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文档简介

第五章线性微分方程组速度例:空间质点运动的方程组微分方程组:SIR模型SIS模型Volterra模型

Lorenz方程

5.1一阶线性微分方程组在上连续.记向量形式矩阵函数,向量函数的连续,可微,可积定义为它的每一元素的连续,可微,可积.初值问题阶线性微分方程的初值问题一阶线性微分方程组的初值问题.它们的解等价.或注:

一阶线性微分方程组阶线性微分方程如关于初值问题解的存在唯一性定理:设在区间上连续,则对初值问题(E)在上存在唯一解.注：由此结论得到上一章关于n阶线性微

分方程初值问题的解的存在唯一性定理.5.2线性微分方程组的一般理论如果(5.3)称为一阶线性齐次微分方程组.(5.2)称为一阶线性非齐次微分方程组.1.叠加原理:为(5.3)的解,则也为(5.3)的解.

(5.3)的解集合构成一线性空间.2.向量函数组的线性相关性及其判断定义在区间上的向量函数线性相关,如果存在不全为0的常数

使得成立;否则称线性无关.由构成的行列式称为由构成的朗斯基行列式1.在上线性相关

注:

其逆不成立,如2.为(5.3)的解,则线性无关

结论由(5.3)的解构成的朗斯基行列式在上或者恒为0,或者处处不为0.推论为(5.3)的解,3.一阶齐次线性微分方程组一定存在个线性无关的解.则有线性相关线性无关4.为(5.3)的线性无关的解,则(5.3)的任一解可表为个推论(5.3)的线性无关的解最多个.(5.3)的个线性无关的解称为(5.3)的一个基本解组.(5.3)的所有解的解集合构成一个维线性空间.线性相关线性相关于是可得第四章中相应结论.用矩阵描述上述结论定义若一个阶矩阵为(5.3)的解矩阵.的每一列都是(5.3)的解,称在上线性无关,称若为基解矩阵若称为标准基解矩阵定理1(5.3)必有基解矩阵

若为(5.3)的任一解,则为常向量定理2(5.3)的解矩阵

为基解矩阵推论1为(5.3)的基解矩阵,C为可逆阵

也为基解矩阵推论2为的两个阶可逆阵

基解矩阵,则存在在上成立非齐次线性微分方程组对应齐次线性微分方程组1.(5.2)的两解之差为(5.3)的解易知(5.3)的解与(5.2)的解之和为(5.2)的解定理设为(5.3)的基解矩阵,为(5.2)的一个特解,则(5.2)的任一解为常向量常数变易法:代入(5.2)特解通解定理初值问题的解为(记住)例验证

为

的基解矩阵，并求

满足

的解.

解：验证略.

由常数变易公式，可得所求解为

例设

为非齐次线性方程组

的n+1个线性无关解，证明（1）的任何解X(t)可表为

其中满足证明非齐次线性方程组(1)的两个解之差：为对应齐次线性方程组的解.现证它们线性无关.设有常数使即

由线性无关知于是(2)线性无关,为对应齐次线性方程组的基本解组.由非齐次线性方程组解的结构，可得(1)的任一解可表为其中即5.1.2中的一些概念：设A为n阶常数矩阵，,定义A的范数为容易证明：称n阶矩阵序列

是收敛的，如果无穷矩阵级数

称为收敛的，若它的部分和所成序列收敛.无穷矩阵函数级数

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