基于问题解决的初中数学课堂教学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在继承原有“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）和“四能”（发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力）的基础上，聚焦于培养学生的核心素养，这为基于问题解决的初中数学课堂教学提供了新的思路。教师作为教学活动的组织者、引导者，应该以核心素养为导向，以培养学生的问题解决能力为出发点和落脚点，结合学生的身心发展规律、学习认知规律，积极探究课堂教学新路径。“相似三角形”是初中数学中一个非常重要的概念，它在几何学中有着广泛的应用。在人教版初中数学教材中，相似三角形被安排在第二十七章“相似”中，是这一章的核心内容之一。相似三角形的判定和性质是本节课的重点，如两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例等，这些判定方法都是通过一定的条件来判断两个三角形是否相似。同时，相似三角形还具有一些重要的性质，如对应角相等、对应边成比例等。本节教材内容丰富、结构清晰，教师应该结合教学内容的重点和难点，以问题解决为主要线索，构建高品质数学课堂，帮助学生理解和掌握相似三角形的基础知识和应用技巧，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力等，为学生今后的数学学习打下坚实的基础。一、启疑——引入问题与创设情境教师：同学们，今天我们要学习一个新的知识点——相似三角形。在开始之前，请大家先观察两张图片。（PPT出示两张相似的三角形图片，即△ABC和△A′B′C′）教师：大家有没有发现这两张图片中的三角形有什么共同点呢？学生：这两个三角形的形状好像差不多。教师：很好，有同学说这两个三角形的形状差不多，大家再仔细观察一下，还有什么发现吗？学生：我发现这两个三角形中的角也是对应的，如△ABC和△A′B′C′中的角A和角A′，角B和角B′，角C和角C′，它们都是对应相等的。教师：这位同学说得很对，这两个三角形中的对应角是相等的，那么我们能不能说这两个三角形是相似的呢？学生：老师，我觉得可以这么说，因为它们的对应角相等，而且形状也差不多。教师：很好，这位同学的想法很有道理，那么我们就给这两个三角形取个名字，叫做相似三角形。现在请大家根据刚才的观察和讨论，总结一下相似三角形的定义。学生：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。教师：这位同学总结得非常好。二、质疑——引导学生主动探究教师：同学们，接下来，我们要来学习判定三角形相似的方法。大家先想象一下，如果我们想要判断两个三角形是否相似，可以从哪些方面来考虑呢？学生：我觉得可以从边和角来考虑。如果两个三角形的边成一定比例，或者有相同大小的角，那么它们可能就是相似的。教师：这位同学提出了一个很好的思路，那么我们今天就来探讨一下，如何从边和角的角度来判定三角形的相似。请同学们先讨论，然后提出看法。（学生积极交流、讨论，踊跃发言）教师：同学们讨论出什么结论了呢？学生：如果有两个三角形，它们有两条边的长度成一定比例，并且夹角也相等，那么这两个三角形就是相似的。教师：不错。那么还有谁能说一说其他方法呢？学生：我发现如果有两个三角形，它们两角分别对应相等，又或者三个角分别对应相等，那么这两个三角形相似。教师：很好。接下来，还有谁来说一说新的发现？学生：我发现可以根据三角形的三条边的情况进行判定。若两个三角形的三条边成一定比例，则这两个三角形相似。例如，△ABC和△A′B′C′，它们所对应的边分别为4cm、7cm、9cm和8cm、14cm、18cm，则△ABC和△A′B′C′是相似的。教师：是的，这种判断方法非常简单。学生：老师，我还发现如果平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。教师：没错，这是平行线判定定理，是很多同学会忽略的一个点，看来你观察得非常仔细。那么，相似三角形的判定还有没有第五种方法呢？学生：如果有两个直角三角形，它们的斜边成一定比例，且相同的斜边所对应的直角边长度也成一定比例，那么这两个直角三角形就是相似的。判定的关键点在于了解两个直角三角形的斜边和直角边。教师：非常棒。你们能举例说明吗？学生：假设我们有两个直角三角形，Rt△ABC和Rt△A′B′C′，Rt△ABC的斜边长度为5cm，它的一条直角边长度为3cm；Rt△A′B′C′的斜边长度也为10cm，它的一条直角边长度也为6cm，那么Rt△ABC和Rt△A′B′C′就是相似的三角形。教师：很好。这就是我们今天学习的五种判定三角形相似的方法。大家有没有什么疑问？（教师借助多媒体展示总结表，见表1）三、解疑——实践操作与问题解决教师：同学们，我们来看一个实例，请大家仔细观察图1，并思考以下几个问题：问题1：图1中的两个三角形是否相似？为什么？问题2：如果这两个三角形相似，那么它们的相似比是多少？问题3：如果这两个三角形的相似比是2∶1，那么它们的周长之比是多少？（学生独立思考，然后回答）学生：这两个三角形是相似的，因为第一个三角形的两个角和一条边的长度与第二个三角形的对应角和边长度相等。学生：这两个三角形的相似比是2∶1，因为第一个三角形的两个角和一条边的长度分别是第二个三角形的对应角和边长度的两倍。学生：如果这两个三角形的相似比是2∶1，那么它们的周长之比也是2∶1，因为相似三角形的对应边成比例。教师：非常好，看来大家对相似三角形的定义、判定方法和性质掌握得不错。现在，我将大家分成多个小组，以小组为单位，请大家根据所学知识，通过合作、分工，共同探讨相似三角形的问题，并在规定时间内完成。例题1：如图2，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD、BC上的点，且EF∥CD，G则是边AD延长线上一点，连接了BG，那么图2中有几个三角形与△ABG相似，分别是哪几个三角形？（学生以小组为单位进行合作探究，教师巡视并给予指导）教师：好，时间到。同学们，经过刚才的小组合作探究，相信大家对寻找相似三角形有了更深入的理解。那么，哪位同学愿意先来分享一下你们的讨论成果呢？学生：老师，我们小组在讨论中发现，△GDM与△GAB相似，因为这两个三角形有一个共同的角G，而由于DM与AB平行，所以两个三角形的边长GA与GD、GB与GM之间存在比例关系，所以根据“平行线判定定理”，可以判定这两个三角形相似。同样，EN与AB平行，我们得出△GEN与△GAB相似。学生：我们小组在讨论中发现了其他平行线段，由于DM与EN平行，所以我们得出△GDM与△GEN相似。教师：非常好！你们已经熟练地应用了“平行线判定定理”来寻找相似三角形。那么，与△ABG相似的三角形一共有多少个呢？学生：根据我们的讨论，与△ABG相似的三角形一共有4个。教师：非常棒！你们的探究非常深入。看来大家都掌握了寻找相似三角形的方法。四、回顾——课后总结与作业布置教师：同学们，接下来，我们来回顾一下本节课所学内容。谁来总结一下？学生：首先，我们学习了相似三角形的定义，即对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。学生：我们学习了相似三角形的判定方法，一共有五种，包括：平行线判定定理、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例、两角对应相等、直角三角形相似判定定理。学生：我们学习了相似三角形的性质，包括对应边成比例等。学生：我们利用相似三角形的性质解决了实际的问题。教师：没错，这就是我们今天所学的重要知识。接下来，请大家完成课后练习题，并尝试解决以下问题：作业1：完成课本相关练习题。作业2：已知两个相似三角形，其中第一个三角形的两边长分别为6cm和8cm，第二个三角形所对应的两边长分别为18cm和24cm。求它们的相似比。作业3：在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE平行于BC，且BD∶AD=3∶2，那么△ABC与△ADE的周长之比是多少？在此次教学中，我主要设计了启疑、质疑、解疑、回顾等多个环节，教学过程的设计非常合理。在启疑环节，我通过展示两张相似的三角形图片，引导学生观察并发现它们的共同点。这个环节的教学效果较好，但在引导学生观察时，我应该适当提出一些更具启发性的问题，如“这两个三角形的边长有什么关系？”等，以帮助学生更全面地观察和思考。在质疑环节中，我通过提问引导学生从边和角的角度思考如何判断两个三角形是否相似。学生在讨论中提出了五种判定方法。在解疑环节中，我通过实际问题，引导学生运用所学知识进行解答。学生在独立思考后，能够正确判断两个三角形是否相似，以及它们的相似比等。然后，我