新教材2021秋高中数学苏教版必修第一册学案：2 .3 .2全称量词命题与存在量词命题的否定

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2.3.2全称量词命题与存在量词命题的否

课程1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定

标准2.能正确使用全称易词对存在量同命题进行否定

》基础认知•自主学习《

概念认知

1.全称量词命题与存在量词命题的否定

原命题否定

VxGM,p(x)mx£M,中(x)

3xGM,p(x)Vx£M,冲⑺

注：，(x)”是对语句“p(x)”的否定

2.命题与其否定的真假关系

对一个命题进行否定，就得到了一个新的命题.这两个命题的关系是

“一真一假”或“此假彼真”.

自我小测

1.命题p："VxGR,x2+2x+1>0”的否定是()

AVxGR,x2+2x+l<0

B.3xGR，使得x2+2x+l<0

C.mx£R，使得x2+2x+l>0

D.3xGR，使x?+2x+l<0

选B.由全称量词命题的否定为存在量词命题，可得命题p:"VxGR,

x2+2x+1>0”的否定是Tx£R,使得x2+2x+1<0,?.

2.3m,nGZ，使得m?=产+2020的否定是（）

A.Vm,n£Z,使得m2=n2+2020

B.mm,n£Z,使得m7n2+2020

C.Vm,nGZ,者B有m2^n2+2020

D.以上都不对

选C.这是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题，形式是：Vm,

nGZ,都有mW+2020.

3.命题“VxGN,x2>l”的否定为（）

A.VxGN,x2<lB.3xGN,x2<l

C.VxEN,x2<lD.3xGN,x2<l

选B.因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以，命题“VxEN,

x2>l”的否定为叼xEN,x2<l,5.

4.命题TxGR,x2+2x+3=0”的否定是_______.

因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题TxGR,x2+

2x+3=0”的否定是“VxGR,x2+2x+3网”.

答案：VxER,x2+2x+3#0

5.命题“Vx£R,|x-2|+|x-4|>3"的否定是________.

全称量词命题的否定是存在量词命题,全称量词“任意”改为存在量词

“存在"并把结论否定.

答案：3xER，使得|x-2|+|x-4|<3

6.命题“三x£Q*=5"的否定是________，该命题的否定是_________

命题.(康真"或“假”)

FxGQ*=5"的否定是“xGQ*却”因为由x2=5解得x=±^

尬,所以该命题的否定是真命题.

答案：VX£Q,X2R5真

7.设集合A={1,2,4,6,8,10,12},试写出下列命题的否定,

并判断其真假：

(l)p:VnGA,n<12.

(2)q：3x£{x|x是奇数},xGA.

(l)-p:2nGA,n>12.

因为当n=12时，-p成立，所以-p是真命题.

(2)-q:Vx£{x|x是奇数},x《A.

-q是假命题.

除学情诊断•课时测评《

基础全面练

一、单选题

1.(2021・淮安高一检测)命题“Vx£[0,+8)4+xNO”的否定是()

A.VXG(-OO,0),X3+X<0

B.VXG(-OO,0),X3+X>0

C.2xG[0,+oo),x3+x<0

D.2xG[O,+oo),x3+x>0

选C.全称量词命题的否定是存在量词命题.否定形式为mxG[O,+

oo),x3+x<0.

2.命题石xE(O,+8),x+JN3”的否定是()

A.

A.2xG(O,+oo),x+-<3

X

B.2xG(O,+oo),x+-<3

X

C.VxG(O,+oo),x+-<3

X

D.VxG(O,+oo),x+~<3

X

选C.命题Tx£(0,+8),x+JN3”的否定是：否定存在量词和结论,

故为：vxE(O,+8),x+J<3.

X.

3.命题“VxEZ,x£R”的否定是（）

A.VxGZ,xCRB.3xEZ,xER

C.VxqZ,xqRD.3xEZ,xCR

选D.全称量词命题的否定是存在量词命题,所以“VxEZ,x£R”的

否定是三x£Z,x《R.

4.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（）

A.VxGR,|x|>0B.3xGR,|x|>0

C.VxER,|x|<oD.axGR,|x|<0

选c.“有些实数的绝对值是正数”的否定是“VxER,|x|或”.

5.设命题p:所有高一学子学习态度都是认真的，则p的否定为（）

A.所有高一学子学习态度都是不认真的

B.有的高一学子学习态度是认真的

C.有的高一学子学习态度是不认真的

D.学习态度认真的不都是高一学子

选C.命题p为全称量词命题，则p的否定是存在量词命题,即有的

高一学子学习态度是不认真的.

6.下列全称量词命题的否定是假命题的个数是（）

①所有能被3整除的数都能被6整除；

②所有实数的绝对值是正数；

③三角形的外角至少有两个钝角.

A.0B.1C.2D.3

选B.①该命题的否定：存在能被3整除的数不能被6整除”如3是能

被3整除，不能被6整除的数，这是一个真命题；②该命题的否定：

3x=OGR,|0|=0,不是正数，这是一个真命题；③该命题的否定：

存在一个三角形，其外角最多有一个钝角，这是一个假命题.

二、多选题

7.对下列命题的否定说法正确的是（）

A.p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数

不是偶数

B.p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形

C.p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三

角形

D.p：3nGN,n2<100；p的否定：VnGN,n2>100

选ABD.A,B,D的说法正确；C的说法错误,选项C中命题的否定：

所有的三角形都不是正三角形.

8.下列命题的否定正确的是（）

A.存在一个实数，使-2x2+x-4=0

B.Vn£N*,2n2+5n+2能被2整除

c.存在偶数2n是7的倍数

D.任意两个无理数的和是无理数

选ABD.因为A=1-4x(-2)x(-4)=-31<0,故方程-2x?+x-4=

0无解,故A存在一个实数，使-2x2+x-4=0,错误，其否定正确；

当n=1时2n2+5n+2不能被2整除B错误其否定正确28=2x14,

故存在偶数2n是7的倍数，故C正确，其否定错误；无理数也与1

-理的和是1,是有理数，故D错误，其否定正确.

三、填空题

9.命题TxGR,x>2"的否定是_______.

因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以，命题xGR,x

>2”的否定是：VxGR,x<2.

答案：VxER,x<2

II

命题Tx>-1,x2+x-2019>0”的否定是_______.

该命题的否定是“Vx>-1,x2+x-201900”.

答案：Vx>-1,x2+x-2019<0

10.若命题Tx<2021,x>a”是假命题，则实数a的取值范围是

由于命题Tx<2021,x>a”是假命题,因此其否定“Vx<2021,

xSa”是真命题，所以a>2021.

答案：a>2021

四、解答题

11.写出下列命题的否定，并判断其真假：

(l)p:VxGR,x2-x+1>0；

(2)q:所有的正方形都是矩形；

(3)r：3xGR,x2+3x+7<0；

(4)s：至少有一个实数x,使x3+1=0.

1i(1}2

(l)-p:2xGR,x2-x+<0.因为VxGR,x2-x+=lx-2I>0

恒成立，所以-p是假命题.

(2)-q:至少存在一个正方形不是矩形，是假命题.

(3)寸：VxGR,x2+3x+7〉0.因为VxGR,x?+3x+7=[x+*+

19

y>0恒成立，所以寸是真命题.

(4)-s：VxER,x3+1声0.因为当x=-1时，x3+1=0,所以-s是假命

题.

12.写出下列命题的否定，并判断其真假.

(1)不论m取何实数,方程X?+x-m=0必有实数根；

(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；

⑶某些梯形的对角线互相平分.

⑴其否定是：存在实数m，使得方程x2+x-m=0没有实根,是真

命题；

⑵其否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命

题；

（3）其否定是：所有梯形的对角线都不互相平分，是真命题.

综合突破练

一、选择题

1.（2021.南京高一检测）命题TmER，使方程x2+mx+l=0有实数

根”的否定是（）

A.3mGR，使方程x2+mx+1=0无实数根

B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根

C.VmER，使方程x2+mx+1=0无实数根

D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根

选C存在量词命题的否定是全称量词命题.一方面要改量词即"三”

改为“V”；另一方面要否定结论即“有实数根”改为“无实数根”.

2.已知命题p:3xG{x|l<x<3},x-a>0；若-p是真命题,贝U实数

a的取值范围是（）

A.a<1B.a>3

C.a<3D.a>3

选D.-p是真命题，所以p是假命题；

所以mxE{x|l<x<3},x-a>0无解；

所以当1<x<3时，a<x不成立，所以a>3.

3.下列命题：⑴没有男生爰踢足球；⑵所有男生都不爰踢足球；(3)

至少有一个男生不爱踢足球；(4)所有女生都爰踢足球；

其中是命题“所有男生都爰踢足球”的否定的是()

A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)

选C.只要有一个男生不爰踢足球，就不能说所有的男生都爰踢足球；

所以命题“所有男生都爰踢足球”的否定是“至少有一个男生不爱踢足

球，.

二、填空题

4.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”，用符号表示为

此命题的否定是_______是_______命题(填“真”或"假").

此命题用符号表小为三x,yGR,X+y>1,此命题的否定是Vx,yGR,

x+y<l,

原命题为真命题，所以它的否定为假命题.

答案：mx,y£R,x+y>1Vx,yER,x+y<l假

5.命题”对于任意三个正数a,b,c,三个数a+(,b+1,c+；中

UCd

至少有一个不小于2”的否定是

该命题的否定：存在三个正数a,b,c,三个数a+1,b+7,c+1

UCd

全小于2.

答案：存在三个正数a,b,c,三个数a+r,b+1,c+1全小于2

DCd.

三、解答题

6.写出下列命题的否定，并判断真假：

⑴被8整除的数能被4整除；

11_

(2)Vx£Q,§x?+]x+1是有理数；

(3)3xER,x2+2x+3<0.

⑴该命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，这是

一个假命题.

(2)该命题的否定：3xEQ,1x2+1x+1

不是有理数，这是一个假命题.

(3)该命题的否定：VxER,x2+2x+3>0.

因为VxGR,x2+2x+3=(x+l)2+2>2>0恒成立，所以这是一个真

命题.

—”肺素养培优练o

(60分钟90分)

一、选择题(每小题5分，共45分，多选题全部选对的得5分，选对

但不全的得3分，有选错的得0分）

1.（2021•苏州高一检测）命题“VxER,3n£N*,使得应x?”的否定

形式是（）

A.VxGR,3n£N*，使得n<x2

B.VxGR,Vn£N*,使得n<x2

c.axGR,an£N*,使得n<x2

D.3xGR,Vn£N*,使得n<x2

选D.全称量词命题的否定是存在量词命题.命题否定时V改为三,

3改为V,nN?改为nvx?.

2.命题“Vx>l,F>1”的否定是（）

A.2x>l,<1B.Vx>l,正<1

C.2x<l,y[x<1D.Vx<l,-\[x<1

选A.命题Vx>l,-\/x>1,为全称量词命题,其否定为存在量词命题,

故其否定为mx>l,<1.

3.命题“已知y=|x|-1,VxGR都有mgy”是真命题，则实数m的

取值范围是（）

A.m>-1B.m>-1

C.m<-1D.m<-1

选C.由已知y=|x|-1,得yN-1,要使Vx£R,都有m<y成立，只

需mg-1.

4.命题TXECRQ,x3£Q”的否定是（）

A.aXGCRQ,x3^QB.aX田RQ,X3EQ

C.VX由RQ,x3^QD.VXECRQ,x3^Q

选D.因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题TXGCRQ,

XECRQ,x34Q”.

5.（2021.沙市高一检测）下列说法中，正确的是（）

A.VxGR,1-x2<0

B."x>2且y>3”是“x+y>5”的充要条件

C.3XGQ,X2=2

D.“x=2”的一个必要不充分条件是以2-2x=0”

选D.A错误，VxGR,1-x2<1；

B错误，当x=1,y=5时,x+y>5，但是x<2，所以“x+y>5"=/"x>2

且y>3”;

c错误，由x2=2得X=±^2,所以不存在平方等于2的有理数；

D正确,ux2-2x=0"Qx=2或x=0,所以'52-2x=0"是"x=2”的必

要不充分条件.

6命题Tx>0,x+a-1=0”是假命题厕实数a的取值范围是（）

A.|a|a<1}B.{a|a<l}

C.{a|a>1}D.{a|a>l}

选D.命题Tx>O,x+a-l=0”是假命题,所以此命题的否定为“Vx

>0,x+a-1R0”,即Vx>0,x^l-a.所以1-a<0,即aNl.所以实数

a的取值范围是{a|aNl}.

7.（多选）下列语句是存在量词命题的是（）

A.所有无理数的平方都是有理数

B.有的无理数的平方不是有理数

C.对于任意nGN,2n-1是奇数

D.存在n£N,2n+l是偶数

选BD.因为“所有”“任意”为全称量词，所以选项A,C为全称量词命

题「'有的”“存在”为存在量词，所以选项B,D为存在量词命题.

8.（多选）在下列命题中，为真命题的是（）

A.3xGR,x2+x+3=O

B.VxEQ,|x2+|x+1是有理数

C.2x,yGZ，使3x-2y=10

D.VxGR,x2>|x|

（八2ii

选BC.A中，x2+x+3=[x+]J+y>0,故A是假命题；

B中，X£Q,；X2+；X+1一定是有理数，故B是真命题；

C中，x=4,y=l时，3x-2y=10成立，故C是真命题；

D中，当x=0时，左边二右边二0,故D为假命题.

9.（多选）（2021.无锡高一检测）命题“已知y二|x|-1,当mEA时,

VxGR都有m<y恒成立"，则集合A可以是（）

A.[-1,+oo）B.（-oo,-1]

C.（-1,+oo）D.（-oo,-1）

选BD.由已知y=冈-1,得yN-1,要使VxER,都有m<y成立，

只需mg-1,由于选项D为选项B的子集.故选BD.

二、填空题（每小题5分，共15分）

10.若命题TxGR,2x2+3x+agO”是假命题，则实数a的取值范围

是________•

因为命题TxGR,2x2+3x+aSO”是假命题，所以其否定“xGR,

2x2+3x+a>0”是真命题，等价于方程2x2+3x+a=0无实根，所以A

9

2

=3-4x2xa<0,解得a>so.

答案:{a|a>|j

11.命题p•3x£R,x?+2x+5<0是_______（填"全称量词命题”或

“存在量词命题”），它是__________（填“真”或"假"）命题,-p:_________

它是________（填嗔"或假'）命题.

命题p:3xGR,x2+2x+5<0是存在量词命题.

因为x2+2x+5=(x+I)2+4>0怛成立，所以命题p是假命题.

-p:VxER,x2+2x+5>0是真命题.

答案：存在量词命题假VxGR,x2+2x+5>0真

12.根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为

13+23=(1+2)2,

13+23+33=(1+2+3)2,

13+23+33+43=(1+2+3+4)2,

I3+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2,

根据已知等式可得，

对于任意n£?4*且n>2，总有l3+23+33+...+n3=(1+2+3+...+

n)2,

所以得到如下全称量词命题：Vn£N*且nN2,

l3+23+33+...+n3=(l+2+3+...+n)2.

答案：Vn£N*且nN2,I3+23+33+...+n3=(1+2+3+...+n)2

三、解答题(每小题10分