人教版高一数学新教材同步配套教学讲义3.3幂函数(原卷版+解析)

3.3幂函数【知识点梳理】知识点一、幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．知识点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数．知识点二、幂函数的图象及性质1．作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．知识点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．2．作幂函数图象的步骤如下：（1）先作出第一象限内的图象；（2）若幂函数的定义域为或，作图已完成；若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．3．幂函数解析式的确定（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．（3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．4．幂函数值大小的比较（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．【题型归纳目录】题型一：幂函数的概念题型二：求函数解析式题型三：定义域问题题型四：值域问题题型五：幂函数的图象题型六：定点问题题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题题型八：比较大小题型九：幂函数性质的综合运用【典型例题】题型一：幂函数的概念例1．（2022·全国·高一课时练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【方法技巧与总结】幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例2．（2022·全国·高一专题练习）下列函数是幂函数的是（

）A． B．C． D．例3．（2022·全国·高一专题练习）下列函数是幂函数的是（

）A． B．C． D．例4．（2022·河北·高一阶段练习）下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（

）A． B． C． D．题型二：求函数解析式例5．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），那么这个幂函数的解析式为___________．【方法技巧与总结】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．例6．（2022·广东·江门市广雅中学高一期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，则_________．例7．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式．例8．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数在上单调递增，则的解析式是_____.例9．（2022·湖北黄石·高一期末）幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为______．例10．（2022·全国·高一课时练习）若函数是幂函数，满足，则_________．例11．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________．例12．（2022·全国·高一课时练习）若函数的图象经过点，则（）A． B．3 C．9 D．8例13．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数在上单调递减，则（

）A．2 B．16 C． D．例14．（2022·上海市控江中学高一期中）已知为常数，函数为幂函数，则的值为______;例15．（2022·全国·高一课时练习）幂函数在上单调递减，则的值为______．例16．（2022·全国·高一专题练习）幂函数的图象恒过点_________，若幂函数的图象过点，则此函数的解析式是____________．故答案为：，.题型三：定义域问题例17．（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】使表达式有意义．例18．（2022·上海市杨浦高级中学高一期中）幂函数的定义域为______;例19．（2022·河南·濮阳一高高一阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为______．例20．（2022·上海·高一单元测试）若有意义，则实数的取值范围是________例21．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域是（

）A． B． C． D．题型四：值域问题例22．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象过点(9,3)，则函数在区间［1,9]上的值域为（

）A．［－1,0] B． C．［0,2] D．【方法技巧与总结】利用单调性求解．例23．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数为幂函数，且为奇函数.(1)求的值，并确定的解析式；(2)令，求在的值域.例24．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数在区间上是减函数．(1)求函数的解析式；(2)讨论函数的奇偶性和单调性；(3)求函数的值域．例25．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数．(1)求的解析式；(2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围．例26．（2022·全国·高一专题练习）（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域．（2）求函数的值域．例27．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的．（1）求实数k的值；（2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值．例28．（2022·全国·高一专题练习）函数，其中，则其值域为___________.例29．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．例30．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．题型五：幂函数的图象例31．（2022·全国·高一课时练习）函数的图像可能是（）A． B．C． D．【方法技巧与总结】先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可．例32．（2022·全国·高一课时练习）图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（

）A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3例33．（2022·全国·高一课时练习）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．例34．（2022·全国·高一课时练习）如图所示是函数(且互质)的图象，则（

）A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且例35．（2022·全国·高一课时练习）已知，则函数的图像不可能是（

）A． B．C． D．例36．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，如图所示，则（

）A．p为奇数，且 B．p为奇数，且C．p为偶数，且 D．p为偶数，且题型六：定点问题例37．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（

）A．幂函数的图象都经过，两点 B．函数的图象经过第二象限C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同 D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点【方法技巧与总结】所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点例38．（多选题）（2022·全国·高一专题练习）已知幕函数的图象经过点，则（

）A．函数是偶函数B．函数是增函数C．函数的图象一定经过点D．函数的最小值为0例39．（2022·全国·高一专题练习）任意两个幂函数图象的交点个数是（

）A．最少一个，最多三个 B．最少一个，最多二个C．最少个，最多三个 D．最少个，最多二个例40．（2022·全国·高一专题练习）下列命题中正确的是（

）A．幂函数的图象一定过点（0，0）和点（1，1）B．若函数f（x）＝xn是奇函数，则它在定义域上单调递增C．幂函数的图象上的点一定不在第四象限D．幂函数的图象不可能是直线题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题例41．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．【方法技巧与总结】运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径．例42．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“＞”“＝”或“＜”）．题型八：比较大小例43．（2022·全国·高一课时练习）比较下列各组数的大小：(1)，；(2)，；(3)，，．【方法技巧与总结】（1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断．（2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的．（3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论．例44．（2022·全国·高一专题练习）求出函数的单调区间，并比较与的大小．例45．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，试比较，，的大小．题型九：幂函数性质的综合运用例46．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，则（

）A．函数为增函数 B．函数为偶函数C．当时， D．当时，【方法技巧与总结】以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题．例47．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）（多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（

）A． B．C． D．例48．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）若函数在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（

）A．若，则不存在区间M使为“弱增函数”B．若，则存在区间M使为“弱增函数”C．若，则为R上的“弱增函数”D．若在区间上是“弱增函数”，则例49．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则其单调增区间为_____.例50．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调递减区间为__．例51．（2022·全国·高一专题练习）写出一个具有性质①②③的函数______．①定义域为；②在单调递增；③．例52．（2022·全国·高一课前预习）已知函数．(1)若为偶函数，且在是增函数，求的解析式：(2)若在上减函数，求的取值范围．【同步练习】一、单选题1．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数中，在上单调递增的函数是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高一课时练习）“函数在上单调递减”是“函数为偶函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图像过点，则（

）A． B． C． D．44．（2022·全国·高一课时练习）“当时，幂函数为减函数”是“或2”的（

）条件A．既不充分也不必要 B．必要不充分C．充分不必要 D．充要5．（2022·全国·高一课时练习）函数部分图象大致为（

）A． B．C． D．6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2022·安徽·高一阶段练习）已知幂函数在上是增函数，则实数的值为（

）A．1或 B．3 C． D．或38．（2022·全国·高一课时练习）给出幂函数：①；②；③；④；⑤．其中满足条件的函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（

）A．B．函数在上单调递增C．函数是偶函数D．函数的图象关于原点对称10．（2022·广东茂名·高一期末）若函数是幂函数，则实数k的值可能是（

）A． B． C． D．11．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（

）A．函数为增函数B．函数为减函数C．若，则D．若，则12．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是（

）A．为偶函数B．的值域是C．若，则D．是上的增函数三、填空题13．（2022·全国·高一课时练习）已知，若函数在上单调递减，且为偶函数，则______．14．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象经过点，则的值为___．15．（2022·全国·高一课时练习）不等式的解为______．16．（2022·全国·高一课时练习）写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．①；②；③任取，，且．四、解答题17．（2022·全国·高一）已知幂函数的图象经过点．(1)求函数的解析式；(2)设函数，写出函数的单调区间和值域．18．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，.(1)求方程的解集；(2)定义：.已知定义在上的函数，求函数的解析式；(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数的简图，并根据图象写出函数的单调区间和最小值.19．（2022·安徽·合肥市第十中学高一期中）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)是幂函数，且图象过点(3，)．(1)求f(x)在R上的解析式；(2)当x<0时，判断f(x)的单调性，并给出证明．20．（2022·天津市第九十五中学益中学校高一期末）已知幂函数的图像经过点()，函数为奇函数.(1)求幂函数的解析式及实数a的值；(2)判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用的数单调性定义证明21．（2022·辽宁·高一阶段练习）已知幂函数（）的定义域为，且在上单调递增．(1)求m的值；(2)，不等式恒成立，求实数a的取值范围．22．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数，且在区间上单调递减，(1)求的解析式及定义域；(2)设函数，求证：在上单调递减．3.3幂函数【知识点梳理】知识点一、幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．知识点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数．知识点二、幂函数的图象及性质1．作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．知识点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．2．作幂函数图象的步骤如下：（1）先作出第一象限内的图象；（2）若幂函数的定义域为或，作图已完成；若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．3．幂函数解析式的确定（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．（3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．4．幂函数值大小的比较（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．【题型归纳目录】题型一：幂函数的概念题型二：求函数解析式题型三：定义域问题题型四：值域问题题型五：幂函数的图象题型六：定点问题题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题题型八：比较大小题型九：幂函数性质的综合运用【典型例题】题型一：幂函数的概念例1．（2022·全国·高一课时练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B【方法技巧与总结】幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例2．（2022·全国·高一专题练习）下列函数是幂函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】形如的函数为幂函数，则为幂函数.故选：C.例3．（2022·全国·高一专题练习）下列函数是幂函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】形如（为常数且）为幂函数，所以，函数为幂函数，函数、、均不是幂函数.故选：C.例4．（2022·河北·高一阶段练习）下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据幂函数的定义：形如的函数是幂函数，排除A；的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶的函数，所以排除B;是偶函数，所以排除C；，既是幂函数，又是奇函数，所以选D.故选：D.题型二：求函数解析式例5．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），那么这个幂函数的解析式为___________．【答案】【解析】设幂函数，∵幂函数的图象经过点，∴，∴，∴这个幂函数的解析式为．故答案为：．【方法技巧与总结】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．例6．（2022·广东·江门市广雅中学高一期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，则_________．【答案】1【解析】因为为幂函数，所以，解得或，当时为偶函数，函数图象关于轴对称，符合题意；当时为奇函数，函数图象关于原点对称，不符合题意；即；故答案为：例7．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式．【解析】因为幂函数在区间上单调递减，则，得，又∵，∴或1．因为函数是偶函数，将分别代入，当时，，函数为是偶函数，满足条件.当时，，函数为是偶函数，满足条件.的解析式为．例8．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数在上单调递增，则的解析式是_____.【答案】【解析】是幂函数，，解得或，若，则，在上不单调递减，不满足条件；若，则，在上单调递增，满足条件；即.故答案为：例9．（2022·湖北黄石·高一期末）幂函数在区间上单调递减，则实数m的值为______．【答案】【解析】因函数是幂函数，则，解得m=1或m=-3，又函数在上单调递减，则，所以实数m的值为-3.故答案为：-3例10．（2022·全国·高一课时练习）若函数是幂函数，满足，则_________．【答案】【解析】函数是幂函数，设，又，所以，即，所以，得所以，则.故答案为：.例11．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________．【答案】4【解析】由于是幂函数，所以，解得或.当时，，图象关于轴对称，符合题意.当时，，图象关于原点对称，不符合题意.所以的值为，∴.，.故答案为：4.例12．（2022·全国·高一课时练习）若函数的图象经过点，则（）A． B．3 C．9 D．8【答案】B【解析】由题意知，所以，即，所以，所以，所以.故选：B例13．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数在上单调递减，则（

）A．2 B．16 C． D．【答案】D【解析】由题意得，解得，所以，故,故选：D例14．（2022·上海市控江中学高一期中）已知为常数，函数为幂函数，则的值为______;【答案】或1【解析】因为函数为幂函数，则，即，解得或.故答案为：或1.例15．（2022·全国·高一课时练习）幂函数在上单调递减，则的值为______．【答案】2【解析】因为函数是幂函数，则有，解得或，当时，函数在上单调递增，不符合题意，当时，函数在上单调递减，符合题意.所以的值为故答案为：例16．（2022·全国·高一专题练习）幂函数的图象恒过点_________，若幂函数的图象过点，则此函数的解析式是____________．【答案】

【解析】由幂函数的性质知：在第一象限恒过，设幂函数，则，即，故.故答案为：，.题型三：定义域问题例17．（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知解得，所以f(x)的定义域为．故选：B．【方法技巧与总结】使表达式有意义．例18．（2022·上海市杨浦高级中学高一期中）幂函数的定义域为______;【答案】【解析】由根式的性质知：，所以函数定义域为.故答案为：例19．（2022·河南·濮阳一高高一阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为______．【答案】【解析】∵的图象过点，∴，，应该满足：，即，∴的定义域为．故答案为：例20．（2022·上海·高一单元测试）若有意义，则实数的取值范围是________【答案】【解析】若有意义，则，解得所以实数的取值范围是，故答案为：例21．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，则有，解得且，因此的定义域是．故选：B.题型四：值域问题例22．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象过点(9,3)，则函数在区间［1,9]上的值域为（

）A．［－1,0] B． C．［0,2] D．【答案】B【解析】解法一：因为幂函数的图象过点，所以，可得，所以，．因为，所以，故．因此，函数在区间[1,9]上的值域为．故选：B．解法二：因为幂函数的图象过点，所以，可得，所以．因为，所以．因为，所以，所以，解得，即函数在区间[1,9]上的值域为．故选：B．【方法技巧与总结】利用单调性求解．例23．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数为幂函数，且为奇函数.(1)求的值，并确定的解析式；(2)令，求在的值域.【解析】(1)因为函数为幂函数，所以，解得或，当时，函数是奇函数，符合题意，当时，函数是偶函数，不符合题意，综上所述，的值为，函数的解析式为.(2)由（1）知，，所以，令，则，，所以，，根据二次函数的性质知，的对称轴为，开口向上，所以在上单调递增；所以，所以函数在的值域为.例24．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数在区间上是减函数．(1)求函数的解析式；(2)讨论函数的奇偶性和单调性；(3)求函数的值域．【解析】（1）依题意，即，解得，因为，所以或或，所以或或（2）若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；若定义域为，则为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减；若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；（3）若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；若，则为偶函数，当时，所以时，所以函数的值域为；若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；例25．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数．(1)求的解析式；(2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围．【解析】（1）令，则，则，故．（2）由（1）可得．因为函数和函数均在上单调递增，所以在上单调递增．故．对任意，，不等式恒成立，即对任意，不等式恒成立，则解得或．故的取值范围是．例26．（2022·全国·高一专题练习）（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域．（2）求函数的值域．【解析】（1）由于，则，，，所以过点，故的图象，如图所示，函数的定义域为；（2）由题可知，设，则，当时取等号，故的值域为．例27．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的．（1）求实数k的值；（2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值．【解析】（1）为幂函数，∴，解得或，又在区间内的函数图象是上升的，，∴k＝2；（2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且，∴，即，，∴a＝0，b＝1．例28．（2022·全国·高一专题练习）函数，其中，则其值域为___________.【答案】【解析】设，则.因为，所以.当时，.所以函数的值域为.故答案为：例29．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】由函数单调递增，①当时，若，有，而，此时函数的值域不是；②当时，若，有，而，若函数的值域为，必有，可得．则实数的取值范围为．故答案为：例30．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数在上单调递减，其函数值集合为，当时，的取值集合为，的值域，不符合题意，当时，函数在上单调递减，其函数值集合为，因函数的值域为，则有，解得，所以实数的取值范围为.故选：D题型五：幂函数的图象例31．（2022·全国·高一课时练习）函数的图像可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意知，函数，则满足，解得，故函数的定义域为，又，结合幂函数的性质，可得选项C符合题意．故选：C【方法技巧与总结】先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可．例32．（2022·全国·高一课时练习）图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（

）A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3【答案】D【解析】由题图知：，，，所以，，依次可以是，，3．故选：D例33．（2022·全国·高一课时练习）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，即，定义域为，且，即为奇函数，又由幂函数的性质可知在上单调递减，所以在上单调递减，故符合题意的只有C；故选：C例34．（2022·全国·高一课时练习）如图所示是函数(且互质)的图象，则（

）A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且【答案】C【解析】函数的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，在第一象限内，函数是凸函数，故，故选：C.例35．（2022·全国·高一课时练习）已知，则函数的图像不可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据可知，所以当时，，即，故选项A错误，而当为其他值时，B,C,D均有可能出现.故选：A例36．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，如图所示，则（

）A．p为奇数，且 B．p为奇数，且C．p为偶数，且 D．p为偶数，且【答案】D【解析】因为函数的图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，即p为偶数，又函数的定义域为，且在上单调递减，则有，所以．故选：D．题型六：定点问题例37．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（

）A．幂函数的图象都经过，两点 B．函数的图象经过第二象限C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同 D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点【答案】D【解析】对于A，幂函数的图象都经过点，当时，不过点，故A项错误；对于B，的图象过第一、三象限，故B项错误；对于C，与的图象有三个交点，这两个函数不相同，故C项错误；对于D，因为幂函数的图象都经过点，所以幂函数为偶函数时，图象一定经过点，故D项正确．故选：D．【方法技巧与总结】所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点例38．（多选题）（2022·全国·高一专题练习）已知幕函数的图象经过点，则（

）A．函数是偶函数B．函数是增函数C．函数的图象一定经过点D．函数的最小值为0【答案】BD【解析】依题意，所以，由于的定义域是，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，A选项错误.在上递增，所以B选项正确.，所以C选项错误.，所以D选项正确.故选：BD例39．（2022·全国·高一专题练习）任意两个幂函数图象的交点个数是（

）A．最少一个，最多三个 B．最少一个，最多二个C．最少个，最多三个 D．最少个，最多二个【答案】A【解析】因为所有幂函数的图象都过，所以最少有个交点，如图所示：当函数为和时，它们有个交点，故选：．例40．（2022·全国·高一专题练习）下列命题中正确的是（

）A．幂函数的图象一定过点（0，0）和点（1，1）B．若函数f（x）＝xn是奇函数，则它在定义域上单调递增C．幂函数的图象上的点一定不在第四象限D．幂函数的图象不可能是直线【答案】C【解析】幂函数y＝x－1的图象不过点（0，0），它在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减，于是A，B都不正确．幂函数y＝x的图象是直线，D不正确．当x>0时，f（x）＝xα>0必成立，所以，幂函数的图象上的点一定不在第四象限，C正确故选：C．题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题例41．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．【答案】【解析】幂函数在上是减函数，，解得，，或．当时，为偶函数满足条件，当时，为奇函数不满足条件，则不等式等价为，即，在R上为增函数，，解得：.故答案为：.【方法技巧与总结】运用函数的单调性，必须对图象的特征有深刻的认识．可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径．例42．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“＞”“＝”或“＜”）．【答案】＜【解析】因为函数为幂函数，所以，即，解得m＝－1或m＝2．当m＝－1时，；当m＝2时，．因为函数对任意的，，且，满足，所以函数在上单调递增，所以，又，所以函数是奇函数，且为增函数，因为，所以，所以，即．故答案为：＜.题型八：比较大小例43．（2022·全国·高一课时练习）比较下列各组数的大小：(1)，；(2)，；(3)，，．【解析】（1）因为幂函数在上单调递减，且，所以．（2）因为幂函数在上为增函数，且，，所以，所以，所以．（3），，，因为幂函数在上单调递增，所以．【方法技巧与总结】（1）两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断．（2）利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题．当然，若直接利用上幂函数的单调性解决问题也是可以的．（3）引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论．例44．（2022·全国·高一专题练习）求出函数的单调区间，并比较与的大小．【解析】==，因此将幂函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得带函数的图象，由此可知，在上是增函数，在上是减函数．在上找出点关于直线的对称点．由，．例45．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，试比较，，的大小．【解析】，，设函数，由函数在上单调递增.又，所以题型九：幂函数性质的综合运用例46．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图象经过点，则（

）A．函数为增函数 B．函数为偶函数C．当时， D．当时，【答案】ACD【解析】设幂函数，则，解得，所以，所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，当时，，故C正确，当时，，又，所以，D正确．故选：ACD.【方法技巧与总结】以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题．例47．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）（多选）若函数在上满足：对任意的，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”．A选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；B选项中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；C选项中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义；D选项中．该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义．故选：ABD．例48．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）若函数在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（

）A．若，则不存在区间M使为“弱增函数”B．若，则存在区间M使为“弱增函数”C．若，则为R上的“弱增函数”D．若在区间上是“弱增函数”，则【答案】ABD【解析】对于A：在上为增函数，在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M使为“弱增函数”，A正确；对于B：由对勾函数的性质可知：在上为增函数，，由幂函数的性质可知，在上为减函数，故存在区间使为“弱增函数”，B正确；对于C：为奇函数，且时，为增函数，由奇函数的对称性可知为R上的增函数，为偶函数，其在时为增函数，在时为减函数，故不是R上的“弱增函数”，C错误；对于D：若在区间上是“弱增函数”，则在上为增函数，所以，解得，又在上为减函数，由对勾函数的单调性可知，，则，综上.故D正确．故选：ABD．例49．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则其单调增区间为_____.【答案】【解析】，函数的定义域为，令，则当单调递减，在单调递增，，在定义域内单调递增，在在单调递增，故答案为：例50．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调递减区间为__．【答案】【解析】由，得或，令，该函数在上单调递减，而y＝是定义域内的增函数，∴函数的单调递减区间为．故答案为：．例51．（2022·全国·高一专题练习）写出一个具有性质①②③的函数______．①定义域为；②在单调递增；③．【答案】（答案不唯一）【解析】的定义域为，在区间递增，且，所以符合题意.故答案为：（答案不唯一）例52．（2022·全国·高一课前预习）已知函数．(1)若为偶函数，且在是增函数，求的解析式：(2)若在上减函数，求的取值范围．【解析】(1)在上增函数，，解得又,，由为偶函数知，；(2)若在上减函数，则，解得或，即的取值范围是{或且}．【同步练习】一、单选题1．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数中，在上单调递增的函数是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于，是二次函数，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；对于，是幂函数，在上单调递增，符合题意；对于，是幂函数，在上单调递增，不符合题意；对于，，在区间上为减函数，不符合题意故选：B2．（2022·全国·高一课时练习）“函数在上单调递减”是“函数为偶函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若函数在上单调递减，则，若函数为偶函数，则，解得，因为，因此，函数在上单调递减”是“函数为偶函数”的必要不充分条件.故选：B.3．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的图像过点，则（

）A． B． C． D．4【答案】B【解析】设，依题意，所以，所以，所以；故选：B4．（2022·全国·高一课时练习）“当时，幂函数为减函数”是“或2”的（

）条件A．既不充分也不必要 B．必要不充分C．充分不必要 D．充要【答案】C【解析】当时，幂函数为减函数，所以有，所以幂函数为减函数”是“或2”的充分不必要条件，故选：C5．（2022·全国·高一课时练习）函数部分图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，，故BD不正确；当时，，且为增函数，所以为减函数，故A不正确，故选：C.6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数是减函数，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选：A.7．（2022·安徽·高一阶段练习）已知幂函数在上是增函数，则实数的值为（

）A．1或 B．3 C． D．或3【答案】B【解析】∵函数是幂函数，则，∴或.当时在上是增函数，符合题意；当时在上是减函数，不合题意.故选：B.8．（2022·全国·高一课时练习）给出幂函数：①；②；③；④；⑤．其中满足条件的函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由题，满足条件表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.故选：A二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（

）A．B．函数在上单调递增C．函数是偶函数D．函数的图象关于原点对称【答案】ABD【解析】因为幂函数在上是增函数，所以，解得，所以，所以，故为奇函数，函数图象关于原点对称，所以在上单调递增；故选：ABD10．（2022·广东茂名·高一期末）若函数是幂函数，则实数k的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】∵函数是幂函数，∴，解得或.故选：AC.11．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）已知幂函数的图像经过点，则下列命