高中数学《指数幂及运算》导学案

第2课时指数幕及运算

卜课前自主预习

有理数指数鬲的运算性质

⑴①屋优=1X1罐+%。〉0,r,s£Q);

②(">=团贮(。>0,r,s£Q)；

③(ab)一囱这(a>0,h>0,reQ).

(2)无理数指数基aa(a>0,a是无理数)是一个确定的实数.有理

数指数幕的运算性质对于无理数指数幕同样⑷适用.

F自诊小测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)只要根式有意义，都能化成分数指数塞的形式.()

(2)分数指数塞Q错误!可以理解为错误!个a相乘.()

(3)0的任何指数事都等于0.()

答案(1)V(2)X(3)X

2.做一做

(1)处不化为分数指数幕为.

(2)若10。=5,10〃=9,则10“P=.

131

(3)(教材改编P54T3)若彳〉0,则(4+32)(2JC4一

3_

32)-4JT3,(J?—jr2)—.

答案(1)。错误！(2)错误！(3)—23

卜课堂互动探究

『释疑解难』

化简指数幕的一般原则和技巧

(1)在进行森和根式的化简时，一般原则是：先将负指数森化为正

指数森，将小数化为分数，将根式化为分数指数森，将底数(较大的整

数分解质因数)化成指数森的形式，再利用森的运算性质在系数、同底

数赛间进行运算，达到化简和求值的目的.

(2)化简指数幕的几个常用技巧如下：

①冏”=(加后。)；

-1n1

②Q=(Q方)'"，〃=(/)"(式子有意义)；

1[]

③1的代换，如1=「a,l=「等；

,1111

④乘法公式的常见变形，如(Q2+公)(。2—)=。—

1,11111211

b,(a-±b?)2o=a+2tz2b-+/>,(«-)(aT+

2

/)=a±6.

探究1利用指数幕的运算性质化简与求值

%例1(1)(0.064)一1一(一0.875)°+[(—2尸]一寺+

16-0-75+|-0.01|h

(2)化简：小4-1/a-7'.%/旦L3(a>0).

解

⑴原式=[(0.4尸]T—1+(—2)7+2-3+

[(0.1)2]Jo.4—1—1+上+:+0.1=臂.

16880

1a1Q-1「17

(2)原式=户X2•户XLG+”X(一丁)・

1、/1393.713八

tzTy=a'一百+不一不=a0=1

拓展提升

负数指数'零指数在计算中的注意事项

⑴负数指数化成正数指数.

（2）注意计算的顺序.

【跟踪训练11计算或化简下列各式（其中式子中的字母均为正

⑴（/•"）一3・，6—4

（2）E（0.027卷）—L5]++「810・25—（-32）66-0.02x

解

(1)原式=(/.后)—3+[/厂4・Q—2)十心=

31Q1

T2-2TT+T2+2x

a~•b~+(6•a~)=a~•b~=a~•

60=—.

3X(-y)XyXy

-(/811T+,323T_-io2ox

100)2

化简：（1）X史"J匹_9Q,b>0）；

。例2

_6

(a了b工6•

a

(2),6—个3需+j0.0625+[(0.0643)t；,「-7co.

解

3

b•[(/C)口1芽1

原式

(1)=c1

311

a2b•a6b3

j__L1

⑵原式=(学『—管『+(625\4,

10000/

12

64^x(-2.5)x-_5_3工12\i

Toooli―2T+T+\T/-1=3.

拓展提升

指数鬲的一般运算步骤

有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数嘉化为正指

数箱的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，

底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用寨的形式表示，便

于利用指数累的运算性质.

【跟踪训练2】(1)化简：(,)3X(-y)°+80-25X72

+(^2XV3)6；

_2_J_

(2)化简：——-----।———(T>0,J/>0).

(一针7")(一石"户)

解

⑴原式=8(-DX1)X1+(23)+X2^+(2^)6X

131

T+T23

(3T)6=2+2+2X3=112.

_2__1_

(2)----------SI；--------=5X(-4)X

(-W1—1/彳)(一至无耳»一瓦)

(一寺)义彳(一，)一"1)一+xyT-i-(-i)=24z°«=

24y不.

探究2条件求值问题

11

2例3已知j+「2=3,求下列各式的值：

33

y——T

(DQ+Q—I；(2)a2+a~2；(3)^~~

a2-a~2

解

111

(1)将户+。一彳=3两边平方，得a+a—+2=

9,所以a+qT=7.

(2)对(1)中的式子两边平方，得/+〃—2+2=49,所

以/+「2=47.

3311-11

22_(022)•2•~~2)

a—「一(Q+Q+。a

(3)V-_±X_i_

a~一a2a2—a2

=a+/1+1=8.

拓展提升

解决条件求值问题的一般方法——整体代入法

对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求

值.但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当

地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入

法”巧妙地求出代数式的值.

利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(。＞。,。〉0)：

_L±,_Lo

(1)Q士2Q2〃2+〃=(Q2士〃2)-；

1111

(2)a—b={a2+62)(a2—b2)；

331111

(3)«2+〃=(a2+〃2)(Q-a?[)2+〃)；

331111

(4)ti2—b2—(a2—b2)(a+a2b2+6).

【跟踪训练3](1)已知i+了=12,盯/=9,且求

才;一。;的值;

2

3C+/2

11_|_i

(2)已知不2+1-2=5,求匚^的值.

X

±±±±9

/_,、..]2—»2_(12一,2)一

(])•-±Z±ZTT-

22+/2(卫2+)2)(12-y2)

X

2

JCJ—2(iy)

=_(+/),

jc-y

又*'JC+12,xy=9,

：.(7一丁)2=(7+»)2—473/=122—4X9=108.

=

VJC—y1③

±±工L

将②③式代入①式，得耳二4="二军]=一§.

产+"-6733

111

(2)由/2+1—2=5,两边同时平方得1+2+1—=25,

72I1

整理，得JT+JT-1=23,则有一^=1+忆—1=23.

I澳堂提济I

根式与分数指数幕运算应注意的问题

(1)指数幕的一般运算步骤一定要遵循有括号，负数指数幕，底

数是负数、小数、带分数的转化方法.

(2)根式一般先转化成分数指数幕，然后再利用有理数指数幕的

运算性质进行运算，在将根式化为分数指数嘉的过程中，一般采用

由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.

(3)对于含有字母的化简求值结果，一般用分数指数塞的形式表

1.赤.炉工等于()

A.一"\J—aB.—y[aC.\j—aD.\[a

答案A

解析

=—(~a)~=­，一a.

2.(射।的值是

vO17

答案B

3.计算（2。-36一■!）・（一3。-16）+（4〃-46一年）（。70"力0）,

得（）

A.B.-1-62C.^-b3D.-1-63

乙J乙乙

答案A

解析

原式=[2X（_3）+4]Xa—3—1+4.6_y2+1+了5=

4.化简（小+/产8.（表一也）239=.

答案小一也

解析（小+啦产18.（小一啦）2。19=［（小+啦）（小—啦）］2。18.（.

一啦）=12。电（妻一娘尸小一也.

5.计算或化简下列各式：

（1）（冠X遮）6-4（!|）T-72X80-25+

（-2018）0；

2_X_工±

•I））?•a-•I/

\LiJe・

•If

解

⑴原式=(2亍1X3彳1”八+(2彳1

2/X⑵/+1=22X33+2-7-2+1=102.

_x£_xx

ZJ3•A-•zi-•/)3

(2)原式=9--------\\———

a6,66

1111,15

a--3--2~T.+T=_

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一'选择题

1.若。＞0"〉0,相，〃都是有理数，则下列各式不成立的是()

答案c

解析由分数指数基的运算性质，可知C不成立.

3

2.若(1—2外一了有意义，则7的取值范围是()

A.(—OO,H-OO)

B.(-OOl)u(y,+oo)

C.(；,+8)

答案D

311

解析后三方2

3.设。＞0,将7=2=表示成分数指数塞，其结果是

4・斤

(

1573

A.aJB.afiC.a6D.a-

答案C

解析

a2a2a八2a,2a2

4.设2"=5"=根，且:+(=2,则相等于()

A，ViOB.10C.20D.100

答案A

解析

,ii

：2"=m,5"=，2=5=相方,•・•2义5=

xxx.Xo,--

加丁,mT=加了十石,，nr=10,m—vlO.故选A.

2]i

5.设0/一。一次=〃2,则人土=()

a

A.—2B.2—j?rC.ITT+2D.m1

答案C

解析

J2LX.1I.±oo

将a—a~-=m平方得(a?一。一？)2=根2,即a

—2+a-1=〃i'2，所以Q+Q-I=/M+2,即——rn2+

滔+1

2=-----=12+2.

a

二、填空题

6.若丁=(3z—2)，+(2—3JC)~+*有意义，则实数7,)

分别为，.

宏安2逅

口木32

解析

»=(3z-2)++(2-3z)++曰=，3--2+

壬+够，要使式子有意义必须有12：0'解得

乙12—37/0,

2_展

7.若10工=3一+,10》=侬,则1。2"一，=.

答案3

解析