个变量，每个变量以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这种“与项”被称为最小项。2.4逻辑函数的两种标准表达式

逻辑函数的最小项构成的与或表达式

逻辑函数的最大项构成的或与表达式

二、最小项表达式

如果一个逻辑函数表达式是由最小项构成的与或式，则这种表达式称为逻辑函数的最小项表达式。任何一个n变量的函数都有一个且仅有一个最小项表达式，也叫标准与或式。例：最小项性质：1、有且只有一组变量取值组合，使其值为1。2、3、（n个变量的所有最小项之和为1）4、n个变量的每个最小项都有n个相邻项。（相邻项是指两个最小项仅有一个变量互为相反变量，其余变量都相同。）（举例说明、及应用；引出下节内容，逻辑函数化简）2.5逻辑函数的化简

逻辑代数化简法就是利用逻辑代数的基本公式和规则对给定的逻辑函数表达式进行化简。一般为最简与或表达式。采用逻辑代数法化简，不受逻辑变量个数的限制，要求能熟练掌握逻辑代数的公式和规则，具有较强的化简技巧。常用的逻辑代数化简法有吸收法、消去法、并项法、配项法等。一、逻辑代数化简法1、并项法2、吸收法A＋AB＝A

3、消去法4、配项法

或者使用反演律（规则），情况如何？卡诺图，简称K图。是根据最小项之间相邻关系画出的一种方格图，每个小方格代表逻辑函数的一个最小项。适用于变量少于五个时，用来化简逻辑函数。1、卡诺图的构成卡诺图是由表示逻辑变量的所有可能取值组合的小方格所构成的图形，是真值表的一种特殊形式。二、卡诺图化简法二变量卡诺图两个变量A、B可构成四个最小项，用四个相邻的小方格表示。相邻的小方格代表的最小项都是相邻项。

三变量卡诺图三个变量A、B、C可构成八个最小项，用八个相邻的小方格表示。

（注意第二列、第三列的位置，保证相邻；且第一列与第四列也是相邻的。）

四变量卡诺图四个变量A、B、C、D可构成十六个最小项，用十六个相邻的小方格表示。

（注意第二行、第三行的位置，保证相邻；且第一行与第四行也是相邻的。）

2、逻辑函数的卡诺图填写

由真值表画出卡诺图ABCF00010010010101101001101111001110

由最小项表达式画出卡诺图

由一般与或式画出卡诺图

3、用卡诺图化简

化简依据是，相邻两个小方格间只有一个变量不同。两项合并时，可消去一个取值不同的变量。例：已知逻辑函数的真值表，写出逻辑函数的最简与或表达式。（板书求解）P/38注意事项(作业举例)ABCF00000011010001111001101111001110

三、包含无关项逻辑函数化简例：设计一个逻辑函数，用来判断一个8421码表示的一位十进制数是否大于等于5。如果大于等于5，F＝1，否则，F＝0。解：ABCD表示四位编码，列出真值表，由真值表填写卡诺图。分析8421码表示的十进制数，不会出现真值表中最后六个最小项。这六个最小项就成为约束项(无关项)，表示为ABCDF000000001000100001100100001011011010111110001100111010X1011X1100X1101X1110X1111X00000111xxxx11xx0001111000011110ABCD填写卡诺图00000111xxxx11xx0001111000011110ABCD作业：2(1)(2),3(1)(3),4(1)(2),5(3),9(1)(2)(6)(7)(8),