第十二章-高中数学选考部分

第十二章选考部分

第1节坐标系与参数方程

第1课时坐标系

最新考纲1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图

形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位

置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极

坐标方程.

I知识衍化体验回顾教材，夯实基础

知识梳理

1.平面直角坐标系中的伸缩变换

设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换8：,八、的作用

下，点P（x,y）对应到点y'）,称夕为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，

简称伸缩变换.

2.极坐标系

（1）极坐标与极坐标系的概念

o

在平面内取一个定点。，自点。引一条射线Ox,同时确定一个长度单位和计算

角度的正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系.点。称为极点，

射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段0M的长度〃和从射线Ox

到射线OM的角度。来刻画（如图所示）.这两个数组成的有序数对（O,〃）称为点

M的极坐标/称为点M的极径,0称为点M的极角.一般认为220.当极角6的

取值范围是［0,2兀）时，平面上的点（除去极点）就与极坐标s，e）s#o）建立一一对

应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径p=o,极角e可取任意角.

(2)极坐标与直角坐标的互化

设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x,y),极坐标为(p，.由图可知下面的

关系式成立：

rn，=<+丫2,

x—ocose,—

,或SV

、y=z?sin°tane='(xWO),

这就是极坐标与直角坐标的互化公式.

3.常见曲线的极坐标方程

曲线图形极坐标方程

圆心在极点，半径为/•的圆0=r(OWe<27t)

〃=2-cos0

O0-F

圆心为(r,0),半径为r的圆

圆心为上，野，半径为「的圆o=2rsin2

OX(0W兴兀)

0/^——e=a(pGR)

过极点，倾斜角为a的直线/,

或<9=a4-7t(pGR)

0cos9=a

过点(a,0),与极轴垂直的直线

O3,0)X(二名母

，“遗)

过点伍舒，与极轴平行的直线osin9=a

O,x(0<0<兀)

［微点提醒］

关于极坐标系

1.极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，

四者缺一不可.

2.由极径的意义知当极角。的取值范围是［0,2兀)时，平面上的点(除去极

点）与极坐标S，夕）（2工0）建立—对应关系，约定极点的极坐标是极径"=o,极

角可取任意角.

3.极坐标与直角坐标的重要区别：多值性.

基础自测

疑误辨析

1.判断下列结论正误（在括号内打“J”或“义”）

（1）平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标

也是一一对应关系.（）

（2）若点P的直角坐标为（1,一小），则点P的一个极坐标是（2,一§.（）

（3）在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.（）

（4）极坐标方程。=无融20）表示的曲线是一条直线.（）

解析（1）一般认为当夕6[0,2兀）时，平面上的点（除去极点）才与极坐标建

立---对应关系；（4）极坐标。=兀肘20）表示的曲线是一条射线.

答案（l）x（2）V（3）V（4）X

教材衍化、

2.（选修4—4P15习题T3改编）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为

极轴建立极坐标系，则线段旷=1一%（0忘》或1）的极坐标方程为（）

1___八,八，兀

A.p=।~7,0W彳

1cos〃十sin82

1八7八/

B-p=cos^+sinQ'。、吟

71

C.p=cos夕+sin仇0W0W1

兀

D.p=cos夕+sina

解析・.・y=1—1）,

.,.psin6=1—pcos仇0W〃cos1)；

.1

・''sin8+cos

答案A

3.（选修4-4P15T4改编）在极坐标系中，圆/）=-2sin0的圆心的极坐标是（）

A.(l,IB卜，甘

C.（l,0）D.（l,7T）

解析法一由/?=-2sin。得加=-2〃sin仇化成直角坐标方程为炉+V二一

2»即£+3+1）2=1,圆心坐标为（0,-1）,其对应的极坐标为（1,一方）.

法二由p=—2sin8=2cos（e+驾，知圆心的极坐标为（1,一。故选B.

答案B

考题体验、

4.（2015.湖南卷）在直角坐标系X。），中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴

建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为p=2sin仇则曲线C的直角坐标方程为

解析由p=2sin。，得/?=2外也仇所以曲线。的直角坐标方程为_?+炉-2y=

0,即f+Cy—1）2=1.

答案f+（y—1）2=1

5.（2014.广东卷）在极坐标系中，曲线G与C2的方程分别为2pcos20=sin。与"cos

。=1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐

标系，则曲线Ci与C2交点的直角坐标为.

解析将2〃cos2e=sin。两边同乘以"，得2（pcose）2="sin仇化为直角坐标方

程为2/=>①，C2：pcos6=\化为直角坐标方程为x=l②，联立①②可解得

fx=l,

c所以曲线Cl与。2交点的直角坐标为（1,2）.

ly=2,

答案（1,2）

6.（2014・陕西卷）在极坐标系中，点（2,。到直线psin（。一奇=1的距离是.

解析将极坐标（2,高转化为直角坐标为（小，1）.极坐标方程psin（。一蓄=1转

化为直角坐标方程为X—小y+2=0,则点（小，1）到直线x—5y+2=0的距离

』S-小X1+2I1

a—I--------——=1.

V1+（一小）2

答案1

I考点聚焦突破分类讲练，以例求法

考点一平面直角坐标系中的伸缩变换…“易错警示

\X，=2X

［例1］在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换j1

卜存

后的图形.

(l)5x+2y=0；(2)x2+/=l.

I，r

x2*'x=2x',

解伸缩变换〈,则，,

(1)若5尤+2y=0,贝U5(20+2(3/)=。，

所以5x+2y=0经过伸缩变换后的方程为5x'+3y'=0,为一条直线.

⑵若JC2+V=1，则(2x，)24-(3/)2=1,

则f+y2=l经过伸缩变换后的方程为4/+9y〃=i,为椭圆.

规律方法伸缩变换后方程的求法

a〉o),

平面上的曲线y=/(x)在变换9：\的作用下的变换方程的求法是

［y—^iy(">0)

丫=--

XA'代入>=於)，得，=均

,整理之后得到y=〃(v),即为所求变换之

后的方程.

易错警示应用伸缩变换时，要分清变换前的点坐标(匚>)与变换后的点坐标(X',

/).

【训练1】在同一坐标系中，求将曲线y=Tsin3x变为曲线〉=$山》的伸缩变换

公式.

解将曲线y=Tsin3MD经过伸缩变换变为y=sinx,即y，=sinx②，

\x'=hc,

设伸缩变换公式是，(2>0,4>。)，

17=股

卜1=2,

把伸缩变换关系式代入②式得："=sin&与①式的系数对应相等得到

/=3,

x'—3x

所以，变换公式为，;■,

ly'=2y.

考点二极坐标与直角坐标的互化

【例2】（2019•德阳诊断）已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy的原点，

极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C的参数方程为

\x=—14-\/2cosa,\

厂3为参数），直线/过点（一1,0）,且斜率为右射线OM的极

[y=1+\2sina乙

坐标方程为。=学

（1）求曲线C和直线I的极坐标方程；

（2）己知射线OM与曲线C的交点为。，P,与直线/的交点为。，则线段PQ的

长.

x=-l+A/2COSa,

解（1）'.•曲线C的参数方程为-r（a为参数）,

y=1+\2sina

：.曲线C的普通方程为。+1）2+。-1）2=2,

将x=pcosay=〃sin0代入整理得p+2cos夕一2sin9=0,

即曲线C的极坐标方程为"=2gin（T）.

,直线/过点（一1,0）,且斜率为g,

...直线/的方程为y=g（九+1）,

二直线/的极坐标方程为pcos。一2〃sin8+1=0.

1A/2

小F干’

故线段PQ的长为26一半=平.

规律方法1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x=

pcos0,y=〃sin仇p2=x1+y2,tan0=\x^0）.

x

2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意p,。的取值范围及其影响;

要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法

和平方法等技巧.

【训练2】（1）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建

立极坐标系.已知点A的极坐标为（啦，胃,直线的极坐标方程为"cos（0—胃=4,

且点A在直线上，求。的值及直线的直角坐标方程.

（2）把曲线Ci：/十y2—8x—10y+16=0化为极坐标方程.

解（1）：点4卜「，点）在直线"COS,一裔=〃上，

:.a=Vicos隹制=也，

所以直线的方程可化为pcos夕+psin0=2,

从而直线的直角坐标方程为x+y—2=0.

fx^/?cosOy

（2）将彳代入f+y2—8x—10y+16=0,

[y=psin0

得p2—Specs^—1Opsin0+16=0,

所以Ci的极坐标方程为p2—8pcos^-1Opsin0+16=0.

考点三曲线极坐标方程的应用

【例3一1]（2019•太原二模）点P是曲线G：。-2）2+9=4上的动点，以坐标

原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点。为中点，将点P逆

时针旋转90。得到点Q,设点Q的轨迹为曲线C2.

⑴求曲线G，C2的极坐标方程；

TT

⑵射线e=1S>0）与曲线c，C2分别交于A,8两点，定点M（2,0）,求

的面积.

解（1）由曲线G的直角坐标方程（x—2）2+产=4可得曲线Ci的极坐标方程为p

=4cos0.

设。（p,。），则。一。

则有p=4cos｝甘）=4sin。.

所以曲线C2的极坐标方程为〃=4sin0.

⑵M到射线0=枭>0）的距离d=2sin鼻=小,

\AB\=PB~pA=4卜in鼻一cosU=2(市—1),

所以5.38=3依为*4=3*2(仍一1)*小=3—仍.

【例3一2】(2017.全国H卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为0cos0=4.

⑴设点M为曲线G上的动点，点P在线段0M上，且|OMHOP|=16,求点P的

轨迹。2的直角坐标方程；

(2)设点A的极坐标为(2,胃，点8在曲线C2上，求△0AB面积的最大值.

解(1)设点P的极坐标为S，0)S>0)，M的极坐标为Si，。)3>0).

4

由题设知。尸1=0,|0M=pi=^*.

由|OMHOP|=16得C1的极坐标方程为p=4cos畋>0).

因此C2的直角坐标方程为(x—2)2+寸=4(%/0).

(2)设点B的极坐标为SB，a)(pB>0).

由题设知|O4|=2,pB=4cosa,

于是△0A3的面积

S=^|OA|-/?B-sinZAOB=4cosa-sin(a一=21in(2a一号一半上2+4.

当a=一各寸，S取得最大值2+4.

所以△0A8面积的最大值为2+小.

规律方法求线段的长度有两种方法.方法一，先将极坐标系下点的坐标、曲线

方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度.方法

二,直接在极坐标系下求解，设A(》，4)，,仇)，则m=

qpM+成-2pip2cos；如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之间

的距离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则⑶一

P2|即为所求.

【训练3】(1)在极坐标系中，求直线Qin,+野=2被圆〃=4截得的弦长.

(2)(2019•衡阳二模)在直角坐标系xOy中，曲线。的参数方程为彳(ip

、y=sin(p

为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A,8为C上两

7T

点，且。设射线。4：0=a,其中0<a<].

(i)求曲线。的极坐标方程；

(五)求|04卜|03|的最小值.

解(1)由/?sin(0+：)=2,得芈Ssine+pcos0)=2,可化为x+y—2啦=0.圆〃=

4可化为_?+产=16,

圆心(0,0)到直线x+y-2yj2=0的距离J=^=2,

由圆中的弦长公式，得弦长

I=2yjr—d*2=2^42—22=4小.

故所求弦长为4s.

|x=\/2cosr2-

(2)(i)将曲线。的参数方程V*"为参数)化为普通坐标方程为5+y2

ly=sin(p乙

=1.

因为x=pcosay=〃sin仇

2

所以曲线C的极坐标方程为夕2=]+22/

(ii)根据题意：射线OB的极坐标方程为夕=。+5或0=a-号

=、________4_________>_________?_________=4

\j(1+sin2a)(l+cos2a)1+sirj2a+1+cos2a3

2

TT4-

当且仅当sir?a=cos2a,即a=a时，|。4卜|05|取得最小值为

⑥反思与感悟

［思维升华］

1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的我们可以直接代入公式pcos

6=x,psin，=y,p2=/+y2,但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平

方，两边同时乘以"等.

2.直角坐标(x,y)化为极坐标(p,。)的步骤：

(1)运用puy/W+y2,tan9=；(xW0);

(2)在［0,2兀)内由tan8=*xW0)求0时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象

限(即。的终边位置).

［易错防范］

1.确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不

可.

2.平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯

一.当规定0W6V2兀，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，

但仍然不包括极点.

3.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：

(1)注意P，。的取值范围及其影响.

(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.

I分层限时训练I分层训练，提升能力

基础巩固题组

(建议用时：60分钟)

7X，—3x

1.求双曲线C：_?一乏=1经过力\'变换后所得曲线C的焦点坐标.

解设曲线C上任意一点P'(x',y'),

由上述可知，得卜*'代入普=1,

得卜鲁=1,化简得%落1,

即看一方1为曲线。的方程，

可见仍是双曲线，则焦点外（一5,0）,F2（5,0）为所求.

2.（2018・武汉模拟）在极坐标系下，已知圆O：p=cos8+sin。和直线/：psin。一个）

=啦

-2-

（1）求圆。和直线/的直角坐标方程；

（2）当。£（0,兀）时，求直线/与圆。公共点的一个极坐标.

解（1）圆O：p=cos^+sin0,即p2=,cos8+psin仇

圆。的直角坐标方程为：/+^=x+y,

即A2+y2—%—y=0,

直线/："sin（。—：）=乎,

即psinO-pcos0—1,

则直线/的直角坐标方程为：厂x=l,即x—y+l=0.

xi+y1—x—y=Q,尤=0,

⑵由,得<

.x—y+1=0,)=1，

故直线/与圆。公共点的一个极坐标为（1,f

3.以直角坐标系中的原点。为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线

2

的极坐标方程为P勺

1—sinf）

（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;

（2）过极点O作直线/交曲线于点P,Q,若|0尸|=3|。。|,求直线/的极坐标方程.

解⑴psin0=y,

2

.•.〃=[_sin/化为"sin3=2,得p?=（2+psin3）2,

：.曲线的直角坐标方程为V=4y+4.

（2）设直线1的极坐标方程为。=仇功仁2，

22

根据题意।〃=3北―

1—sint）o1—sm（6o十兀）

解得为=%或加=居，

OO

TT511

直线/的极坐标方程e=d（peR）或。=不（/>£氏）.

4.(2019・安阳二模)在平面直角坐标系xOy中，已知直线/：x+小y=5小,以原点

。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆。的极坐标方程为"=4sin8.

(1)求直线I的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；

7T

(2)射线。P：。=不与圆。的交点为。，A,与直线/的交点为8,求线段AB的长.

解⑴因为x=pcos。，y=psin0,直线/：x+小y=5小，

所以直线I的极坐标方程为0cose+q3psin8=5小，

化简得2万沦(。+号=5小，即为直线/的极坐标方程.

由p=4sin仇得p2=4psin6,

所以f+y2=4y,即/+(>—2)2=4,

即为圆。的直角坐标方程.

jr

(2)由题意得pA=4sin4=2,

5小

PB=伊,兀、=5,

2sin《+d

所以|AB|=bA—pB|=3.

5.(2019•福州四校期末联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为

x=2+cosa,l

,.(a为参数)，直线C2的方程为y=45x.以坐标原点。为极点，x轴

)=2十sma

的正半轴为极轴建立极坐标系.

⑴求曲线G和曲线G的极坐标方程;

⑵若直线C2与曲线G交于A,B两点，求患+症［•

九=2+cosa,

解(1)由曲线G的参数方程为，cI.(«为参数)，得曲线Cl的普通方程

、y=2十sina

为(x—2)2+(y—2)2=1,

则G的极坐标方程为p2—4pcos4psin0+7=0.

由于直线C2过原点，且倾斜角为宗故其极坐标方程为。=5(pGR).

伊2一4"cos夕一4"sin8+7=0,

（2）由《7r得/?一（2小+2）p+7=0,设A,8对应的极

忖一

径分别为q,P2,

则"|+"2=2小+2,21/92=7,

.11_QA|+|O3|_pi+〃2_2小+2

''\OA\^\OB\~\OA\-\OB\~p\pi~7

x=\/2cos5

6.在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为（其中s为参数）,

j=sin（p

曲线C2：/+：/—2y=0.以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,

射线/:。=6（（/＞巳。）与曲线C，。2分别交于点A,8（均异于原点。）.

⑴求曲线G，C2的极坐标方程；

7?

⑵当0＜a＜］时，求IOAF+IOBF的取值范围.

JC=\/2COS(p,

解(DV

j=sin(p,

2

得曲线Ci的极坐标方程为p2=1二v铲

+产2尸0,

/.曲线C2的极坐标方程为"=2sin6.

⑵设A,8对应的极径分别为m,P2,则由⑴得

-2

10A2=/=］不si//|OB|2=P2=4sin2a,

22

\OA\1+\OB\1=_1_^.^2^+4sin2a=^+4(1+sin2a)-4,

0<a<^,1<1+sin2a<2,

2

6<j+sin2a)<9,

・・.|OAF+|O3|2的取值范围为(2,5).

能力提升题组

（建议用时：20分钟）

X=A/3+2COSa,

7.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为\9为参数）.以平

j=l+2sina

面直角坐标系的原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)过原点。的直线八，6分别与曲线C交于除原点外的A，B两点，若NAOB=

求△AOB的面积的最大值.

解(1)曲线C的普通方程为(x—小F+(y—1)2=4,

即f+y?—2/x—2y=0,

所以，曲线C的极坐标方程为储一2，5pcos。-2psin夕=0,即/j=4sin(0+技

(2)不妨设ASi，夕)，8+目，夕£(一多驾.

则pi=4sin(e+§,p2=4sin(，+引，

1兀

△AO8的面积S=1|0AH。用sinQ

_1.匹

一^pi/)2Sinq

=4小sin(6+野sin(9+引

=2小cos2。+/W3小.

所以，当。=0时，△AOB的面积取最大值3小.

8.(2018•厦门外国语中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为

x=1+cosa,

.(a为参数)；在以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系

j=sina

中，曲线。2的极坐标方程为pcos20=sin6.

(1)求曲线Ci的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)若射线/：y=AXx20)与曲线G,C2的交点分别为A,B(A,8异于原点)，当

斜率ZC(1,4］时，求］。4卜|。8|的取值范围.

解(1)曲线G的直角坐标方程为a—1)2+9=1，即W—2x+V=0,将

fx=〃cos仇

.八代入并化简得曲线G的极坐标方程为夕=2cos。.

ly=psin8

fx=/)cos8,

由pcos?9=sin夕两边同时乘p,得p2cos29=psina结合彳八得曲线C2

［y=psin0

的直角坐标方程为/=y.

(2)设射线/：y=fcc(x》O)的倾斜角为8，则射线的极坐标方程为。=9，且仁

tan86(1，

|p=2cos仇

联立J八得|Q4|=pw=2cos(p,

3=9，

pcos2<9=sin0,sin①

联立得|03|="8=2

8=(p,cos(p’

所以|OAHOB|=/M7?B=2COS,味怒=2tans=2AG(2,2啊,即目的取值范

围是(2,2回

第2课时参数方程

最新考纲1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、

圆和椭圆的参数方程.

I知识衍化体验，回顾教材，夯实基础

知识梳理

1.曲线的参数方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数f

x=—r),

的函数，、并且对于/的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x,y)

2=&(/)，

都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系变数x,y的

变数r叫作参变数，简称参数.

2.参数方程与普通方程的互化

通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x,y中的一个与参数t的

关系，例如尤=/⑺，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y=g⑺，

那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使X,

ly=g«)

y的取值范围保持一致.

3.常见曲线的参数方程和普通方程

点的轨迹普通方程参数方程

X=M)+?cosa,

直线y—yo=tana(x-xo)«,.Q为参数)

y=yo十fsina

x=rcos0,

圆x2+y2=r2,、(9为参数)

、y=rsin6

y22\x=acos(p,

椭圆1十方=l(a>b>0),.”为参数)

j=Osin(p

温馨提醒直线的参数方程中，参数，的系数的平方和为1时，r才有几何意义

且几何意义为：|/|是直线上任一点M（x,y）到区的，川）的距离.

［微点提醒］

1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小,

必须根据参数的取值范围，确定函数加）和g⑺的值域，即x和y的取值范围.

2.参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元

等，经常用到公式cos?O+sii?。=1,1+tai?0=co；2夕

基础自测

疑误辨析、

1.判断下列结论正误（在括号内打“J”或“X”）

（1）参数方程彳、中的x,y都是参数f的函数.（）

x=x（）+rcosa,

（2）过Mo（xo,泗），倾斜角为a的直线/的参数方程为,.”为参数）.

j=yo十rsina

参数/的几何意义表示：直线/上以定点M）为起点，任一点M（x,y）为终点的有

向线段高H的数量.（）

尤=2cos6,

⑶方程一°为参数）表示以点（°，1）为圆心，以2为半径的圆.（）

j=1+2sin6

x^2cost,TT

（4）已知椭圆的参数方程彳Q为参数），点M在椭圆上，对应参数，=不

ly=4sintJ

点0为原点，则直线OM的斜率为小.（)

解析（4）当尸与n时，点M的坐标为（2cos三,4sin^,即M(l,24),；.0M的斜

3

率k=2小.

答案(1)V(2)V(3)V(4)X

教材衍化

x—3t,

2.（选修4-4P22例1改编）已知曲线C的参数方程为，,为参数)，点

ly=2/2+l

M（—6,a）在曲线。上，则。=

—6=3"t=~2,

解析由题意得

、a=2』+1,a=9.

答案9

x=2+

为

3.（选修4-4P26习题A4改编）在平面直角坐标系中，曲线C：<

y=i

参数）的普通方程为.

解析消去r,得x—y=l,spX—y—1=0.

答案x一厂1=0

考题体验

x=y[t,

4.（2014.湖北卷）已知曲线G的参数方程是<而Q为参数）.以坐标原点为极点,

尸3

x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是〃=2,则G与C2

交点的直角坐标为.

解析将曲线G的参数方程化为普通方程为丁=令。20）,将曲线C2的极坐标

xG20),,__i，故

方程化为直角坐标方程为x2+y2=4,联立3解得V

^+7=4,

曲线G与。2交点的直角坐标为（小，1）.

答案（小，1）

5.（2015・广东卷）在平面直角坐标系xOy中，以原点。为极点，x轴的正半轴为极

轴建立极坐标系.曲线。的极坐标方程为"（cos0+sin0）=-2,曲线。2的参数方

程为厂"为参数），则G与C2交点的直角坐标为________.

[y=2yl2t

解析曲线G：pcos夕+psin。=—2的直角坐标方程为无+>=—2,

曲线C2：[=2啦,的普通方程为寸=8尤

（x+y=—2,（x=2,

由彳2;解得彳,则Cl与。2交点的直角坐标为（2，-4）・

iy=8x〔尸一4,

答案（2,-4）

x=3cos6,

6.（2017.全国I卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为彳,八（。为

j=sin3

尤=a+4f,

参数），直线/的参数方程为,«为参数）.

⑴若a=—1,求。与/的交点坐标；

（2）若C上的点到/距离的最大值为4万，求a.

解（1）。=-1时，直线/的普通方程为x+4y—3=0.

曲线C的标准方程是在y2=],

21

x=3,

联立方程解得〔尸。或

24

J2124、

则C与/交点坐标是（3,°）和卜方25>

（2）直线I的普通方程是尤+4y—4—a=0.

设曲线C上点P（3cos0,sin0）.

13cos6+4sin。一4一|5sin（e+［）-4—a|

则/到/距离

d=V17Vn

3

其中tan8=疝

又点C到直线/距离的最大值为行,

所以|5sin(8+夕)一4—㈤的最大值为17.

若a20,则一5—4—a=-17,.,.61=8.

若a<0,则5—4—4=17,.,.a=-16.

综上，实数。的值为。=-16或a=8.

考点聚焦突破分类讲练，以例求法

考点一参数方程与普通方程的互化

【例1】将下列参数方程化为普通方程.

尸，

(in____«为参数)；

jc=2+sin20,

(2)〔尸T+c0s2〃为参数入

解⑴由尸一120=f21或后一l=>(KrWl或一lWx<0.

由11

〔尸牙一1②,

①式代入②式得普通方程为*+V=L

0<vWl,-1

其中宓

[0Wy<l〜【一1勺<0.

(2)由x=2+sin2aO^sin2^1^2^2+sin29W3=2WxW3,

x=2+sin2仇|x—2=sin2仇

y=—1+cos20[y=­1+1—2sin20

尤2，sin2§

.齐普通方程为2x+y—4=0(2WxW3).

(y=-2sinz23

规律方法消去参数的方法一般有三种

(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数.

(2)利用三角恒等式消去参数.

(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活地选用一些方法从整体上消去参数.

【训练1】(1)设呆=cosO,。为参数，求椭圆宜产+8型=1的参数方程.

(2)将下列参数方程化为普通方程.

,=g(e，+e"),

(i){“为参数)；

卜=]©—「)

x=2tan2^,

(iiX(。为参数).

、y=2tan6

X—1

解⑴把—cos0代入椭圆方程,

得至Ucos2。+二\2)=],

于是。+2)2=5(1—cos2e)=5sin20,即y+2=/sin3,

由参数。的任意性，可取y=-2+小sin。,

因此椭圆支产+立誓=1的参数方程为

x=1+小cos6,

(0为参数).

)=-2+小sin0

(2)(i)由参数方程得e'=x+y,e~'=x-y,

所以(x+y)(x—y)=l,得普通方程为f—f=L

(ii)因为曲线的参数方程为

x=2tan2。①，

八丁由y=2tan0,

[y=2tan6②，，

得tan。书,代入①得普通方程为尸2x.

考点二参数方程的应用

x=—3+yf^t,

【例2—1]已知椭圆C："十七=1，直线/：<(t为参数).

y=2y/3+t

(1)写出椭圆C的参数方程及直线/的普通方程;

(2)设A(l,0),若椭圆C上的点尸满足到点A的距离与到直线/的距离相等，求

点P的坐标.

x=2cos0,

解(1)椭圆C的参数方程为<厂(8为参数),

j=、3sin6

直线/的普通方程为x-V3y+9=0.

(2)设P(2cos。，小sin〃)，

则|AP|=d(2cos6-1"ginOp=2-cos仇

P到直线/的距离

|2cos。-3sin6+9\2cos8—3sin9+9

d=2=2-

由|AP|=d,得3sin9—4cos0=5,

34

Xsin2^+cos20=\,得sin9=5，cos^=­y

故dT啕

【例2一2](2018•全国H卷)在直角坐标系xQy中，曲线C的参数方程为

x=2cos8,x=1+rcosa,

(。为参数)，直线/的参数方程为.。为参数).

j=4sin9j=2十Zsma

⑴求C和/的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线/所得线段的中点坐标为(1,2),求/的斜率.

92

解(1)曲线C的直角坐标方程为5+需=1.

当cosaWO时，I的直角坐标方程为y=tana-x+2—tana,

当cosa=0时，/的直角坐标方程为x=l.

(2)将/的参数方程代入C的直角坐标方程，

整理得关于r的方程

(1+3cos2aji2+4(2cosa+sina)f—8=0.①

因为曲线C截直线/所得线段的中点(1,2)在。内，

所以①有两个解，设为力，d则九+亥=0.

4(2cosa+sina)

又由①得力

+t2=1+3cos2a

故2cosa+sina=0,于是直线l的斜率A=tana=-2.

【例2一3](2019.濮阳三模)在平面直角坐标系中，直线I的参数方程为

x=t+\,

”为参数)，以原点为极点，龙轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C

y=y)3t+l

的极坐标方程为。=瓷2co嬴s0》

(1)写出直线I的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；

⑵已知与直线/平行的直线厂过点M(2,0),且与曲线C交于A,8两点，试求

m.

解(1)直线/的参数方程可化为”为参数)，

消去t可得直线的普通方程为>=小。-1)+1,

x=pcos0,

又

y=psin0,

厂・直线I的极坐标方程为小pcos夕一psin。一小+1=0,

由"=］一cos28可得"山一cos20)=2pcos0,

...曲线C的直角坐标方程为y2=2x.

JT

(2)直线I的倾斜角为子

7E

•••直线/的倾斜角也为Q,

又直线「过点M(2,0),

1

x=2+]r,

直线/'的参数方程为《(「为参数),

y-21

将其代入曲线C的直角坐标方程可得3/2—4/—16=0,

设点A,B对应的参数分别为力，也，

由一元二次方程的根与系数的关系知

16,4

力+/2=§,

二|AB|=|6-6|=匹正产花豆=耳亘.

规律方法已知直线/经过点Mo(xo,yo),倾斜角为a,点y)为/上任意一

x=x()+fcosa,

点，则直线/的参数方程为彳,.(，为参数).

、y=yo+『sina

1.若Mi,M2是直线/上的两个点，对应的参数分别为九，5则也奇山林认尸

ki/2l,=\t2—t\\(z+n)2—4nz.

|A/TM2|22

2.若线段MM2的中点为M3,点M,M?,M3对应的参数分别为力，t2,t3,则

九+，2

3.若直线/上的线段M1M2的中点为M)(x(),yo),则0+殳=0,h/2<0.

易错警示在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该

直线倾斜角的正余弦值，否则参数不具备该几何意义.

【训练2】(2019•岳阳二模)已知曲线C的极坐标方程是/>=2cos。，若以极点为

平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，且取相同的单位长度建立平面直

f近」

x=2t+m,

角坐标系，则直线/的参数方程是1]。为参数).

y=2f

(1)求曲线C的直角坐标方程与直线/的普通方程；

(2)设点P(〃z,0),若直线/与曲线。交于A,B两点,且|必卜上用=1，求非负实

数m的值.

解(1)由x=pcos。，y=psin3,

曲线C的极坐标方程是p=2cos0,即p2=2pcos6,

得f+V=2x,即曲线C的直角坐标方程为(x—l>+y2=1,

f近4

x=2t+m,

由直线/的参数方程I]。为参数)，

可得其普通方程为xfy—m=0.

r工

(2)将J]。为参数)代入圆a—i)2+v=1，

可得杨一l)f+m2—2m—0,

由J=3(m—I)2-4(m2—2m)>0,可得一1<根<3,

由加为非负数，可得0W〃z<3.

设力，是方程的两根，则。/2=加2—2/77,

由陷卜|尸身=1,可得加一2加|=1,

解得〃2=1或1班,

因为0W/”V3,所以加=1或1+qi

考点三参数方程与极坐标方程的综合应用

x=tcosa,

【例3—1](2018.福州调研)在直角坐标系xOy中，曲线。：1(7为

j=rsina

参数，fWO),其中OWaV兀在以。为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲

线C2：p=2sin6,曲线C3：〃=2小