人教版高一数学新教材同步配套教学讲义5.3诱导公式(原卷版+解析)

5．3诱导公式【知识点梳理】知识点一：诱导公式诱导公式一：，，，其中诱导公式二：，，，其中诱导公式三：，，，其中诱导公式四：，．，，其中知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）；（2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；（4）；．知识点二：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号．用诱导公式进行化简时的注意点：（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．知识点三：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为内的三角函数；③化为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．【题型归纳目录】题型一：利用诱导公式求解给角求值问题题型二：利用诱导公式求解给值求值问题题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用题型五：诱导公式的综合应用题型六：利用互余互补关系求值【典型例题】题型一：利用诱导公式求解给角求值问题例1．（2022·全国·高一专题练习）______．例2．（2022·全国·高一）______．例3．（2022·西藏拉萨·高一期末）（

）A． B． C． D．1变式1．（2022·全国·高一课时练习）设，则（

）A． B． C． D．变式2．（2022·全国·高一课时练习）的值是（

）A． B． C． D．变式3．（2022·广西桂林·高一期末）（

）A．1 B． C． D．变式4．（2022·云南昆明·高一期末）（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”：用公式一或三来转化．（2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角．（3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角．（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．题型二：利用诱导公式求解给值求值问题例4．（2022·安徽阜阳·高一期末）已知，若是第二象限角，则的值为（

）A． B． C．－ D．－例5．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）若且是第二象限角，则（

）A． B． C． D．例6．（2022·广东·饶平县第二中学高一阶段练习）设，若则（

）A． B． C． D．变式5．（2022·全国·高一课时练习）在中，，则的值是（

）A． B． C． D．变式6．（2022·全国·高一课时练习）若，则（

）A． B． C． D．变式7．（2022·江西上饶·高一阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．变式8．（2022·辽宁·辽师大附中高一阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．2变式9．（2022·河南南阳·高一期中）已知角，且，则（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】解决条件求值问题的方法（1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．（2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用例7．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末）（1）计算：；（2）已知，求的值.例8．（2022·西藏拉萨·高一期末）已知为第三象限角，且．(1)化简；(2)若，求的值．例9．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）（1）化简；（2）已知关于的方程的两根为和，.求实数以及的值.变式10．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）已知α是第三象限角，且.(1)化简；(2)若，求；(3)若，求.变式11．（2022·全国·高一课时练习）已知，为第二象限角.(1)若，求的值；(2)若，求的值.变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知.(1)若角是第三象限角，且，求的值；(2)若，求的值.变式13．（2022·全国·高一课时练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M.(1)求的值；(2)求的值.【方法技巧与总结】三角函数式化简的常用方法（1）合理转化：①将角化成，，的形式．②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角的三角函数．（2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．（3）注意“1”的应用：．（4）用诱导公式进行化简时，若遇到的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用例10．（2022·全国·高一课时练习）（1）求证：；（2）设，求证.例11．（2022·全国·高一专题练习）求证：例12．（2022·上海·高一课时练习）已知A、B、C是的三个内角，求证；（1）；

（2）.变式14．（2022·上海·高一）若，求证：.变式15．（2022·全国·高一课时练习）求证：.【方法技巧与总结】三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．题型五：诱导公式的综合应用例13．（2022·全国·高一课时练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面横线中，并解答.已知为第一象限角，且___________，求，，的值.例14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.(1)化简；(2)若，求的值.例15．（2022·江西上饶·高一阶段练习）在平面直角坐标系中，的顶点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上，点在第二象限，且，记，满足．(1)求点的坐标；(2)求的值．变式16．（2022·陕西渭南·高一期末）已知为第二象限角，．(1)求的值；(2)若，求的值．变式17．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.(1)求的值；(2)求的值.变式18．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角的终边经过点.(1)求的值；(2)求的值.变式19．（2022·广西·桂林市奎光学校高一期末）已知点是角终边上的一点，且．(1)求的值；(2)求的值．【方法技巧与总结】解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．题型六：利用互余互补关系求值例16．（2022·广西·桂林市奎光学校高一期末）已知，则________．例17．（2022·内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末）已知，则的值是___________.例18．（2022·贵州·遵义四中高一期中）已知，则__________．变式20．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）已知cos(45°＋α)＝，则cos(135°－α)＝________.变式21．（2022·江西省万载中学高一期中）若，则的值为_____.变式22．（2022·全国·高一课时练习）当时，若，则的值为_________．变式23．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________.【方法技巧与总结】巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系．在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常见的互余关系有，；，；，等．常见的互补关系有，；，等．【同步练习】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）已知，则（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高一课时练习）设，其中，若，则（

）A．4 B．3 C．－5 D．53．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）已知为锐角，，则的值为（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高一专题练习）在中，下列等式一定成立的是（

）A． B．C． D．5．（2022·全国·高一单元测试）在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．6．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（

）A． B． C． D．7．（2022·陕西渭南·高一期末）若，且是第三象限角，则（

）A． B． C． D．8．（2022·北京市第十九中学高一期中）若为任意角，则满足的一个的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题9．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）下列与的值一定相等的是（

）A． B．C． D．10．（2022·全国·高一课时练习）在中，下列等式一定成立的是（

）A． B．C． D．11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则（

）A． B．C．， D．，12．（2022·全国·高一课时练习）定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（

）A． B． C． D．三、填空题13．（2022·天津·高一期末）已知，则_________．14．（2022·天津·高一期末）已知函数，若，则_________．15．（2022·江苏·南京市第一中学高一阶段练习）若，则______．16．（2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习）已知角的终边经过点，将角的终边绕原点顺时针旋转得到角的终边，则___________.17．（2022·安徽·砀山中学高一期中）已知，则______．四、解答题18．（2022·江西省万载中学高一期中）（1）化简：（2）已知（n∈Z），求＋＋＋…＋的值.19．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）已知(1)化简(2)若，α为第三象限角，求的值.20．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）（1）已知，求的值（2）求值：21．（2022·全国·高一课时练习）已知、、为的三个内角，求证：22．（2022·全国·高一课时练习）如图，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A，B两点，且．(1)求的值；(2)若点A的横坐标为，求的值．5．3诱导公式【知识点梳理】知识点一：诱导公式诱导公式一：，，，其中诱导公式二：，，，其中诱导公式三：，，，其中诱导公式四：，．，，其中知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）；（2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；（4）；．知识点二：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号．用诱导公式进行化简时的注意点：（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．知识点三：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为内的三角函数；③化为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．【题型归纳目录】题型一：利用诱导公式求解给角求值问题题型二：利用诱导公式求解给值求值问题题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用题型五：诱导公式的综合应用题型六：利用互余互补关系求值【典型例题】题型一：利用诱导公式求解给角求值问题例1．（2022·全国·高一专题练习）______．【答案】【解析】.故答案为:.例2．（2022·全国·高一）______．【答案】【解析】.故答案为：.例3．（2022·西藏拉萨·高一期末）（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】.故选：B变式1．（2022·全国·高一课时练习）设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，，所以.故选：C.变式2．（2022·全国·高一课时练习）的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故选：C.变式3．（2022·广西桂林·高一期末）（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】，故选：D变式4．（2022·云南昆明·高一期末）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】故选：B．【方法技巧与总结】利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”：用公式一或三来转化．（2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角．（3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角．（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．题型二：利用诱导公式求解给值求值问题例4．（2022·安徽阜阳·高一期末）已知，若是第二象限角，则的值为（

）A． B． C．－ D．－【答案】C【解析】因为是第二象限角，所以，所以．故选：C.例5．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）若且是第二象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，又由为第二象限角，所以．故选：B.例6．（2022·广东·饶平县第二中学高一阶段练习）设，若则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以.故选：C.变式5．（2022·全国·高一课时练习）在中，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，平方得，，因为A为三角形的一个内角，所以，，所以，，所以，结合，可得，，所以.故选：A.变式6．（2022·全国·高一课时练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，∴.故选：A.变式7．（2022·江西上饶·高一阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以．故选：A变式8．（2022·辽宁·辽师大附中高一阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】由诱导公式得：，所以.则.故选：D变式9．（2022·河南南阳·高一期中）已知角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以且，所以，即，所以，所以；故选：A【方法技巧与总结】解决条件求值问题的方法（1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．（2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用例7．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末）（1）计算：；（2）已知，求的值.【解析】（1）原式；（2）原式.例8．（2022·西藏拉萨·高一期末）已知为第三象限角，且．(1)化简；(2)若，求的值．【解析】（1）（2）∵，∴又为第三象限角，∴例9．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）（1）化简；（2）已知关于的方程的两根为和，.求实数以及的值.【解析】（1），即.（2）因为关于的方程的两根为和，所以，，所以，所以，因为，所以，且，所以，变式10．（2022·安徽省舒城中学高一开学考试）已知α是第三象限角，且.(1)化简；(2)若，求；(3)若，求.【解析】（1）根据诱导公式有：（2）因为，α是第三象限角，所以所以（3）因为，所以.变式11．（2022·全国·高一课时练习）已知，为第二象限角.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【解析】（1）为第二象限角，则..∵，∴.∴.（2），则.∵为第二象限角，∴，，.∴.变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知.(1)若角是第三象限角，且，求的值；(2)若，求的值.【解析】（1）.因为，所以，又角是第三象限角，所以，所以.（2）因为，所以.变式13．（2022·全国·高一课时练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M.(1)求的值；(2)求的值.【解析】（1）∵函数（且）的定点M的坐标为，∴角的终边经过点，∴（O为坐标原点），根据三角函数的定义可知，，∴.（2）.【方法技巧与总结】三角函数式化简的常用方法（1）合理转化：①将角化成，，的形式．②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角的三角函数．（2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．（3）注意“1”的应用：．（4）用诱导公式进行化简时，若遇到的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用例10．（2022·全国·高一课时练习）（1）求证：；（2）设，求证.【解析】（1）左边=

=右边，所以原等式成立.（2）方法1：左边=

===右边，所以原等式成立.方法2：由，得，所以，等式左边====右边，等式成立.例11．（2022·全国·高一专题练习）求证：【解析】左边＝＝右边，所以原等式成立．例12．（2022·上海·高一课时练习）已知A、B、C是的三个内角，求证；（1）；

（2）.【解析】(1).

(2).变式14．（2022·上海·高一）若，求证：.【解析】证明：若为偶数，则左边；若为奇数，则左边；左边=右边，所以原式成立.变式15．（2022·全国·高一课时练习）求证：.【解析】左边，右边，左边右边，故原式成立.【方法技巧与总结】三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．题型五：诱导公式的综合应用例13．（2022·全国·高一课时练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面横线中，并解答.已知为第一象限角，且___________，求，，的值.【解析】若选条件①，由可得，又，所以，得.因为为第一象限角，所以，所以，所以.若选条件②，因为，所以，，所以，又，所以，得，因为为第一象限角，所以，所以.例14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.(1)化简；(2)若，求的值.【解析】（1）（2）因为，所以，，故.例15．（2022·江西上饶·高一阶段练习）在平面直角坐标系中，的顶点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上，点在第二象限，且，记，满足．(1)求点的坐标；(2)求的值．【解析】（1）因为在第二象限，，所以，所以，又点的坐标为，所以（2）．变式16．（2022·陕西渭南·高一期末）已知为第二象限角，．(1)求的值；(2)若，求的值．【解析】（1），因为为第二象限角，∴．（2）∵，∴变式17．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.(1)求的值；(2)求的值.【解析】(1)∵角的终边经过点，∴，，∴.(2)由（1）知：，，∴，∴.变式18．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角的终边经过点.(1)求的值；(2)求的值.【解析】(1)由三角函数的定义可得.(2).变式19．（2022·广西·桂林市奎光学校高一期末）已知点是角终边上的一点，且．(1)求的值；(2)求的值．【解析】(1)因为点是角终边上的一点，且，所以且，解得，即，所以；(2)【方法技巧与总结】解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．题型六：利用互余互补关系求值例16．（2022·广西·桂林市奎光学校高一期末）已知，则________．【答案】【解析】由，，所以原式.故答案为：例17．（2022·内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末）已知，则的值是___________.【答案】【解析】因为，故，故答案为：例18．（2022·贵州·遵义四中高一期中）已知，则__________．【答案】【解析】由.故答案为：变式20．（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）已知cos(45°＋α)＝，则cos(135°－α)＝________.【答案】－【解析】因为，所以.故答案为：变式21．（2022·江西省万载中学高一期中）若，则的值为_____.【答案】【解析】由，则，故答案为：.变式22．（2022·全国·高一课时练习）当时，若，则的值为_________．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴．故答案为：变式23．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________.【答案】0【解析】∵，，.故答案为：0.【方法技巧与总结】巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系．在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常见的互余关系有，；，；，等．常见的互补关系有，；，等．【同步练习】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故选：B.2．（2022·全国·高一课时练习）设，其中，若，则（

）A．4 B．3 C．－5 D．5【答案】C【解析】．故选：C.3．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）已知为锐角，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，又为锐角，所以，故选：C4．（2022·全国·高一专题练习）在中，下列等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在中，有，，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误．等式一定成立的是C．故选：C．5．（2022·全国·高一单元测试）在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，，所以，故．故选：D6．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，则，则且，所以，，故，因此，.故选：D.7．（2022·陕西渭南·高一期末）若，且是第三象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，又是第三象限角，，.故选：C.8．（2022·北京市第十九中学高一期中）若为任意角，则满足的一个的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因为，所以，即，所以满足条件的一个的值为2.故选：B二、多选题9．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）下列与的值一定相等的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】因为，A错误；，B错误；，C正确；，D正确，故选：CD10．（2022·全国·高一课时练习）在中，下列等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】对于A，，