备考2025届高考数学一轮复习分层练习第五章数列第5讲数列的综合应用

第5讲数列的综合应用1.已知1，a1，a2，3成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则a1＋a2bA.2 B.－2 C.±2 D.5解析由等差数列的性质知a1＋a2＝1＋3＝4.由等比数列的性质知b22＝1×4＝4，∴b2＝±2.由于等比数列中奇数项符号相同，偶数项符号相同，∴b2＝2，∴a1＋2.[2024青岛市检测]记Sn为等比数列{an}（an＞0）的前n项和，且a1a3＝16，2S1，32S2，S3成等差数列，则S6＝（DA.256 B.254 C.128 D.126解析解法一设等比数列{an}的公比为q，因为an＞0，所以q＞0.因为a1a3＝16，所以a12q2＝16，即a1q因为2S1，32S2，S3成等差数列，所以3S2＝2S1＋S3，所以q≠1，3×a1（1－q2）1－q＝2a1＋a1（1－q3）1－q，化简，得3a1（1＋q）＝2a1＋a1（1＋q＋q2），即q2＝2q，因为q＞0，所以q＝2，又a1q＝4解法二设等比数列{an}的公比为q，因为an＞0，所以q＞0.由a1a3＝a22＝16，得a2＝4.由2S1，32S2，S3成等差数列，得3S2＝2S1＋S3，即2（S2－S1）＝S3－S2，所以a3＝2a2，所以q＝a3a2＝2，则a1＝a2q＝2，所以S6＝a1（13.[2024河南名校模拟]已知数列{an}是递增的等差数列，a3是a1与a11的等比中项，且a2＝5.若bn＝an+1－an，则数列{bn}的前n项和Sn＝（A.3n+2－2 B.3nC.3n+2－5 D.3解析 因为等差数列{an}为递增数列，所以其公差d＞0，由题意可知，a1＋d=5，（a1+2d）2＝a1（a1+10d),解得a1=2，d=3或a1=5，d=0（舍去），所以an＝3n－1，bn＝3n+2－3n－1，所以Sn＝b1＋b2＋b4.[2024湖南永州联考]已知函数f（x）＝x3＋3x2＋x＋1，设数列{an}的通项公式为an＝－2n＋9，则f（a1）＋f（a2）＋…＋f（a9）＝（D）A.36 B.24 C.20 D.18解析f（x）＝x3＋3x2＋x＋1＝（x＋1）3－2（x＋1）＋2，所以曲线f（x）的对称中心为（－1，2），即f（x）＋f（－2－x）＝4.因为an＝－2n＋9，易知数列{an}为等差数列，a5＝－1，a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝－2，所以f（a1）＋f（a9）＝f（a2）＋f（a8）＝f（a3）＋f（a7）＝f（a4）＋f（a6）＝4，f（a5）＝f（－1）＝2，所以f（a1）＋f（a2）＋…＋f（a9）＝4×4＋2＝18.故选D.5.[多选/2024昆明市模拟]已知a，b，c为非零实数，则下列说法确定正确的是（AD）A.若a，b，c成等比数列，则1a，1b，B.若a，b，c成等差数列，则1a，1b，C.若a2，b2，c2成等比数列，则a，b，c成等比数列D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等比数列解析对于A，若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，又a，b，c均为非零实数，则有1b2＝1ac，即1a，1b，1c成等比数列，所以A正确；对于B，不妨设a＝1，b＝2，c＝3，满意a，b，c成等差数列，而1a＝1，1b＝12，1c＝13，因为1，12，13不成等差数列，所以1a，1b，1c不成等差数列，所以B错误；对于C，不妨设a＝1，b＝－1，c＝－1，满意a2，b2，c2成等比数列，但1，－1，－1不成等比数列，所以C错误；对于D，若a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，所以2a×2c＝2a＋c＝22b＝6.[向量与数列综合]如图，点D为△ABC的边BC上一点，BD＝2DC，En（n∈N*）为AC上一列点，且满意：EnA＝（3an－3）EnD＋（－n2－n＋1）EnB，则1a1＋1a2＋1解析BD＝2DC，即EnD－EnB＝2（EnC－EnD），所以EnC＝32EnD－12EnB.设EnA＝λEnC，则EnA＝3λ2EnD－－3（－n2－n＋1），可得an＝n2＋n，所以1an＝1n2＋n＝1n－1n+1，则1a1＋1a2＋…＋1an＝1－12＋7.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an+3，n3∉N*，an－1，n3∈N*，则使an解析由已知可得，在数列{an}中a1＝1，a2＝4，a3＝7，a4＝4，a5＝7，a6＝10，a7＝7，a8＝10，a9＝13，….视察可得，an＝n当m＝673时，a2020＝2020，a2021＝2023，a2022＝2026；当m＝672时，a2017＝2017，a2018＝2020，a2019＝2023.所以满意an＜2025对随意的n≤k（k∈N*）恒成立的最大的k的值为2021.8.[2024江苏南京统考]已知公比大于1的等比数列{an}满意：a1＋a4＝18，a2a3＝32.（1）求{an}的通项公式.（2）记数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＝2bn－an，n∈N*，证明：{bnan解析（1）解法一因为{an}是等比数列，设公比为q，所以a1a4＝a2a3＝32，又a1＋a4＝18，解得a1=2又q＞1，所以a1=2，a4=16，所以q因此an＝a1qn－1＝2n.解法二设公比为q，由a1＋a1又q＞1，所以a1=2，q=2，因此an＝a1qn－（2）由（1）得Sn＝2bn－2n，所以Sn＋1＝2bn＋1－2n＋1，两式作差可得Sn＋1－Sn＝2bn＋1－2n＋1－（2bn－2n），即bn＋1＝2bn＋1－2n－2bn，整理得bn＋1－2bn＝2n，n∈N*.等式两边同除以2n＋1得，bn+12n+1－bn2n＝12，即bn+1所以数列{bnan}是公差为9.[2024山东潍坊模拟]在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a3，a13成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满意Sn＝2bn－2.（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设cn＝bn－an，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式Tn＋n2－n＞log2（1－a）对随意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围.解析（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），∵a1＝1，且a1，a3，a13成等比数列，∴a32＝a1a13，即（1＋2d）2＝1＋12d，得d＝∴an＝1＋2（n－1）＝2n－1.∵Sn＝2bn－2，当n＝1时，b1＝2b1－2，∴b1＝2，当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝2bn－2bn－1，∴bn＝2bn－1，故数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，∴bn＝2n.（2）由（1）可得cn＝bn－an＝2n－（2n－1），∴Tn＝2（1－2n）1－2－n（1+2∴Tn＋n2－n＝2n＋1－n－2.令f（x）＝2x＋1－x－2（x≥1），f'（x）＝2x＋1ln2－1，∵x≥1，∴f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（1）＝1.∴log2（1－a）＜1，∴0＜1－a＜2，∴－1＜a＜1.故实数a的取值范围为（－1，1）.10.[2024辽宁沈阳二中校考]已知数列{an}中，a1＝1，an＋1－1n＝（1＋1n）an，n∈N*.若对于随意的t∈[1，2]，不等式ann＜－2t2－（a＋1）t＋a2－a＋2恒成立，则实数a的值可能为（A.－4 B.－1 C.0 D.2解析因为an＋1－1n＝（1＋1n）an，所以an＋1－n+1nan＝1n，即an+1n+1所以当n≥2时，ann＝（ann－an－1n－1）＋（an－1n－1－an－2n－2）＋…＋（a22－a11）＋a1＝（1n－1－1n）＋（1n－2－1n－1）＋…＋（1－12）＋1＝2－1n＜2，a11＝1＜2，又不等式ann＜－2t2－（a＋1）t＋a2－a＋2对于随意的t∈[1，2]恒成立，所以－2t2－（a＋1）t＋a2－a＋2≥2对于随意的t∈[1，2]恒成立，即2t2＋（a＋1）t－a2＋a≤0对于随意的t∈[1，2]恒成立.设f（t）＝11.[多选/2024浙江名校联考]已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1＞0，则下列叙述中正确的是 （BD）A.若a1＋a4＝a2＋a3，则q＝1B.若a2＝lna1＋lna3，则q＜0C.若2a3＝ea1＋ea2D.若0＜a1＜1，且a1＋a2＋a3＝ln（a1＋a2＋a3＋a4），则q＞1解析对于选项A，因为a1＋a4＝a2＋a3，所以1＋q3＝q＋q2，即（q－1）2（q＋1）＝0，解得q＝－1或q＝1，所以选项A错误.对于选项B，a2＝lna1＋lna3＝ln（a1a3）＝lna22，明显a2≠1，构造函数f（x）＝lnx2－x，x＞0，则f'（x）＝2x－1，令f'（x）＞0，得0＜x＜2，令f'（x）＜0，得x＞2，所以函数f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，＋∞）上单调递减，所以f（x）max＝f（2）＝ln4－2＜0，所以f（x）＝0在（0，＋∞）上无实数解.明显a2＞0时不合题意，舍去，所以a2＜0，又a1＞0，所以q＜0，所以选项对于选项C，由不等式ex≥x＋1＞x（令g（x）＝ex－x－1，则g'（x）＝ex－1，当x＞0时，g'（x）＞0，当x＜0时，g'（x）＜0，所以g（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，且g（x）min＝g（0）＝0，所以ex≥x＋1），可知2a3＝ea1＋ea2＞a1＋a2，所以2q2＞1＋q，解得q＞1或q＜－1对于选项D，由不等式lnx≤x－1（令h（x）＝lnx－x＋1，则h'（x）＝1－xx，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）max＝h（1）＝0，所以lnx≤x－1），可知a1＋a2＋a3＝ln（a1＋a2＋a3＋a4）≤a1＋a2＋a3＋a4－1，所以a4≥1，即a1q3≥1，因为0＜a1＜1，所以q3＞1，所以q＞1，所以选项D正确12.[2024惠州市一调]设等差数列{an}的公差为d，且d＝2a1，a5＝9.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满意a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝3－2n+32n，求{bn}的前n解析（1）依题意有d=2解得a1＝1，d＝2.于是an＝a1＋（n－1）d＝2n－1.故数列{an}的通项公式是an＝2n－1.（2）∵n∈N*，a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝3－2n∴当n≥2时，a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝3－2n两式相减得，anbn＝2n－12n（n∈N*，而当n＝1时，a1b1＝12满意上式，因此anbn＝2n－12n（由（1）知an＝2n－1，于是得bn＝12∴b1＝12，bnbn－1＝12∴{bn}是以12为首项，1∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝12[1－（12）n13.[2024石家庄市三检]已知各项均为正数的等比数列{an}满意a1＝3，a2＋a3＝36，数列{bn}的前n项和Sn满意3Sn＋n2＝3nbn＋n，b1＝23（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若存在正整数n，使得27bn3－8Man≥0成立，求实数M的取值范围.（33≈1.4，ln3解析（1）设数列{an}的公比为q（q＞0），由已知得3q＋3q2＝36，即q2＋q－12＝0，解得q＝3或q＝－4（舍），所以an＝3×3n－1＝3n.因为3Sn＋n2＝3nbn＋n，所以当n≥2时，3Sn－1＋（n－1）2＝3（n－1）bn－1＋n－1，两式作差得3（n－1）bn＝3（n－1）bn－1＋2（n－1）（n≥2），因为n≥2，所以bn－bn－1＝23，即数列{bn}是首项为23，公差为所以bn＝23＋（n－1）×23＝2（2）27bn3－8Man≥0，即M≤27b设cn＝n33n，则M小于等于数列{cn解法一设n＝k（k∈N*）时，cn最大，因为c1＝13，c2＝89＞c1，所以k＞1.所以ck≥ck－1，ck≥c即k33k≥（k－1）33k－1，k33即2.5≤k≤3.5（k∈N*），所以k＝3.故数列{cn}的最大项是c3＝3333所以M≤1，即实数M的取值范围是（－∞，1].解法二设f（x）＝x33x，则f'（x）当x∈（3ln3，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）在区间（3ln3，所以当n≥3时，数列{cn}是递减数列.又c1＝13，c2＝89，c3＝1，所以数列{cn}的最大项是c3＝所以M≤1，即实数M的取值范围是（－∞，1].14.[多选]设随机变量ξ的分布列如下：ξ12345678910Pa1a2a3a4a5a6a7a8a9a10则下列说法正确的是（ABD）A.当{an}为等差数列时，a5＋a6＝1B.当数列{an}满意an＝12n（n＝1，2，…，9）时，a10C.数列{an}的通项公式可以为an＝10D.当数列{an}满意P（ξ≤k）＝k2ak（k＝1，2，…，10）时，an＝11解析由随机变量分布列的性质可知，a1＋a2＋…＋a10＝1.对于A，若{an}为等差数列，则a1＋a2＋…＋a10＝5（a5＋a6）＝1，则a5＋a6＝15，故选项A正确；对于B，因为数列{an}满意an＝12n（n＝1，2，…，9），所以a1＋a2＋…＋a9＝12－12101－12＝1－129，又a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a10＝129，故选项B正确；对于C，因为an＝109n（n+1）＝109（1n－1n+1），所以a1＋a2＋…＋a10＝109×[（1－12）＋（12－13）＋…＋（110－111）]＝10099≠1，故选项C错误；对于D，令Sk＝P（ξ≤k）＝k2ak（k＝1，2，…，10），则ak＋1＝Sk＋1－Sk＝（k＋1）2ak＋1－k2ak，即ak+1ak＝kk+2（k＝1，2，…，9），所以an＝a1