人教版数学高二-新人教 《函数的极值与导数》 同步学案

3.3.2《函数的极值与导数》导学案

编写：张海军审核：祝永刚时间：2011.2.26.

姓名班级组别组名

【学习目标】

1.理解极大值、极小值的概念；

2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；

3.掌握求可导函数的极值的步骤.

【重点难点】

▲重点：能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；

▲难点：理解极大值、极小值的概念；

【学法指导】

观察、探究、数形结合。

【知识链接】

复习1：设函数)，M用在某个区间内有导数，如果在这个区间内y'>0,那么函数yMM在

这个区间内为_____函数；如果在这个区间内y'<0,那么函数yd划在为这个区

间内的________函数.

复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数兀0的导数/'(X).②令解不

等式，得x的范围就是递增区间.③令解不等式，得x的范围，就是递

减区间.

【学习过程】

知识点1:函数的极值的概念

仔细阅读课本第93-94页内容，尝试解答下列问题：

问题1：如下图，函数y=/(x)在〃，"。/©/超小等点的函数值与这些点附近的函数值有什

么关系？y=/(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=/(x)的导数的符号有什么

规律？

看出，函数y=/(x)在点x=a的函数值/(a)比它在点x=〃附近其它点的函数值都—，

/'(〃)=_；且在点x=a附近的左侧;(幻_0,右侧尸(x)—0.类似地，函数

y=/(x)在点x的函数值/⑸比它在点X=附近其它点的函数值都，/'S)=_；

而且在点x=b附近的左侧f\x)___0,右侧f\x)____0.

问题2：函数的极值的概念

我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，/(a)叫做函数y=f(x)的极小值：点b叫

做函数y=/(x)的极大值点，人刀叫做函数丫=/(x)的极大值.

极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.

极值反映了函数在某一点附近的,刻画的是函数的.

知识点2：知识点的应用

题型一：可导函数八x)的极值的概念

例1.(1)函数的极值______(填是，不是)唯一的.

(2)一个函数的极大值是否一定大于极小值.

(3)函数的极值点一定出现在区间的―(内，外)部，区间的端点(能，不能)

成为极值点.

反思：极值点与导数为0的点的关系：

导数为0的点是否一定是极值点.

比如：函数/(x)=V在x=0处的导数为，但它(是或不是)极值点.即：

导数为0是点为极值点的条件.

题型二：求函数的极值

仔细阅读课本第94页例4,尝试解答下列问题：

例2.已知函数;•(x)=d-3/—9x+n.

(1)写出函数的递减区间；

(2)讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；(3)画出它的大致图象.

题型二：已知函数的极值逆向求参数

例3.已知函数/(x)=ar'+6W+5在点与处取得极大值5,其导函数y=/'(x)的图象经过

点(1,0),(2,0),如图所示，求(1)%的值(2%,b,c的值.

小结：求可导函数人幻的极值的步骤:

(1)确定函数的定义域；

(2)求导数(x)；

(3)求方程(x)=0的根.

(4)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查

f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么人用在这个根处取得极大值；如果左负

右正，那么氏r)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么/U)在这个根处无极值.

【基础达标】

11.求下列函数的极值：

3

(1)/(x)=6x2-x-2；(2)/(X)=X-27X；

>

(3)/(x)=6+12x-d；(4)f(x)=3x-x.

2,下图是导函数y=_f(x)的图象，试找出函数y=/(x)的极值点，并指出哪些是极大值点,

哪些是极小值点.

3.如图是导函数y=/'(x)的图象，在标记的点中，在哪一点处(1)导函数y=f'(x)有极大

值？

(2)导函数y=/'(x)有极小值？(3)函数y=/(x)有极大值？(4)导函数y=/(x)有极

小值?

【归纳小结】

1.求可导函数凡X）的极值的步骤；

2.由导函数图象画出原函数图象；由原函数图象画导函数图象.

【知识拓展】

函数在某点处不可导，但有可能是该函数的极值点.

由些可见：“有极值但不一定可导”

【当堂检测】

1.函数y=2—丁-丁的极值情况是（）

A.有极大值，没有极小值

B.有极小值，没有极大值

C.既有极大值又有极小值

D.既无极大值也极小值

2.三次函数当x=l时，有极大值4；当x=3时，有极小值0,且函数过原点，则此函数是

（）

A.y=丁+6x2+9xB.y=x3—6x2+9x

C.y=x3-6x2-9xD.y=x3+6x2-9x

3.函数/（幻=丁一以2-瓜+。2在x=l时有极值10,贝I」匕的值为（）

A.。=3力=一3或。=~=11

B.a=—4,6=1或a=—4,/?=11

C.a——\,b=5D.以上都不正确

4.函数/。）=/+如2+3*-9在x=-3时有极值10,则。的值为

5.函数/（x）=V-3奴2+43＞（））的极大值为正数