数系的扩充和复数的概念教材

数系的扩充和复数的概念

数的发展简史

数是各种具体的量的抽象.从历史上看,人类对于数的认识,大体上是按照以下的逻辑顺序进行的:自然数(添正分数)-→正有理数(添零)-→非负有理数(添负数)-→有理数(添无理数)-→实数(添虚数)-→复数自然数的产生，起源于人类在生产和生活中计数的需要.开始只有很少几个自然数，后来随着生产力的发展和记数方法的改进，逐步认识越来越多的自然数.这个过程大致可以分为三个阶段.在第一阶段，物体集合的性质，是由物体间的直接比较确定的.我国古代传说的结绳记数便属于这一阶段.*

在第二阶段,出现了数词，如三头牛、五只羊等等.这时，还没能把单个的数从具体物体的集合中分离出来.在第三阶段，认识到每一个单个的数,是物体集合的一种性质，把数从具体物体的集合中分离出来，形成了抽象的自然数(正整数)概念，并有了代表它的符号.从某种意义上说，幼儿认识自然数的过程，就是人类祖先认识自然数的过程的再现.随着生产的发展，在土地测量、天文观测、土木建筑、水利工程等活动中，都需要进行测量.*

在测量过程中，常常会发生度量不尽的情况，如果要更精确地度量下去，就必然产生自然数不够用的矛盾.这样，正分数就应运而生.据数学史书记载，三千多年前埃及纸草书中已经记有关于正分数的问题.引进正分数,这是数的概念的第一次扩展.最初人们在记数时，没有“零”的概念.后来，在生产实践中,需要记录和计算的东西越来越多，逐渐产生了位值制记数法.有了这种记数法，零的产生就不可避免的了.我国古代筹算中，利用“空位”表示零.公元6世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.*但是，把“0”作为一个数是很迟的事.引进数0，这是数的概念的第二次扩充.以后,为了表示具有相反意义的量,负数概念就出现了.我国是认识正、负数最早的国家，《九章算术》中就有了正、负数的记载.在欧洲，直到17世纪才对负数有一个完整的认识.引进负数，这是数的概念的第三次扩充.数的概念的又一次扩充渊源于古希腊。公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯(Pythagqras，约公元前580~前500)学派发现了单位正方形的边长与对角线是不可公度的，为了得到不可公度线段比的精确数值，导致了无理数的产生.*当时只是用几何的形象来说明无理数的存在，至于严格的实数理论，直到19世纪70年代才建立起来.引进无理数，形成实数系，这是数的概念的第四次扩充.数的概念的再一次扩充，是为了解决数学自身的矛盾.16世纪前半叶，意大利数学家塔尔塔利亚发现了三次方程的求根公式，胆地引用了负数开平方的运算，得到了正确答案.由此，虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用,成功地经受了理论和实践的检验，最后于18世纪末至19世纪初确立了虚数在数学中的地位.引进虚数，形成复数系，这是数的概念的第五次扩充.*上面,我们简要地回顾了数的发展过程.必须指出，数的概念的产生，实际上是交错进行的.例如，在人们还没有完全认识负数之前，早就知道了无理数的存在;在实数理论还未完全建立之前,经运用虚数解三次方程了.直到19世纪初，从自然数到复数的理论基础，并未被认真考虑过.后来，由于数学严密性的需要以及公理化倾向的影响，促使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构.从19世纪中叶起，经过皮亚诺(G.Peano，1855~1939)、康托尔(G.Cantor，1845~1918)、戴德金(R.Dedekind，1831~1916)、外尔斯特拉斯*(K.Weierstrass，1815~1897)等数学家的努力，完成了建立整个数系的逻辑工作.近代数学关于数的理论，是在总结数的历史发展的基础上，用代数结构的观点和比较严格的公理系统加以整理而建立起来的.作为数的理论系统的基础，首先要建立自然数系，然后逐步加以扩展.一般采用的扩展过程是N→Z→Q→R→C(自然数集)(整数集)(有理数集)(实数集)(复数集)科学的数集扩充，通常采用两种方法:一是添加元素法，即把新元素添加到已建立的数集中去;二是构造法,即从理论上构造一个集合，然后指出这个集合的某个真子集与先前的数集是同构的.*中、小学数学教学中，为了适应学生的年龄特征和接受能力,关于数系的扩充，主要是渗透近代数学观点，采用添加元素并强调运算的方法来进行的.其扩充过程是:自然数集(添零)→扩大的自然数集(添正分数)→算术数集(添负有理数)→有理数集(添无理数)→实数集(添虚数)→复数集数系的每一次扩充，都解决了一定的矛盾，从而扩大了数的应用范围.但是，数系的每一次扩充也会失去某些性质.例如，从自然数系N扩充到整数系Z后，Z对减法具有封闭性，但失去N的良序性质，即N中任何非空子集都有最小元素.当然,在现代数学中，通常总是把“数”理解为复数或实数，只有在个别情况，经特别指出，又如，由实数系R扩充到复数系C后，*C是代数闭域，即任何代数方程必有根,但失去了R的顺序性，C中元素已无大小可言.数系扩充到复数系后，能否继续扩充?这个问题的答案是有条件的.如果要求完全满足复数系的全部运算性质,那么任何扩充都是难以成功的.如果放弃某些要求，那么进一步的扩充是可能的.比如，放弃乘法交换律，复数系C可以扩充为四元数系H,如果再适当改变对乘法结合律的要求，四元数系H又可扩充为八元数系Ca等等.当然,在现代数学中，通常总是把“数”理解为复数或实数，只有在个别情况，经特别指出，才用到四元数.至于八元数的使用就更罕见了.**解方程x2=－1发现此方程在实数范围类无解，说明现有的数集不能满足我们的需求，那么我们必须把数集进一步扩充情境引入*

为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个新数

i，把

i

叫做虚数单位，并且规定：问题解决:(1)i2

1；(2)实数可以与

i

进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.*动动手下列这些数与虚数单位i经过了哪些运算？*复数的概念形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,实部虚部复数的代数形式全体复数所形成的集合叫做复数集，

通常用字母z表示.一般用字母C表示.知新*

1545年意大利有名的数学“怪杰”

卡丹

第一次开始讨论负数开平方的问题，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了个名字——虚数．但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary即虚幻的

缩写）来表示它的单位.后来德国数学家高斯给出了复数的定义，并把复数与直角坐标平面内的点一一对应起来．1837年，爱尔兰数学家哈密顿用有序实数对（a,b)定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算满足实数的运算律.这样历经300年的努力，数系从实数系向阅读：复数系是怎样建立的？复数系的扩充才得以大功告成.*复数z=a+bi(a∈

R、b∈

R)能否表示实数？讨论虚数（纯虚数（a=0且b≠0））复数z=a+bi(a∈

R、b∈

R)实数1、若a=0,则z=a+bi(a∈

R、b∈

R)为纯虚数.2、若z=a+bi(a∈

R、b∈

R)为纯虚数,则a=0.判断（假）（真）故a=0是z=a+bi(a∈

R、b∈

R)为纯虚数的

条件.必要不充分*思考

复数集与实数集、虚数集、纯虚数集之间有什么关系？*1、复数z=a+bi

复数的分类2.复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系*想一想

如果两个复数相等，那么它们应满足什么条件呢？*如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即▲复数相等思考知新若*若2-3i=a-3i,求实数a的值；若8+5i=8+bi,求实数b的值；若4+bi=a-2i，求实数a,b的值。说一说*2-3i06i实部虚部分类虚数例1:

完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或纯虚数）2-3虚数00实数06纯虚数-10实数*实数m取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？解：（1）当，即时，复数z是实数．（2）当，即时，复数z是虚数．（3）当，且，即时，复

数z是纯虚数．例2:

*练习1:当m为何实数时，复数是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数*

已知，其中求解：根据复数相等的定义，得方程组得例3:

当堂练习1.a=0是复数a+bi(a,b∈R）为纯虚数的（）

A必要条件B充分条件

C充要条件D非必要非充分条件2.以3i-2的虚部为实部，以3i2+3i的实部为虚部的复数是（）

A-2+3iB3-3iC-3+3iD3+3i3.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的