初三数学广角奥数题

数学广角奥数题

有五袋零件，每带五个。其中有一袋是次品，其余四袋合格。合格的零件每个重10克，次品

重9.5克。请你用称只称一次，就能找到那带次品。

把五袋编好号1、2、3、4、5

从第1袋取1个零件

从第2袋取2个零件

从第3袋取3个零件

从第4袋取4个零件

从第5袋取5个零件

称这15个零件的质量为mg

(15*10g-mg)/(10g-9.5g)=该15个零件中次品的个数

对应出哪袋是次品

最佳答案

1.分3份，选两堆一起称，哪头轻次品就在哪堆里；如果一样轻，次品就在剩下的那堆里。

2.再分3份，选两堆一起称，哪头轻次品就在哪堆里；如果一样轻，次品就在剩下的那堆里。

3.再再分3份选两堆一起称，哪头轻次品就在哪堆里；如果一样轻，次品就在剩下的那堆里。

4.再再再分3份，选两堆一起称，哪头轻次品就在哪堆里；如果一样轻，次品就在剩下的那

堆里。

算数字

a,b,c是1〜9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是(a+b+c)

的多少倍？

解答：用a,b,c组成的六个不同数字是

abc,acb,bac,bca,cab,cba。,

abc+acb+bac+bca+cab+cba

=100X(a+a+b+b+c+c)=100X(a+a+b+b+c+c)

10X(b+c+a+c+a+b)+(c+b+c+a+b+a)

—200X(a+b+c)+20X(a+b+c)+2*(a+b+c)

=222X(a+b+c)♦

这六个数的和等于将六个数的百位、十

位、个位分别相加，得到~

所以，六个数的和是(樨。的222倍…

解方程

求不定方程5x+3y=68的所有整数解。

解答：容易看出，当y=l时，x=(68-3X1)4-5=13,即x=13,y=l是一个解。

因为x=13,y=l是一个解，当x减小3,y增大5时，5x减少15,3y增大15,方程仍然成立,

所以对于x=13,y=l,x每减小3,y每增大5,仍然是解。方程的所有整数解有5个：

x=13,x=10,jx=7,x=4,x=l,

《

'y=i；y=6；y=11；y=16；y=20°

只要找到不定方程的一个解，其余解可通过对这个解的加、减一定数值得到。限于我们学到

的知识，寻找第一个解的方法更多的要依赖〃拼凑〃

分房间

学校要安排66名新生住宿，小房间可以住4人，大房间可以住7人，需要多少间大、小

房间，才能正好将66名新生安排下？

解答：设需要大房间x间，小房间y间，则有7x+4y=66。

这个方程有两个未知数，我们没有学过它的解法，但由4y和66都是偶数，推知7x也是

偶数，从而x是偶数。

当x=2时，由7X2+4y=66解得y=13,所以x=2,y=13是一个解。

因为当x增大4,y减小7时，7x增大28,4y减小28,所以对于方程的一个解x=2,y=13,

当x增大4,y减小7时，仍然是方程的解，即x=2+4=6,y=13-7=6也是一个解。

所以本题安排2个大房间、13个小房间或6个大房间、6个小房间都可以。

自然数问题

在10000以内，除以3余2,除以7余3,除以11余4的数有几个？

解答:满足”除以3余2”的数有5,8,11,14,17,20,23,…

再满足“除以7余3”的数有17,38,59,80,101,•••

再满足”除以11余4〃的数有59o

因为阳[3,7,11]=231,所以符合题意的数是以59为首项，公差是231的等差数列。

(10000-59)4-231=43……8,所以在10000以内符合题意的数共有44个。

汽车进站

A、B是公共汽车的两个车站，从A站到B站是上坡路.每天上午8点到11点从A,B两

站每隔30分同时相向发出一辆公共汽车.已知从A站到B站单程需105分，从B站到A站单

程需80分.问：⑴8:30、9:00从A站发车的司机分别能看到几辆从B站开来的汽车？

⑵从A站发车的司机最少能看到几辆从B站开来的汽车？

解答：方法一：⑴从A站发车的司机看到的车辆包括两类，一类是他自己发车以前，已经从

B站出发但还没到达A站的所有车辆，也就是发车前80分钟内B站所发的所有车辆、第二类

是他发车以后到他抵达B站这段时间内从B站发出的所有车辆，即发车后105分钟内从B站

开出的所有车辆.也就是说在A站车辆出发前80分钟到出发后105分钟之间185分钟时间区

间，B站发出的车，该司机都能看到.实际上这185分钟中，只有发车前60分、发车前30分、

发车当时、发车后30分、发车后60分、发车后90分，有车辆从B站开出，所以8：30从A

站发车的司机能看到8：00到10：00从B站发出的5辆车，而9:00从A站发车的司机能看

到8：00到10：30从B站发出的6辆车.

（2）11点从A发车的司机只能看到11点前从B站开出但尚未到达A站的车，即10：00.10：3

0、11：00从B站开出的3辆车。

方法二:

⑴我们画时间路线图，通过看图发现从8：30出发的车所走路线与从B站发车路线有5个交

点，所以8：30从A站发车的司机能看到8：00到10：00从B站发出的5辆车，同理9：00

从A站发车的司机能看到8：00到10：30从B站发出的6辆车.

⑵11点从A发车的司机只能看到11点前从B站开出但尚未到达A站的车，即10：00、10：3

0、11：00从B站开出的3辆车。

小结：时间路线图是解决发车问题常用的方法，也是最直观的方法。

牛吃草

如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样

速度均匀生长.牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光（在这2

天内其他草地的草正常生长）.之后他让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草地吃草，6

天后又将两个草地的草吃光.然后牧民把1/3的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外2/3的

牛放在④号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完.那么如果一开始就让这群牛在

整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？

解答：方法二；设这群牛1天的吃草量为

“1”，那么有：.

①号草地原有草量+①号草地2天新生长的

草量=2

②、③两号草地原有草量+②、③两号草地

8天新生长的草量=6……⑵”

（2）+2-①得：每号草地每天新生长的草量

=1；代入⑴得：每号草地原有草量=？.♦

63

又因为，［的牛放在阴影部分的草她中吃

草，另外金的牛放在④号草地吃草，它们同

时吃完.所以，阴哥部分面积=④号草地面

积X?.于是，整个正方形草地原有草量为

?x4?=晓，每天新生长的草量为

322

1x41=2.让这群牛在整块草地上吃草，

624

可以吃：孩+（1-习=30（天）.2

方法二：设牧民有6头牛，1头牛1周的吃

草量为“1”，①号草地生长速度为

（3x6-2x6）+6=l,原有草量为

2x（6-l）=10,因为大正方形的面积是①号

草地面积的4.5黄，所以正方形草地草的生

长速度是4.5,原有草量是45,所以所求时

液体之比

在编号为1、2、3的三个相同的杯子里，分别盛着半杯水.1号杯中溶有100克

糖，3号杯中溶有100克盐.先将1号杯中液体的一半及3号杯中液体的1倒人2号

4

杯，然后搅匀.再从2号杯倒出所盛液体的2三到1号杯，接着倒出所余液体的12到3

77

号杯.间：这时每个杯中含盐量与含糖量之比各是多少?。

解答：用分析法，从要求的问题入手，题目要求（1A2）*3的值，首先我们要计算1a2,

根据"△”的定义，［△2=k*l*2=2k,由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值，k值求出

后，142的值也就计算出来了，我们设1Z\2.(1A2)*3★?,按“★”的定义：*3

=ma+3n,在只有求出m、n、时，我们才能计算*3的值.因此要计算(1A2)★3的值，我

们就要先求出k、m、n的值.通过1*2=5可以求出m、n、的值，通过(2TAT3)Z\4=64求出

的值.因为l*2=m*l+n*2=m+2n,所以有m+2n=5.又因为m、n、均为自然数，所以解出：

代「餐fl

1«=2l«=1

m=l,n=2时：(2^3)A4=(1*2+3)A4=8

A4=k*8*4=32k,有32k=64,解k=2"

当m=3,n=l时：(2^3)A4=(3+2+1+3)A4=9

△4=k+9*4=36k,有36k=64,解出k=l(7/9)

这与k是自然数矛盾，因此

m=3,口=1,上=1(这组值应该舍去，。

所以m=l,n=2,k=2.(1A2)★

3=(2x1x2)★3=4*3=(1x4+2x3)=10。

小结：在上面这一类定义新运算的问题中，

关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计

售时，严格澧照规定的法则代入数值.还有

一个值得注意的问题是：定义一个新运算，

这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的

运算定律，因此在没有确定新运算是否具有

这些性质之前，不能运用这些运算律来解

题.。

成数问题

有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同

的三位数.求这两个整数分别是多少？

解答：两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，

它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如33=1+32=2+31=3+30=……=16+17,

共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三

位数，显然太繁琐了.可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有、111、222、333、444、

555、666、777、888、999,每个数都是111的倍数，而111=37*3,因此把这九个数表示成

一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是

37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数了.

把九个三位数分解：111=37*3、222=37*6=74*3、333=37*9、444=37*12=74*6、555=37*15、

666=37*18=74*9、777