高中数学-平均变化率教学设计学情分析教材分析课后反思

平均变化率一一课标分析

本节课是人教版高中数学选修2-2第一章第一节《变化率与导数》的起始课程，新课标

的要求是：通过大量实例的分析，经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解平均变

化率概念的实际背景、几何意义，通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究

和体验平均变化率的实际意义和数学意义；掌握平均变化率的概念及其计算步骤，体会逼近

的思想和用逼近的思想思考问题的方法；掌握求函数在指定区间上的平均变化率，能利用平

均变化率解析生活中的实际问题；通过分析实例，初步探究由平均变化率过渡到瞬时变化率

的过程，让学生体会用己知探究未知的思考方法。

《平均变化率》教材分析

本节课内容是人教版高中数学选修2-2第一章《变化率与导数》第一节，为了描述现

实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数.随着对函数的深入研究，产生

了微积分.导数概念是微积分的基本概念之一，导数是对事物变化快慢的一种描述，是研究

客观事物变化率和优化问题的有力工具。理解和掌握导数的思想和本质显得非常重要，正如

《数学课程标准（实验）解读》中所说的，以前是，“先讲极限概念，把导数作为一种特殊

极限来讲，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重影响了对导数思想和本质

的认识和理解”；“这样造成的结果是：因为存在着夹生饭现象，大学不欢迎；中学感受不到

学导数的好处，反而加重了学生的负担，因此也不欢迎。”故为了让学生充分认识导数的思

想和本质，先要理解和掌握平均变化率的概念。在设计这节课时，我把重点放在（1）通过

大量实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数

学意义；（2）掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法。

《平均变化率》学情分析

本课时面对的学生是高二年级的学生,数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的

时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。我们学校是我市的重点

学校，本班学生学习基础较好，自主学习的能力较强，对于函数的知识掌握的比较扎实，并

且在学习中尝试使用了“自主探究、小组合作”学习法，学生能够做到动脑、动手，积极参

与课堂。课前要求学生进行预习，认真思考课本中的“思考、探究”等栏目，琢磨一下出题

人的设计意图，真正从本质上理解知识。

《平均变化率》教学设计

课题：1.1.1平均变化率

教学目标：

1、知识目标：通过生活实例使学生理解函数增量、函数的平均变化率的概念；

掌握求简单函数平均变化率的方法，会求函数的平均变化率；

理解函数的平均变化率的含义，引出函数的瞬时变化率概念，简单应用

为下一节导数概念的学习打好基础。

2、能力目标：使学生在研究过程中熟悉数学研究的途径：背景——数学表示一一应用，

培养学生独立思考，解决问题的能力和在生活中建立数学模型，用数学理

论解释生活问题、应用数学的能力。

3、情感目标：使学生通过学习，了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法，

鼓励学生主动探究、不惧困难，勇于挑战自我的思想品质。并养成学生探究

—总结型的学习习惯。

教学重点：函数自变量的增量、函数值的增量的理解

函数的平均变化率和瞬时变化率的理解和简单应用。

教学难点：函数平均变化率转化为瞬时变化率的理解。

教学方法：例举分析——归纳总结——实际应用

教学过程：

一、引入：

1、情境设置：(图片)巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡峭程度不同的图片

2、问题：当陡峭程度不同时，登山队员的感受是不一样的，如何用数学来反映山势的

陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢？

3、引入：让我们用函数变化的观点来研讨这个问题。

二、例举分析：

(-)登山问题

例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点,H是山顶，登山路线用y=f(x)表

示

问题：当自变量X表示登山者的水平位置,函数值y表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎

样表示？

分析：1、选取平直山路AB放大研究

若4%,%）,B（xl,y1）

自变量x的改变量：Ax=%,-x（

函数值y的改变量：Ay=J,-y

直线AB的斜率：______

%!-x0Ax

说明：当登山者移动的水平距离变化量一定（Av为定值）时,

垂直距离变化量（Ay）越大，则这段山路越陡峭;

2、选取弯曲山路CD放大研究

方法：可将其分成若干小段进行分析：如CD,的陡峭程度可用直线C»的斜率表示。（图略）

结论：函数值变化量（Ay）与自变量变化量（Ax）的比值电反映了山坡的陡峭程度。

各段的”不同反映了山坡的陡峭程度不同，也就是登山高度在这段山路上的平均变

Ax

化量不同。当包越大，说明山坡高度的平均变化量越大，所以山坡就越陡；当包

AxAr

越小，说明山坡高度的平均变化量小，所以山坡就越缓。

所以，丝=一一高度的平均变化成为度量山的陡峭程度的量，叫

M-一4

做函数f（x）的平均变化率。

三、函数的平均变化率与应用。

（一）定义：已知函数y=/（x）在点x=x（）及其附近有定义,

令Ar=x—*0；

xx

'一No=/(x)-f(o)=f(o+Ax)-/(x0)o

则当©,0时，比值出“2二”

AxAx

叫做函数y=/(x)在X。到X。+Ar之间的平均变化率。

例2.某市2004年4月20日最高气温为33.4℃,而此前的两天，4月19日和4月18日

最高气温分别为24.4℃和18.6C,短短两天时间，气温“陡增”14.8℃,闷热中的

人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气

温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，我们发现两者温差为15.PC,甚至

超过了14.8℃,而人们却不会发出上述感叹。这是什么原因呢？原来前者变化得“太

问题：当自变量t表示由3月18日开始计算的天数，T表示气温，记函数T=g(f)表示温

度随时间变化的函数，那么气温变化的快慢情况应当怎样表示？

分析：如图：1、选择该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6C进

行比较，4=30,AT=18.6—3.5=15.1°。，由此可知竺x0.5033；

2、选择该市2004年4月18日最高气温18.6°C与4月20日33.4°C进行比较，

△t=2,AT=33.4-18.6=14.8℃,由此可知竺a7.4

△t

结论：函数值的平均变化率里反映了温度变化的剧烈程度。

各段的竺不同反映了温度变化的剧烈程度不同，也就是气温在这段时间内的平均变

△t

化量不同。当竺越大，说明气温的平均变化量越大，所以升温就越快；当A工越小，

AzAr

说明气温的平均变化量小，所以升温就越缓。

(三)课堂练习：

甲乙二人跑步路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图

(1)(2)所示，试问：(1)甲乙二人哪一个跑得快？

(2)甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快

四、瞬时变化率以及应用:

平均变化率包

变化区间自变量改变量Ax

Ax

(1,1.1)0.12.1

(1,1.01)0.012.01

(1,1.001)0.0012.001

例3：(1,1.0001)0.00012.0001已知函数

/(x)=/・・・・・・•・・计算函数在

下列区间上的平均变化率。

解：函数/(X)=X2的平均变化率计算公式为：

+Ar)-/(/)=(/+Ax)2-焉

-2"O12x结论：当时间间隔越来越小(At趋于0)时,

平均变化率趋于常数2

例4：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？

解：自由落体的运动公式是s=；g产(其中g是重力加速度).

当时间增量A很小时，从3秒到(3+Af)秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大.

因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.

从3秒到(3+Ar)秒这段时间内位移的增量：

△s=5(3+加)-5(3)=4.9(3+Ar)2-4.9x32=29.4Ar+4.9(Af)2

一一Av

从而，V=—=29.4+4.9Ar.

Ar

结论：4越小，生越接近29.4米/秒

当加无限趋近于0时，生无限趋近于29.4米/秒.

（一）定义:

设函数y=/（x）在与附近有定义，当自变量在x=/附近改变Ax时,

函数值相应地改变M=/（x0+Ax）-/（x0）

如果当时，平均变化率-&+以）—/（勺）趋近于一个常数/,

Ax

则数称为函数/（X）在点X。处的瞬时变化率。

（二）函数瞬时变化率的应用：

例：设一个物体的运动方程是：S（f）=iv+gaf2,其中V。是初速度，时间单位为s,

求：t=2s时的瞬时速度（函数s（t）的瞬时变化率）。

角星.△$—s（'o+△＞）——$（，））

△t△,

,1,717

Fv0（z0+△，）+—+Az）~]—+万at%]

__乙乙

△t

=%+at0+—a\t

.」=2s时，瞬时速度是%+2a

五、课堂小结：

函

函

数

数

的

的

瞬

平Ax趋近于0

时

均

变

变

化

化

率

率

/(/+Ar)-"/)

Ax

六、布置作业：课本:预习:

《平均变化率》评测练习

一、填空题

1.函数关系力（力）=-4.9^+6.5f+10,从£=0至ij力=0.5变化过程中，自变量的增量

是.

2.在x=l附近，取Ax—0.3,在四个函数①尸x；②尸③y=x;④尸/P，平

均变化率最大的是（填序号）.

3.已知曲线尸;V和这条曲线上的一点/＞（1,9，0是曲线上点尸附近的一点，则点0

的坐标为.

4.函数y=f{x）的平均变化率的几何意义是指函数尸f（x）图象上两点，A（为，『（幻），

月（%,『（X2））连线的.

5.已知函数尸2f+1,当x=2时，-^=.

6.已知函数f（x）=2f-4的图象上一点（1,-2）及邻近一点（1+Ax,-2+Ay）,则

7.已知f（x）=f+2,则f（x）在区间［1,1.1］上的平均变化率为.

8.一棵树2009年1月1日高度为4.5米，2010年1月1日高度为4.98米，则这棵树

2009年高度的月平均变化率是.

9.函数尸系在荀=1,△户/寸平均变化率的值是..

二、解答题

10.求y=f—2x+l在;r=-2附近的平均变化率.

11.一条水管中流过的水量y（单位：m‘）是时间x（单位：s）的函数y=F（x）=3x,计算

xC［2,2+Ax］内y的平均变化率.

12.已知自由下落物体的运动的方程为S=%/（S单位：m,t单位：s）.求:

（1）自由下落物体在友到力。+△力这段时间内的平均速度/；

(2)自由下落物体在t=10s到i=10.1s这段时间内的平均速度.

答案解析

1解析：自变量增量是0.5—0=0.5.

答案：0.5

2解析：先求出各个函数在△*=().3时的平均变化率，再比较大小.

答案：③

3解析：曲线上在点。(1,附近的0的横坐标为1+Ax,则其纵坐标为1+△尸］(1

+△炉.

答案:(1+Ax,1(Ax+l)2)

4解析：由平均变化率定义及直线斜率定义可得.

答案：斜率

5解析:△尸=2(2+△x)'+1-(2X23+1)

=2(A%)3+12(A^)2+24A^,

..*=2(温中2-4.

答案：2(4炉+124叶24

6解析：由于Ay=f(l+△x)—f(l)=2(1+△X”一4一(2—4)=2(1+AX)'—2=4Ax

+2(Ax):

.by44x+2bx

=4+2Ax

答案：4+2△x

庄……、…犬LI-f11.l2+2-l2+2八

7解析：由定义知-----―;-------=-------n-------=2.1.

1.1—10.1

答案：2.1

4Q«—45

8解析：月平均变化率为-I=0.04(米/月).

答案：0.04米/月

3

&方正fXo+AX-fAbAb+△X--21c,2、“

9解析：--------;-----------=-------;--------=3/+3用△x+△/,••当施=1,

△X卜X

△时，平均变化率的值为3X12+3X1X1+(1)2=y.

19

答案：T

10解：当自变量从一2变化到一2+时，函数的平均变化率为彳’

△X

-2+Ax2-2-2+Ax+1—［-22+4+1］

△x

=Ax-6.

11解：当X从2变到2+Ax时，函数值从3X2变到3(2+Ax),函数值y关于x的

平均变化率为

f2+—，232+Ax—3X23Ax

2+△x—2△x△x

=3(m3/s).

即［2,2+Ax］时水管中流过的水量p的平均变化率为3m7s.

12解：(1)当［由友取得一个改变量△,时，S取得相应改变量为A5=1^(to+Af)2

-1^to=^o(At)+^(At)\因此，在勿到fb+At这段时间内，自由下落物体的平均速

l

^

g△z△

△s-

度

为r

-△%-△

,1、

=g(z£o+]At).

,—1

(2)当/°=10s,At=0.1s时，由(1)得平均速度为r=g(10+]X0.1)=10.05g(m/s).

《平均变化率》效果分析

本节课采用“创设情境一一提出问题一一探索尝试一一启发引导---解决问题”的过

程来实现教学目标。有利于知识产生、发展、解决这一认知过程的完整体现。

1、生活实例引入，既体现了数学的功能，又调动了学生的学习兴趣，特别是部分男生,

能积极参与课堂；

2、2个题目的设置，由低到高，由易到难，通过例题的讲解，变式的强化训练，加深

了学生对概念的印象，及灵活应用公式解题的能力；

3、练习及例2采用学生板演的方式，检验学生的掌握情况以及“知识的考查、方法的

选择、步骤的书写”三部曲解题法的落实情况，4名同学均能写出较为规范的步骤,

但是一名同学步骤安排的不够合理；

4、在教学手段上使用多媒体技术，使重点得到突出，抽象变得直观，有效增加课堂容

量，激发学生的学习兴趣，提高教学效率；

5、面对不同程度的教学对象，作业分层布置，突出了学生学习的个体差异现实，使不

同层次的学生得到不同的发展。

从学生课堂的反应和对题目的掌握情况来看，整体的课堂教学效果显著，学生在“自

主探究、合作学习”中获取了知识，掌握了方法，提升了能力，增强了数学素养，基本完成

了事先制定的三维学习目标，受到了学生和听课老师的好评。

教师观评记录

本人自评：

本课是《变化率与导数》的起始课，主要任务是推导出平均变化率的公式，然后应用公

式进行计算，为下一节瞬时变化率的学习做好准备。在推导过程中，由生活实例出发提出问

题，然后引导学生通过“小组合作”去探究公式的生成过程，得出公式之后，紧接着安排了

2个题目，由具体到一般，层层深入，最后设置了一组限时训练，检查一下学生对本节课的

掌握情况。最后学生自主总结，而布置作业（采用分层作业）环节。

教师观评：

王倩主任：

优点：

1、本节课从旧知识引出新知识，体现了知识的生成过程；

2、公式的推导采用“递进式”，层层推导，逐步得出结论，符合学生的思维习惯；

3、练习充分，让学生独立思考，限时训练，检验学生的学习成果，符合新课程改革理念。

不足：

1、讲完题目之后，应该尝试让学生自己总结一下，努力构建自己的知识、方法体系；

2、对于较难的问题，应该给学生更多的时间思考和更多地引导，让学生在潜移默化的引导

中发现解题的方法。

毕国强老师：

1、