高考高中数学：函数与导数相关知识点总结+例题解析

高考高中数学：函数与导数专题相关知识点总结+例题解析

研读《考试说明》

■函数的概念

■分段函数

函数的定义域、值域

■函数的单调性、奇偶性、周期性

■函数的最值、零点

高考重基础，高考复习首先要打好基础

口础知识基木技能J

(-)函数慨念与基本初等函数1(指数函数、对数函数、寡函数)

考城内衣

明数.映射的假宜。由效的兴”方法•西数的触调件、,倜性'最大＜小＞＜ft-指数函

数，对数的数，¥函数.函敷与方糕之间的关系•函数的御手应用.

考?要求

1.1了州的数'映射的概念数学首先是玩概念的

2.了解雨数的定义域、傲域及•:衿发本法(“析法・图隼法和列表法卜

3.了解肺中的分段函数，会用分段诙敢解决倚单的HJBU

4.先解南敷的染调性、ffiffltt.会用断由数的单调性、奇辑性•

$.理解弱数的做人(小,值的含义，会来筒那威鼓的墨大＜4'＞flt.

-7.(15新江语在懿/(x)满足，对任意xeK都有()

A./(sin2x)=sinx_B./(sin2x)=r+xC./(?+l)=|x+ljD./(r+2x)=|x+l|

基本思想基本活动经验二I

10.(06浙江廨数了:{1,2,3}f{1,2,3}满足/(/(x))=/(x),则这样的

函数个数共有（）

存S）=b，贝犷0）司

41个B.4个C8个

12.(0下折江)若/(x)和g(x)都是定义在实数集夫上的函数，且

方程x-/[g(x)]=0有实数解，则g[/(x)]不可能是()

,1c21-2121

Ax"4-x—BJC+X4—C.x"—DJCT—

5555

若溷方柢-/(聚功=曲解，则a=/9(a)),兔(a)=b,

贝犷0)=a=g(f(b))=g(a)=b,即方Sg(/(x))=x有粉解

从基础到能力

-9.给定R上函数，G）,（▲）

A.存在R上函数g（.\）,使得/（g（、））=n

B.存在R上函数gG）,使得后（/。））=、

c.存在R上函数g（x）,使得/9（«））=gG）

D.存在R上函数g（、），使得了（g（、））=g（/（、））

—取函数/（、）=0,贝”A,B不合题意；

取函数/（、）=、+1,则C不合题意：

取函数£（、）=」（、），则D符合题意。

基础知识基木技能

了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单

的问题

aa>b

12.(06浙江)对记max{ab}=<：一’函数

bza<b.

/(x)=max{|x+l|,|x-2|)(xe出知)最小值是

e|x|>1

10.(07浙江理)设f(x)=一’一'g(x)是二次函数.

x"x|<L

若/(g(x))的值域是也+X),则g(x)的值域是()

X

-4.(―xs-1]U[15+)B.(―x,-1]|J[0,+x)

C.[0.+x)D.[l;+x)

基础知识基本技能

—

函数的单调性、奇偶性、周期性

5.（16浙江理）设函数/（x）=siMx+bsinx+c,则/（x）

的最小正周期（）

4与b有关，且与c有关及与丽关，但与c无关

C.与方无关，且与c无关D与》无关，但与c有关

7.（浙江模拟）设函婀（x）=f_+b（a>0且axl）,

-CT―1

则函数/（X）的奇偶性（）

4与a无关，且与b无关8与a有关，且与b有关

C与a有关，但与b无关D.与a无关，但与丽关

源于课本：必修1第83页

2

1.时尸函数八力一|2二IJWR）,

（1）探索函数/G）的帙两性，

（2）是占存在实数“使函数/（，）为奇而K?

变式：设磁〃x）=£，则该函敷的图象的对称中心为

奇偶性与对称件一

从基础到能力

问题：已知函数/(外==----sinx在区间[-(k>0)的

2*+1

值域为[刑M，则?《+?!=.

考虑对称性：因为/-----sinx,令g(x)=^~--sinx,

八/2*+12X+1

则g(x)是奇函数，于是函数/(X)的图象关于点(0,1)对称，所以，

对于任意的xe[-k用，/(x)->-/(-x)=2.设m=/(Xe),即工幻

且/(xJ最大，由于函数)=/(-x)与函数)=/(X)的图象关于],轴对

称，且由/(-x)=2-/(x)知/(-X)与/(x)的单调性相反，当/(x)取

到最大值时，/(T)一定取到最小值，即有M=[/(-X)].=/(-%),

因此，m+n=/(xe)+/(-^)=2.

基础知识、基本技能、

基本思想、基本活动经验

构造函数，运用函数的单调性判断大小一

令_/a)=2*+2x,x>0,则/。)在(0.田)上单调递增.因为2'+2a=y+3b,所

以A=(2*+2a)-优+%)=/5)-/。)>0,⑷>/0),由“X)的单调性知，

a>b,所以选项A正确，选项B错误.选项C,D用同样方法拄除.

一./P—，〜，•“.，・•.1•、•-,.••*•••••••*.J'...•...••

1.1由敞的的.性.kiMl.会同断限故的中西性、Sffltt.

5.J»“雨豹的■大：<小)值的含义.会求筋单品数的*人(小)ffl-

9.(12浙江)设a>0,b>0.

A.若2"+2a=2«+3b,WOa>bg.若2"+2a=2»+3b,K'la<b

C.若2"-24=2'-3b,Ma>bD.若2"-2a=2»-3b,K'la<b

从基础到能力，挖掘隐藏的性质

X

7.(16浙江文)已知函甄(x)满足:/(X)>|X|E/(X)>2:X€2?.

4句(a)W|b|,则a。<2b,^\a<b

C.^y(a)>|显则a之》D若/(aR2：则a2b

挖掘函数的单调性:

若了(a)<2匕则2"K2〉=>aW”故选方

6.(16浙江文)已知函数/(幻=1+床,则，“<0”是

“/(/(x)演最小值与/(x)的最小值相等”的

4充分不必要条件用必要不充分条件

C.充分必要条件。.既不充分也不必要条件

基础知识基本技能

«题》考试说明

考试内容

导数的概念与几何意义，甚本初等话数的S数公式.导数的运算法则.利用导数求函数

的单调性、极值、量大(小)值.

考试要求

1.了解导数的概念与实际背景,展解导数的几何意工,

2.会用基本初等函数的导数公式表和导致运算法则求函数的导数,并能求简电的发合

函数的导数(|RU：形如/(ax+b)的,可).

3.了解i数单调性和导数的关系，世用H数求函数的单调区明

4.，解曲数横值的微念及曲数在某谶颉瀛就会用导致求函数的极大(小)值，

会求闭区间上函数的破大(小)值,

20.（2004浙江理）设曲线〉，=e~\x>0）在点处的

切线,与x轴、,轴所围成的三角形面积为5（f）.

（1）求切线I的方程；（2）求S⑴的最大值.

22.（2009浙江理圮知函物（x）=x3-（标一左一1〃2+5x-2,

g（x）=krx*2^kx-L其中左eA

⑴设函线（功=/（丫）-@»若成0在区间S3〉上不单调，球的取值范围

⑵设函麴（x）=［£?x2?是否存就对任意给定的非零实数K存在唯一

非零实数0（々*刈,使得g'（W）=g'（Xi）成立？若存在，旅的值；若不存在:

请说明理由

20。017浙江圮知函数“力=（x-仓曰）1（万>1）.

Q）求/（x曲导函数；⑵求/（x底区间白+8）上的取值范围.

■

,

20.解：(1)因为(x->/2^I)=l-)'="r

X

所以《X)=(l--^==)e--(X-

以一1

（2而/（x）=0解得：x=1或x=。由导函数的符号可知

/（X）在［L1］上递减，在口；］上递增，在［j+8）上递减,

222

20.(2017浙江)B知函数/(力=(x-72x-l)e-x(x>i).

(1)求/1(x)的导函数；(2)求/(x>在区间上的取值范围.

20.解：(2)由八x)=0解得：x=l或x=堤由导函数的符号可知

“X)在©1］上递减，在［15上递增，在辞+00)上递减，

田(§=9士/Q)=oJ($=<eWxf(x)=-1)2^>0.

111

所以/(x)在区间R,+8)上的取值范围是［0占”］.

本题主要考看函数的最大(小)值二导数的运算及

其应用，同时考查分析问题解决问题的能力。

关注证明题

20.(16浙江文)设函数/(x)=炉+_1_,xe[0,1].求证：

X+1

2

(l)/(x)>l-x+x;(2)^-</(x)<1.

42

20解⑴因为1—x+*—/=fW=F，

l-(-x)1+x

]-L]1

由于xe[0J：有­；---<----,^Pl-x+x:-x;<----

1+x1+x1+x

所以/(x)>l-x+x2.

(2)由⑴^0/(x)>1—x+x'=(x—

244

后略

关注证明题函数方法在不等式中的应用

数形结合先猜后证

22.(17浙江)已知数列｛4｝满足:再=1,修=9+ln(l+hiX"€N*).

证明：当〃e.V时(1)0<x*+i<x*;

XX(3)击白.

(2)2R+1-M<^;lfia+xn+J<Xn+i

(1)令/(x)=x+ln(l+x)*xN0,贝疗(x)在［0,+8)上单调递增，且

/(0)=0:&="%)构造函数，利用函数的单调性与不

动点结合“数学归纳法”证明数列

(2)要证此不等式，只需证的单调性

-4XM+1+2xn=x\+i-2%+(x*+i+2)ln(l+xw+1)>0.

令g(x)=/-2x+(x+2)ln(l+x)；x20

超越函数相关不等式

(1)ex>x+l(xeR);指致函数、对致函数、三角函数

的划线被缩

(2)Inx<x-1(x>0);1、

(4)COSX>1一一X;

2

.万

(3)sinx<x<tanx(0<x<—).⑸

cosx<------<1(0<x<71).

X

(浙江模拟)已知xw”(0步):且xtany=2(1-cosx)则()

0

_XXx

A,.v<—xB.—<T<—C—<v<xD.v>x

.44,2__2"”

易证：当0<x<g时:y<sinx<x.

AX1x

4sin:-4sin-4Asin—

2(l-cosx)yx

tany=-------->2-----------——=t2n—

..xx2

x2--2-sinx4sin—cos—

222

课本中的函数不等式

B组

i.利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验i

(1)sin支，工6(0,it)；

(2)x—J:2>0,XE(0,1)；

(3)er>l+k,久70；

(1)In7<CrVe，\j;>0.

2•利用信息技术工具，画出函数”之)=E3+622+c/+Q的

图象，并改变a,〃，c,。的值，观察图象的形状：.

(1)你能归纳函数f^)=ax3+bx2-\-cx^d图象的大致形

状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它

的单调区间吗？

(2)运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间.

教材是高考命题的主要依据，教材的例习题具有典型性、代表性、发散

性。

高三复习要紧扣《考试说明》，吃透教材，用好教材,发挥教材的基础与示

范作用。

画函数简图，看图说话

画抛物为=(*—1)2

结论：奇穿偶回，偶次零点是极值点

特例：函数图形升=a一1|(x—2)

零点问题奇穿偶回

17.(2012浙江理)设ae&若x>0时均有-l)x-l](x?—ax—1)20,

贝la=.

8.(2013浙江理)已知e为自然对数的底数，设函数

/(x)=(ex-l)(x-=1,2),WJ()

4当k=1时，/(x)在x=l处取到极小值

左当左=1时，/(x)在x=l处取到极大值

C.当k=2时，/(x)在x=l处取到极小值

D当上=2日寸，/(Y)在一丫=1处取到极大值

一只仃小题小做，小题巧做；

才仃大题川做，大题细做3

零点问题奇穿偶|5|

6.(14浙江理)已知函数/(x)=/+ax:+bx+c,

且0</(-1)=/(-2)=/(-3)W3,则()|构造岑点式

Ac<3B.3<c<6C.6<c<9D.c>9

设/(T)=f(-2)=/(-3)=左,则方程/(x)-左=0有三个根，

构造函数g(x)=/(x)-A:=(x+l)(x+2)(x+3),

则g(0)=/(0)—左=6；又/(0)=G故c=k+6

12.(16浙江文)设函数faHd+Bf+l.已知a#0,且

/(x)-/(a)=(x-Z>Xx-a)2,xwR,贝！)实

数a=，b=.

■I永恒的主题--二次函数i__________

(2017浙江省赛3)设/(x)=x2+奴+b=0在［0」中有两个实数根,

则a?-劝的取值范围为________.___________________________

3

已知磁,(X)=x+ax+b(a.beR)在区间(0,1)内有两个零点，型a+b的取值范

构造零点式

/(x)=X2+ax+b3a+b=/(3)-9

设，(x)的两个零点分别々，勺，所以/(x)=(x-演)(矛-为)，

不妨设Xje(0,11»x3€(0,1)>

因为:0=(3-勺)(3-马),6(2,3),3-x2e(2.3),

ffH^/(3)=9+3a+be(4,9),ffH^3a+be(-5.0).

■|永恒的4题--二次函数|

(20154江文20)

(本题满分15分)设函数/0=乂,+0<+b3》61i).

(1)当6=£+1时，求函数f(x)在［-口］上的最<1僧g(a)的表达式；

4

(II)已知函婀(X)在［-川上存在零点,0<b-2a<l.求b的取值范围.

(201他苏高考)B知函数/(x)=x?+ox+b(aU面值域为@+oc),

若不等式/'(力<曲解集为(见加+6),贝ijc=—.

理解参数对俄数图像的影响

二次函数遇到绝对值

(2015年1月浙江皙羚胞峨)设匡|数码=|R-ax-b|,a,b€,R.

-(HD若对任意翊a,b,总存在翊Xc€(0,4胶穹不等式帕2m加Z,—

将圉m的取值碉。

设4=t,由xW[0.4].得tW[O.2].h(t〉-at'-H-b,即求在tW10,2J上的

最大值“(3・b)的最小值。

由|M»|在tW©2]上的最大值b)得.・，

"(ab)训*0)1一6

A，3,b)MMDQ|r+l-b|,

4“a,b)>(火2)HT。+2-b|

*/3h<O>+h<2)-4h(1>=-2,

"2=|3摩0)+M2)-4MD|S3MO)I4-/K2)；+4|Ml)!^8A/(a,b),

即A/(a・b)>1,取h《t)内合条件。

424

/.A/(a.b)的最小值为!，

即m的取值范围为m0士。

I仁1次函数遇到绝对值

_(2015浙江理18)已知附数f(x)・/-瑟拽(a,beR),

记M(a,b)是f(x)在区间卜1J上的最大值。

(1)证明：当a“时，M(a,b)22;

(2)当a,b满足M(a,b)42时,求ai，b的最大值

(2)由.<(。,母£2得11+4+6月/(1)|42,|1-0+6〉〃-1)<2,-

二a+bI.ab之0

_故a+b^3,\a-b\^3,由a：+；.&>=<',得！。：+仍|£3,，

口。-