高中数学《导数的概念及其意义、导数的运算》同步练习与同步检测试卷及答案解析

选择性必修二＜5.1导数的概念及其意义、导数的运算》同步练习

（基础篇）

选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

1.甲、乙两厂污水的排放量W与时间f的关系如图所示，则治污效果较好的是（）

B.乙JC.两厂一样不确定

2.若lim/区+〃△',）一/（“=]（m为常数），则/'（%）等于（）

3.某质点的运动规律为5=产+3,则在时间（3,3+△，）内，质点的位移增量等于

（）

9

A.6加+（加）2B.6+4+—C.3加+（加了D.9+△/

已知〃x)=x2+e*,则/'（。）=（

C.-2

5.设lim”2+根）-〃2二2t）=_2,则曲线y=/（x）在点（2,/（2））处的切线的倾

斜角是（）

兀万3兀

A.-B.—C.—D.—

4343

6.已知函数y=/（x）在X=X（）处的导数为1,则lim（）

2。2Ar

A.0B.—C.1D.2

2

7.过原点作曲线y=山x的切线，则切线的斜率为()

11

A.eB.-C.1D-7

e

8.曲线》=/+工在点尸(1,2)处切线的斜率为()

A.1B.2C.3D.4

9.下列导数运算正确的是()

A.(2"j=x・2"TB.(sinxcosx+iy=cos2x

c.(lgx)'=JD.(xT)'=x

10.曲线卜=》4+收2+1在点(-1,a+2)处的切线斜率为8,则实数a的值为()

A.-6B.6C.12D.-12

二.填空题(共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分)

11.曲线y=xlnx+2x在点(1,2)处的切线方程为.

12.曲线y=sinx+2cosx在点(①一2)处的切线方程为.

13.已知/(x)=f+2犷'(1),则/'(1)等于.(用数字作答)

14.已知曲线y=x—l上两点A⑵3),B(2+Ax,3+Ay),当＞x=l时,割线AB的斜率

是;当Ax=0.1时，割线AB的斜率是.

15.函数/(幻=2/+3/-5%+4的导数/'(幻=,/'(—3)

16.已知函数〃%)=2',则r(x)=,设g(x)=g'⑴则

g[l)=---------------

17.德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概

念.在研究切线时，他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离

无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一.现已知直线y=x+b是函数

/(x)=lnx的切线，也是函数g(x)=e、+&的切线，则实数6=」,k=

三.解答题(共5小题，满分64分，18—20每小题12分，21,22每小题14分)

18.(1)求导：y=3cosx+2x3-4'+31nx

(2)求函数y=xlnx在x=l处的导数.

19.f(x)=ax3+bx2+cx+d,且/(0)=3,7(0)=0,⑴=—3,/(2)=0；

求a,b,c,d的值.

20.已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线丫=(上的两点，求与直线PQ平行且与曲线相切的

切线方程.

21.已知函数/(x)=(x—l)/—ar的图像在x=0处的切线方程是x+y+8=0,求a,b

的值；

22.求曲线y=e-2'+i在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积.

答案解析

一.选择题(共10小题，满分50分，每小题5分)

1.甲、乙两厂污水的排放量W与时间，的关系如图所示，则治污效果较好的是()

C.两厂一样D.不确定

【答案】B

【解析】

在to处，虽然有Wp«o)=也«0)，但因I(%_△/)(叱/4_Ar),

所以在相同时间加内，甲厂比乙厂的平均治污率小，所以乙厂治污效果较好.

故选:B.

2.若lim/（%+"2A一/（%）=]（m为常数），则:伉）等于（）

Ax

1

A.~mB.1C.mD.—

m

【答案】D

【解析】

由题意，根据导数的概念可得，

lim”…词一/⑻="lim小…小，）"伉）=1,

以-＞0Ax.TOm^x

所以/'（玉＞）=人.

m

故选：D.

3.某质点的运动规律为s=r+3,则在时间（3,3+Af）内，质点的位移增量等于（）

9

A.6加+（加＞B.6+加+—C.3加+（加）2D.9+Ar

△t

【答案】A

【解析】

位移增量=s（3+Az）-5（3）=（3+A/）?+3—（32+3）=6Af+（Ar）2.

故选：A.

4.已知/（力=/+e1则/⑼=（）

A.0B.YC.-2D.1

【答案】D

【解析】

由题意,得r（x）=2x+e"则/'（0）=1,

故选：D.

5.设lim/（2+醺）一/（2-工）=_2,则曲线y=〃x）在点（2,/（2））处的切线的倾

斜角是（）

【答案】c

【解析】

因为lim"2》)-/(2-刈=2/，⑵=_2,

v7

AIOAx

所以/'(2)=-1,则曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线斜率为—1,

3冗

故所求切线的倾斜角为一.

4

故选：C

6.己知函数〉=/(%)在x=x()处的导数为1,则］im二一()

Aio2Ax/(~J

A.0B.—C.1D.2

2

【答案】B

【解析】

因为函数y=/(x)在x=x0处的导数为1，

则产*feq蜘小甘心4小此

故选：B.

7.过原点作曲线y=lnx的切线，则切线的斜率为()

11

A.eB.-C.1D.-r

ee

【答案】B

【解析】

设切点坐标为(机,〃)，

•11

由y=lnx,得y=一,所以切线的斜率为一，

xm

所以切线方程为y—"='(x—，”)，

m

因为切线过原点，所以。-〃=,(0-根)，得〃=1,

m

因为切点G〃,“)在曲线y=lnx上，所以〃=lnm,解得加=e,

所以切线的斜率为,，

e

故选：B

8.曲线y=/+尤在点P(l,2)处切线的斜率为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

y=/+》的导数为，=2x+1,

可得曲线y=f+%在点P(l,2)处切线的斜率为2x1+1=3.

故选：C.

9.下列导数运算正确的是()

A.(2*)'=X-2"TB.(sinxcosx+l)f=cos2x

C.(lgx)'=[I).(/)'=婚

【答案】B

【解析】

对于A,(2')'=2VIn2,A错误；

对于B,(sinxcosx+1)'=(sinx/cosx+sinx(cosx)r=cos2x-sin2x=cos2x,B正

确；

对于C,(怆刈'=-7二，(：错误；

尤In10

对于D,(k)'=_尤-2,D错误.

故选:B.

10.曲线卜=》4+收2+1在点（-1,a+2）处的切线斜率为8,则实数a的值为（）

A.-6B.6C.12D.-12

【答案】A

【解析】

由y=x"+ax2+1,得y'=4x3+2ax,

则曲线,=/+如2+1在点（—i,。+2）处的切线斜率为-4-2。=8,得a=-6.

故选：A.

填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）

11.曲线丁=田11%+2%在点（1,2）处的切线方程为.

【答案】3x-y-l=O

【解析】

,/f（x）-xlnx+2x,ff（x）-live+3,

*1）=3,

•••切线的方程是y—2=3（x-l）,

即3x—y—1=0,

故答案为3x_y_l=O.

12.曲线y=sinx+2cosx在点（①一2）处的切线方程为.

【答案】x+y+2-%=（）

【解析】

由y=sinx+2co$%得y'=cosx-2sinx,

则曲线y=sinx+2cosx在点（肛一2）处的切线斜率为k^y'\x=r[=cos^-2sin乃=一1,

因此所求切线方程为y+2=-（％一%），即x+y+2—〃=0.

故答案为：x+y+2-7r=0.

13.己知/(%)=%2+2犷'(1),则/'(1)等于.(用数字作答)

【答案】-2

【解析】

•.-/(X)=X2+2V，(1),

.•.r(x)=2x+2,r(1),

.•./'(l)=2xl+2/'(l),解得/'(1)=—2.

故答案为：—2.

14.已知曲线y=x「l上两点A(2,3),B(2+Ax,3+Ay),当Ax=l时，割线AB的斜率

是.；当Ax=O.1时，割线AB的斜率是.

【答案】54.1

【解析】

当Ax=l时，割线AB的斜率

AV(2+AX)2-1-22+1(2+1)2-22

ki=—=------------------=-----------

△xAX1

当Ax=O.1时,割线AB的斜率

“(2+0.1)2-1-22+1_

K2-----=----------------------4.1.

AX0.1

15.函数/(幻=2/+3%2-5%+4的导数/'。)=,/(-3)

【答案】6X2+6X-531

【解析】

函数/(》)=2丁+3父-5x+4的导数=+6x-5

3)=6x(—3)2+6x(-3)-5=31

16.已知函数,f(x)=2",则,/(力=,设g(x)=g'⑴则

g")=----------

【答案】2,In2

21n2-l

【解析】

•."(x)=2"求导得/'(力=2'1112,，/'(1)=2山2,

・•・g(x)=g'(l>/(x)—%，求导得g'(x)=g'⑴♦/'(x)T，

・•・g，(l)=g，(l"(l)-l=2In2H⑴-1,m<g(l)=—^―-

2In2—1

故答案为：2*In2；5c~i-

2In2-1

17.德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概

念.在研究切线时，他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离

无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一.现已知直线y=x+b是函数

〃x)=lnx的切线，也是函数g(x)=e*+*的切线，则实数力=,k=.

【答案】T-2

【解析】

由题意可知(lnx)'=工=1,故x=l,则函数/(x)的切点为(L0),代入y=x+b,得

X

b=-l；又(优+人)=-+&=1,故％=一攵，则函数g(x)的切点为(一人,一攵一1),代入

g(x)=ex+k,得k=-2.

故答案为：一1；-2.

三.解答题(共5小题，满分64分，18—20每小题12分，21,22每小题14分)

18.(1)求导：y-3cosx+2x3-4V+31nx

(2)求函数y=xlnx在％=1处的导数.

,3

【答案】(1)y=-3sinx+6x2-(21n2)-4x+—；(2)1；

x

【解析】

(1)y=-3sinx+6x2-(21n2)-4v+—；

x

(2)y=lnx+1ny⑴=1；

19.f(x)^ax3+bx2+cx+d,且40)=3,/'(O)=O,尸(1)=-3,/'⑵=0；

求a,b,c,d的值.

【答案】a=l,b=-3,c=0,d=3

【解析】

•・"(X)=G?+芯+cx+e[

/.f\x)=3af+2hx+c

由/(o)=3,可得d=3；由r(O)=O,可得c=O；r(l)=-3,r(2)=0；可得

3ci+2b=—3<2=1

s八八，解得：〈..,则/Xx)=x3-3/+3,即。=1力=-3,c=0,d=3.

12。+4/?=0。=一3

20.已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=d上的两点，求与直线PQ平行且与曲线相切的

切线方程.

【答案】4x-4y-1=0.

【解析】

设切点坐标为M(x0,y。)，则切线斜率为2x0,

4-1

又直线PQ的斜率为L『币=1,

・・•切线与直线PQ平行，

.*.2xo=Lx=—，

02

切点为(g,1),切线斜率为1.

切线方程为y-y=x-!即4x-4y-1=0.

42

21.已知函数/(x)=(x—l)e'—ox的图像在x=0处的切线方程是x+y+0=0,求a,b

的值；

【答案】a=l,b=l

【解析】

由/(.^)=(x-l)ex-ax,得/(工)=/+(%-1)靖一。二加"一。,

因为函数/。)="一1)，一如的图像在x=0处的切线方程是x+y+b=O,

所以八0)=-1,即一口=一1,得〃=i,

所以f(x)=(x-l)ex-x,则/(O)=(O—l)e°—O=—l,

所以切点坐标为(0,-1),

所以0-1+。=0,得b=l,

综上1

22.求曲线y=e=，+i在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积.

【答案】；

【解析】

依题意得V=e-2*X(-2)=-2e~2x,以旬=-2e*2x0=-2,

故曲线y=+1在点(0,2)处的切线方程是y—2=—2x,即y=-2x+2.

直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是,

直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是6(1,0),

121

故直线y=o,y=x和y=-2x+2所围成的三角形AO8的面积等于彳、以彳=彳.

233

《5.1导数的概念及其意义、导数的运算》同步练习

(提高练)

一.选择题(共10小题，满分50分，每小题5分)

1.已知函数/(月=公2—》+1,若lim/(1+八*)_〃1)=3,则实数〃的值为()

-Ax

A.2B.1C.-1D.-2

2.已知函数/(x)=,则/(])=()

2233

A.---B.-C.-D.---

717171冗

3.已知f(x)=>+3吠(1),则f'(2)=()

A.1B.2C.4I).8

4.近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的

房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定

的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量。与时间t的函数关系如图所示，则

在以下四种房产供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是()

5.已知曲线旷=求'+*111%在点(Lae)处的切线方程为y=2x+8,则()

A.a-e,b--\B.a-e,b-\C.a-e~',b-l

D.a—e',b——1

6.点P在曲线y=V-x+|上移动，设点p处切线的倾斜角为a,则角a的范围是

()

「八7C3乃1

A.[0,—]B.(/―,—]

224

.3冗、「八"、「34、

C.[-^，])D.[0,--)ul—-，^)

424

7.若曲线/(>)=心皿％在》=去处的切线与直线6+2y+l=0互相垂直，则实数a等

于()

A.-2B.-1C.1D.2

8.已知过点P作曲线y=x：'的切线有且仅有两条，则点P的坐标可能是()

A.(0,1)B.(0,0)

C.(1,1)D.(-2,-1)

9.已知M为抛物线C:d=4y上一点，C在点M处的切线(：y=gx+a交C的准线于点

P,过点P向C再作另一条切线4,则6的方程为()

A.y=--%--B.y=--x+2C.y=-2x+4D.y=-2x-4

2472

10.直线/：y="+b是曲线/(x)=ln(x+l)和曲线g(x)=ln(e2x)的公切线，则》=

()

ie

A.2B.—C.In-D.ln(2e)

二.填空题(共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分)

11.已知函数/(X)=当一32,若曲线>=/(%)在(1,7(1))处的切线与直线

2x-y+l=0平行，则“=.

12.已知函数〃x)=-;V-V-x+l,则在曲线y=/(x)的所有切线中，斜率的最大

值为.____.

13.已知曲线，=4asinx-cosx在点(0,-1)处的切线方程为y=*-1,则

tan(a万—9=.

14.过原点作曲线)=，的切线，则切点的坐标为,切线的斜率为.

15.已知函数/(x)=ex-以”=2.71828…为自然对数的底数)的图象恒过定点A，

(1)则点4的坐标为；

(2)若/(x)在点A处的切线方程y=2x+l,则。=.

16.设曲线y=e■'在点(0』)处的切线/与曲线y=』(x>0)上点尸处的切线垂直，则直

x

线/的方程为，P的坐标为—.

17.已知曲线G：f(x)=-ex-2x,曲线G：g(x)=ox+cosx,

(1)若曲线G在x=o处的切线与G在x=]处的切线平行，则实数。=—；

(2)若曲线G上任意一点处的切线为4,总存在上一点处的切线4,使得则

实数。的取值范围为—.

三.解答题(共5小题，满分64分，18—20每小题12分，21,22每小题14分)

18.已知函数/(力=/+xlnx

(I)求这个函数的导数/'(%)：

(II)求这个函数在x=l处的切线方程.

19.函数y=，nl+2x+l在点(1,机+3)处的切线为/.

(1)若/与直线y=3x平行，求实数加的值；

(2)若/与直线y=—gx垂直，求实数加的值.

20.比较函数/(x)=2、与g(x)=]X-l在区间(。＜0)上的平均变化率的大小.

21.己知”,b,ceR,函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)的导函数为/'(x).

(1)若Z?=c,求曲线y=/(x)在点(。,/(。))处的切线方程；

111

(2)求-;1;1;的值.

/(«)f(b)/(c)

22.已知函数/(%)=%3+%-16.

(1)求/'(%)；

(2)求曲线y=/(x)过点(2,-14)的切线的方程.

答案解析

一.选择题(共10小题，满分50分，每小题5分)

1.己知函数/(x)=or2-x+l,若lim/』+©)_/⑴=3,则实数。的值为()

-Ax

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】A

【解析】

根据题意，函数〃£)=办2一%+1,

其导数/"(力=2"-1,则/'⑴=2a-l,

又由lim/(+△")二/°)=3,即/'(1)=2。-1=3,解可得a=2；

A.。Ar

故选：A.

已知函数/(%)=竺艺土

2.，)

23_

A.2B.C.D.2

71717171

【答案】A

【解析】

、cosx、-xsinx-cosx

=.・./'(力=-------------，因此，

故选：A.

3.3知/1(%)=>+3矿⑴,则/⑵=()

A.1B.2C.4D.8

【答案】A

【解析】

函数〃x)=f+3靖⑴，则数(x)=2x+3/'(l),

令x=l代入上式可得尸(1)=2+3/'(1),则/'(1)=一1,

所以/'(x)=2x+3x(-1)=2x-3,

则/'⑵=2x2-3=1,

故选：A.

4.近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的

房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定

的时间T内完成房产供应量任务。.已知房产供应量。与时间，的函数关系如图所示，则

在以下四种房产供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是()

【答案】B

【解析】

单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长

速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量

的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡,

故函数的图象应一直下凹的.

故选B.

5.已知曲线y=ae'+xlnx在点(Lae)处的切线方程为y=2x+〃，贝ij()

A.a=e,b=-\B.a=e,h=\C.a=e~',b=\D.a=e~',b=-\

【答案】D

【解析】

详解：y'=aex+Inx+1,

女=y'Li=ae+l=2,a=e~

将(1,1)代入y=2x+Z?得2+8=1,6=-1,故选D.

6.点P在曲线＞=丁-工+,上移动，设点P处切线的倾斜角为Q,则角。的范围是

()

rrx乃、，兀3兀、.37r、_乃、r3乃

A.[0,—]B.(―,—]C.[—,7V)D.[r0,—)u[—,^)

224424

【答案】1)

【解析】

由y=/(x)=x3-%+1,

则y'(x)=3x2-i>-i,

则tana>—\,

又ae[0,%),

„,.r八万、r37r.

所以ae[0,5)U[彳㈤,

故选：D.

7.若曲线/(幻=%5由%在*=工处的切线与直线以+2y+l=0互相垂直，则实数a等

2

于()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

由题可得：/"(x)=sinx+xcosx,广(§=1,

•••曲线/(》)=15皿%在》=生处的切线的斜率为1,

2

rr

曲线/(》)=15m工在》=一处的切线与直线依+2y+l=。互相垂直，且直线

2

ax+2y+l=0的斜率为_巴,

2

二(―q)xl=-1,解得：a=2；

2

故答案选D.

8.己知过点P作曲线y=(的切线有且仅有两条，则点P的坐标可能是()

A.(0,1)B.(0,0)

C.（1,1）D.（—2,—1）

【答案】C

【解析】

y=x3的导数为y'=3x2,

设切点为（肛加3），可得切线的斜率为3加2,

切线的方程为y-m3=3mKx-tn）,

若P（0,0）,则一机3=3机2（0-根），解得加=0,只有一解；

若P（0,l）,则1—加3=3m2（0一阳），可得根3=一^,只有一解；

若P。/），则1一〃?s=—/〃），可得2川—3川+1=0，

即为（机一1）2（2旭+1）=0,解得机=1或一；，有两解；

若P（-2-1）,则T-加=3机2（-2—〃?），

可得2加+6m2-1=0,

由f（m）=2m3+6m2—1,f\rri）=6/w24-12m,

当一2<根<0时，/1%）递减；当〃2>0或〃z<-2时，/（M递增.

可得/（。）=-1为极小值，/（一2）=7为极大值，

则2m3+6m2_1=0有3个不等实数解.

故选：C.

9.已知M为抛物线C:/=4y上一点，C在点M处的切线4：y=；x+a交C的准线于点

P,过点P向C再作另一条切线12,则12的方程为（）

111_.

A.y=—x—B.y=—x+2C.y——2x+4

242

D.y=-2x-4

【答案】D

【解析】

设”(%),%),由题意知，y=则y=gx,

C在点M处的切线4:y=；x+a,所以y[x=*=(玉)=g

所以%=1,则

将代入4:y=；x+a的方程可得。=一;，即4:y二^1一；

抛物线C:炉=4〉的准线方程为：y=-i

则P-1).设4与曲线C的切点为N&,%),

2

1%+1

*0X)—(―1)4°

则子二，八二一丁，解得/=-4或毛=1(舍去)，

则N(—4,4),所以4的方程为y=-2x—4.

故选：D

10.直线/：y=履+匕是曲线/(x)=ln(x+l)和曲线g(x)=ln(e2x)的公切线，则匕=

()

,e

A.2B.一C.In—D.ln(2e)

22

【答案】C

【解析】

设直线/与曲线/(X)=ln(x+1)相切于点人(玉,苗),直线/与曲线g(X)=In(e2x)相切

于点3(々,%)，

•."(x)=ln(x+l),则/=由r(xJ=Y^J=k，可得

则M=/(%)=ln(X1+l)=TnZ,即点A—,-ln^,

\k7

\-k

将点A的坐标代入直线/的方程可得一lnZ=Z----+/?,可得h=A—ln左一1,①

k

;g(x)=ln(e2x)=2+lnx,则g，(x)=L由g'(X2)='=Z，可得

X%2k

必=g(w)=2—ln攵，即点31,2—lnz],

将点8的坐标代入直线/的方程可得2-lnk=h'+〃=/?+l,;2=1-In%,②

k

联立①②可得k=2,/?=1—In2=In—.

2

故选：C.

二.填空题(共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分)

11.己知函数/(力=平一"2,若曲线y=/(x)在处的切线与直线

2%—y+1=0平行，则。=.

【答案】M

2

【解析】

因为函数一⑪2,

所以/'(X)=-~学-2ax,

又因为曲线y=/(x)在(1,/。))处的切线与直线2x-y+l=0平行，

所以/'(1)=1-2。=2,

解得。=一],

2

故答案为：一不

2

12.已知函数/3=-33一r一31+1,则在曲线y=〃x)的所有切线中，斜率的最大

值为____.

【答案】-2

【解析】

因为/(X)=-^X3-X2-3X+1,所以/'(x)：—%2—2x—3=—(x+l)2—2,

因为当尤=—1时/'(x)取得最大值为尸(―1)=-2,

所以根据导数的几何意义可知，曲线)=/(x)的切线中斜率的最大值为-2.

故答案为：-2.

13.已知曲线y=4asinx-cosx在点处的切线方程为y=x—l,则

tan(«^,一套)=.

【答案】2-若

【解析】

曲线y=4々sinx—cosx,

则yr—4acosx+sinx,

曲线丁=4々5足%一(:05%在点(0,—1)处的切线方程为y=*-1,

所以当x=0时，满足y'=4a=l,

解得。,

4

代入并由正切函数的差角公式可得

兀71

tan----tan

兀7C

tan46

4617171

1+tan—tan一

46

1一苴

T=2-5

i+6

3

故答案为：2-8.

14.过原点作曲线y=，的切线，则切点的坐标为,切线的斜率为.

【答案】（l,e）e

【解析】

设切点为（公,/），因为y=e*,所以丁：日二所以人=〉［飞：*,所以切线方程为：

y—e%=八>（%一%），因为切线方程过原点，把原点坐标代入，得

一人=*（0-%）,解得q=1,所以切点坐标为（l,e）,切线的斜率为e.

15.已知函数〃x）=e'-"（e=2.71828…为自然对数的底数）的图象恒过定点A，

（1）则点A的坐标为；

（2）若/（x）在点A处的切线方程y=2x+l,则"=.

【答案】（0,1）-1

【解析】

当％=0时，/（o）=l,..•点A的坐标为（0,1）；

=二/'（0）=1-4=2,解得：a=-l.

故答案为：（。,1）；—1.

16.设曲线y=e''在点（0,1）处的切线/与曲线>='（尤>0）上点0处的切线垂直，则直

x

线/的方程为，P的坐标为.

【答案】y-x-l=0（1,1）

【解析】

由丁=6"可知y'=e",当x=0时，切线/的斜率勺=y'=l,

则y-l=x,即切线/的方程为y-x-1=0；设P（毛,%），则%=一，由

九0

y=-（x>0）,

x

]1(1)

则y'=一一?，所以点P处的切线斜率为一方.由两直线垂直，可得--7=-1,

X/I/J

1,,、

解得$=1或—1(舍去)，则%=一=1，所以P(L1).

xo

故答案为：y-x-l=O

17.已知曲线G：f(x)=-ex-2x,曲线。2：g(x)=ax+cosx,

(1)若曲线G在x=o处的切线与G在x=]处的切线平行，则实数。=_______；

(2)若曲线G上任意一点处的切线为4,总存在G上一点处的切线,2,使得4工/2,则

实数。的取值范围为_.

【答案】一2一g,i

【解析】

⑴八外=一/一2,则曲线G在％=。处的切线的斜率K=/'(0)=-3,

g'(x)=a-sinx，G在x=1处的切线的斜率内=g'(1^=aT，

依题意有a-1=-3,即a=-2;

(2)曲线G上任意一点处的切线的斜率£=/'(%)=-产一2,

1(

则与4垂直的直线的斜率为丁丁€。,彳，

e+2I2,

而过。2上一点处的切线的斜率右=g'(x)=a-sinxe[a—l,a+l],

a-1<0

依题意必有《，1,解得—

a+\>-2

I2

故答案为：一2；.

三.解答题(共5小题，满分64分，18—20每小题12分，21,22每小题14分)

18,已知函数+xlnx

(i)求这个函数的导数r(x)；

(II)求这个函数在X=1处的切线方程.

【答案】(I),f'(x)=2x+/nx+l；(II)3x-y-2=0.

【解析】

(I)因为/=+xlnx,所以r(x)=2x+/nx+l；

(II)由题意可知，切点的横坐标为1,

所以切线的斜率是%=/'。)=2+1=3,

又/(1)=1，所以切线方程为＞一1=3(%-1),整理得3x-y-2=0.

19.函数y=/n/+2x+l在点(1,机+3)处的切线为/.

(1)若/与直线y=3x平行，求实数加的值；

(2)若/与直线y=垂直，求实数用的值.

【答案】(1)w=1(2)m=0

【解析】

(1)由题意得：y'=3＞mx2+2

...在(1,机+3)处切线斜率％=3加+2

•.•切线与y=3x平行

3/n+2=3,解得机=；

(2)由(1)知,切线斜率。=3加+2,

•.•切线与y=—g尤垂直

...(3加+2)(一小=一1,

解得加=0.

20.比较函数f(x)=2'与g(x)=；x—l在区间(。＜0)上的平均变化率的大小.

【答案】/(X)在区间m<0)上的平均变化率比g(x)的平均变化率小.

【解析】

/(x)=2'在区间[a-l,a](a<0)上的平均变化率为

时/(a)-/(«-D*m…

--=-----------=2-2=2；

Axa-(a-l)

g(x)=gx-1在区间[a—1,a](a<0)上的平均变化率为:

Ag=g⑷-g(a-l)=(2几2'，」=X，

Axa-(a-1)12

9.•a<0,:.a-l<-l

2“T<2-1=-,

2

/(x)=2*在区间[aT,a](a<0)上的平均变化率比g(x)=gx-1在区间

[a-l,a](a<0)上的平均变化率小.

21.已知a,"ceR,函数/(x)=(x-a)(x-A)(x-c)的导函数为/'(x).

(1)若力=c,求曲线y=/(x)在点S,/(b))处的切线方程；

【答案】(1)y=0;(2)0.

【解析】

(1)若Z?=C,贝！J.f(x)=(x-a)(x-/?)2,所以((x)=(x-，)2+(x-a>2(x-b),

则f\b)=(b-b)2+(x-a)-2(b-b)=0,即曲线y=/(x)在点SJS))处的切线斜率为

0,

又f(b)=(b-a)(b-b)2=0,

所以所求切线方程为：y=0；

(2)由y(x)=(X-“)(x-b)(x-c)得

=(x-b)(x-c)+(x-a)[(x-b)(x-c)]=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b),

所以f'(a)=(。-b)(a-c),f'(b)=(b-a)(b-c),f'(c)=(c-a)(c-b),

111111

因此--------1-------------1-----------=-------------------------1-------------------------1-----------------------

/(«)f(b)f\c)(a-b)(a-c)(b-a)(b-c)(c-a)(c-b)

1(11111b-a1

=----------------------------------\---------------------------=----------------------------------1------------------------

a-b\a-ch-c)(c-a)(c-b)a-h(a-c)(h-c)(a-c)(b-c)

(a-c)(b-c)(a-c)(b-c)

22.已知函数/'(力=9+%—16.

(1)求/'(%);

(2)求曲线y=/(x)过点(2,-14)的切线的方程.

【答案】⑴r(x)=3f+i；(2)y=x-16或-70.

【解析】

(1),.•/(x)=x3+X-16,则/'(x)=3无2+1；

(2)设切点为+x0—16),

•."'(x)=3f+l,所以，切线的斜率为左=3片+1,

所求切线方程为了一(片+/-16)=(3*+l)(x-x0).

将x=2,y=T4代入切线方程，得—14—(石+/-16)=(3%+1)(2-%).

整理得片(/—3)=0,解得%=0或3.

当/=0时，k=l,切线方程为(T4)=x—2,化简得y=x-16；

当/=3时，Z=28,切线方程为y—(―14)=28(x—2),化简得y=28x-70.

综上所述，曲线＞=/(x)过点(2,—14)的切线的方程为y=%-16或y=28x-70.

《5.1导数的概念及其意义、导数的运算》同步检测试卷

一、单选题

1.已知尸（D=l,lim+/⑴等于（）

ASOAv

A.1B.-1C.3D.—

3

2.设函数/（x）在x=l处存在导数为2,则lim/"+A'）一/"）=（）.

203Ax

2