人教版高中数学《圆与圆的位置关系》教学设计

圆与圆的位置关系教学设计

教学目标：①复习初中所学的两圆的五种位置关系及其几何判断方法

②用坐标法判断两圆的位置关系，一方面是把几何关系代数化，另一方面是通过

方程组的研究判断两圆的位置关系；进一步体会坐标法的思想，用代数方法解

决几何问题。

③会求公共弦的直线方程，以及弦长

④两圆相交时，能把圆与圆的位置关系转化为直线与圆的位置关系

⑤经历利用图形性质简化计算的过程，渗透数形结合，分类讨论，转化化归等思

想，培养学生的观察，分析，发现，归纳等逻辑思维能力.

教学重点：用坐标法判断圆与圆的位置关系。

教学难点：求公共弦所在直线方程，求弦长

教学方法：自主、探究、合作交流

教学理念：

学生已经知道两圆有五种位置关系，以及判断的依据，而且经过前面的学习，

直线、圆可以用方程表示，可以通过它们的方程组成的方程组有没有实数解来判

断位置关系，直接提出如何用方程研究圆与圆的位置关系，开门见山。

问题是数学的心脏。以问题为载体，引导学生分析、研究问题，制定解决问

题的策略，选择解决问题的方法。通过问题的解决，让学生参与教学过程，在这

个过程中，尊重学生的思维过程，充分发挥学生在学习中的主动性以及他们之间

的合作交流。

笔者认为，课堂是景，学生要身临其境，教师要触景生情，打造生成型课堂，

摒弃给予型课堂，让课堂焕发出生命的活力。

教学过程

一.开门见山、引出课题

前面我们运用直线与圆的方程，研究了直线与圆的位置关系。今天我们运用

圆的方程，研究圆与圆的位置关系

设计意图：开门见山，直奔主题，突出方程这个角度，用代数方法研究几何

问题。

1

二、复习旧知，充满自信

问（1）两圆的位置关系有哪几种？

问（2）在初中，我们怎样判断圆与圆的位置关系？

问（3）上一节课，是怎样研究直线与圆的位置关系的？

设计意图：由（1）（2）学生非常熟悉这些结论与方法，通过回答，有了自信；

而且初中方法通过利用高中学习的方程的知识焕发出新的生命，完美实现了数形

七在口A口0

问题⑶则引导学生利用已有的解决问题的经验类比研究今天的圆与圆的位

置关系。

三、问题驱动，合作探究

1、问题1:我们如何根据圆的方程来判断它们之间的位置关系呢？

已知圆3:x2+y2+2x+8y-8=0和圆Cz：x-+y2-4x-4y-2=0,试判断圆G与圆G的

位置关系.

让学生互相讨论、解答。可以请几个学生板演，给学生解决问题的时间。

过一段不时间后，交流解法，或者评论板演的同学的不同的解法各自的

特点，并请板演同学说明理由。

如果在板演的同学中只出现一种解法，则询问其他同学有没有其他不同

的解法。

在上述过程中，关注一下有多少同学画出了图形，并表扬画图的同学，

强调解析几何是一门数与形结合的学科，加强数形结合的意识。

设计意图：在每个人的内心深处都有一种根深蒂固的需要，那就是渴望自己

是一个探索

者，发现者！这里提供一个微探究的平台，通过问题解决使学生得到满足，产生

成就感。

另外，发现方程组的解的个数和圆与圆的公共点的个数相同，发现判别式的符号

决定了位置关系，这些都是靠讲授不能很好接受的，而让学生发现，充分尊重学

生学习的主体地位，大大提升课堂效率。

最后，合作是21世纪公民的一项基本技能。互相欣赏，互相指出存在的问题，一

起成长，也培养了学生团队精神，交流能力。

2

2、问题1的两种解法:

问题1图示

解法一：把圆G和圆G的方程化为标准方程：

C):(X+1)2+(J+4)2=52

222

C2:(x-2)+(y-2)=(Vl(j)

C的圆，E-1,-4)泮径为「5

G的圆心(2,2),半径为弓=V10

连心线长为1(-1-2)2+(一4-2f=3亚

"+弓|=5+而1^-7；1=5-710

ffi]5-V10<3V5<5+VT0

A

即\rx-r2\<3/5<\rx+r2

所以圆G与圆C2相交，它们有两个公共点A,B.

这种解法方便快捷，不但确定有几个公共点，还明确是外切还是内切，是外

离还是内含，是做题中最常用的方法。注意的是相交时，连心线的长既要小于半

径和，还要大于半径差的绝对值。

解法二：圆C与圆C?的方程联立，得

X2+/+2X+8；；-8=0(1)

X2+y2-4x-4y-2=0⑵

3

(1)-(2),得x-2y+l=0⑶

由⑶得好宁代入⑴，整理得

X2-2X-3=0(4)

则△=(—2)2-4x1x(—3)=16>0

所以，方程(4)有两个不相等的实数根x“x”把xrx?分别代入方程(3)：

x-2y+l=0得到%，力.

因此圆G与圆G有两个不同的公共点A(Xi,y),B(Xz,y2).

由于本题只要判断两圆的位置关系，并不要求求出公共点的坐标，因此不

必解方程(4),

求出两个实数根。

3、问题2：画出两个圆及方程(3)表示的是直线，你有什么发现？你能说

明为什么吗？

问题2图示

设计意图：发现在相交情况下，两圆的方程相减得到的恰好是公共弦所

在的直线方程。因为方程(1)(2)的解必是方程(3)的解，如果方程组有

两组解，即两圆有两个公共点，这两个公共点必在方程(3)确定的直线上，

两点确定一条直线，方程(3)表示的直线就是两圆的公共弦所在的直线。

4、问题3：由(3)代入(1)实际上是什么问题？你又有什么发现？

4

设计意图：实际上就是联立直线与圆的方程，判断转化为上节课研究的

直线与圆的位置关系问题。可以代数法，还可以利用圆心到直线的距离，几何法

解决。这是典型的转化化归的思想。学生的发现很高兴，使得课堂引向高潮。

5、问题5：两圆如果没有公共点或者相切时，两圆的方程相减又得到的是什

么直线呢？这时能不能把两圆的位置关系转化为直线与圆的位置关系来研究呢？

作为一个研究性学习课题，大家课下试一试。

设计意图：事实上通过解方程组的过程可以发现，只要两圆的方程相减

得到直线的方程，就可以把两圆的位置关系转化为直线与圆的位置关系来研

究。只是直线表示的含义不很明确，需要进一步研究。特殊的，两圆相切时

表示切线，两等圆外离时表示对称轴直线。另外，除相交情况，并不能直接

确定是外离还是内含，是外切还是内切。

6、问题6：如何求出公共弦的弦长呢？

设计意图：一种方法代数法，是刚才的基础上求出

两个公共点的坐标，利用距离公式；另一种方法是

利用几何法，问题已经转化为直线与圆的位置关系，

在一个圆内，利用半弦长，半径，弦心距构成的

直角三角形可以求解。

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问题6图示

7、总结：归纳两种方法及其步骤

一种是几何法，一种是代数法

六、练习达标，巩固提升

练习1、已知圆与G：f+y2-6x-8y+21=0圆。2：%2+9+2X—2了-7=0,

试判断两圆的位置关系。

练习2、已知圆a：/+y2=i与圆6：工2+y2-4工+8〉+加=0外离，求m的取

值范围。

设计意图：一是巩固判断方法，熟练判断圆与圆的位置关系；二是反过来,

已知位置关系，解决简单问题。三是研究了相交，练习相切与相离，而且代数法

判断相切时则必须结合图形确定外切还是内切，研究无公共点是也要借助图形确

定外离和内含。

七、回顾课堂，感悟收获

让学生自愿谈谈一节课的收获，不限制知识技能，思想方法，情感态度，什

么都可以谈，什么都可以说，发散思维，表达心声，互相启发，把数学课堂引向

生活大课堂！

设计意图：只有学生说好才是真的好，只要学生有收获,哪怕是一点点感悟，

教学就是有效的，教师的价值就得以体现。不求人人一节课得到多大提升，但求

实现互相启迪思维，体验数学快乐，快乐数学。

八、课下思考，布置作业

1、课下思考

与点A(2,2)的距离为丽，且与点B(T,-4)的距离为5的直线有几条？

设计意图：本题把圆的定义，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系综合

在一起，本质考查圆的公切线的条数，培养学生数形结合的能力，转化化归的能

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力，分析问题解决问题的能力，利于学生思维发散。可以进一步引导学生利用几

何图形求出切线长。

2、作业布置：

必做：Pw练习，Pl33A组9

选做：P133A组10、11

设计意图：必做：练习题巩固位置关系判断，9题巩固求弦长。选做：10、

11题利用圆与圆的位置关系，求圆的方程代数法较为繁琐，几何法相对简洁要充

分利用图形性质解题，为学有余力的同学提供提升平台。