新教材高中数学必修第一册5 .2 三角函数的概念

5.2三角函数的概念

5.2.1三角函数的概念

【学习目标】1.借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义2掌握任意角三角

函数（正弦、余弦、正切）在各象限的符号3会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦、

正切4掌握公式并会应用.

知识梳理梳理教材夯实基•础

-------------------------------------------------------------------N--------------------

知识点一任意角的三角函数的定义

设a是一个任意角，aGR,它的终边。尸与单位圆相交于点尸（x,y）,

点P的纵坐标上叫做a的正弦函数，记作sina,即sina=1；点尸的横坐标工叫做a的余弦

函数，记作cosa,即cosa=g；把点P的纵坐标与横坐标的比值即U做a的正切，记作tana,

即tana=*xW0).

正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为：

正弦函数〉=$111方xGR；

余弦函数），=85彳，XGR;

正切函数丫=1211*,

思考三角函数值的大小与点P在角a终边上位置是否有关？

答案三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角a的

终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.

知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号

1.图示：

sina

2.口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.

知识点三公式一

sin(a+2k7t)=sina,

cos(a+2hr)=cosa,

tan(a+2E)=tana,

其中kQZ.

终边相同的角的同一三角函数的值相笠.

思考同一三角函数值相等时，角是否一定相等或相差周角的整数倍？

答案不一定，如sin30°=sin150。=/

・思考辨析判断正误

1.sina表示sin与a的乘积.(X)

2.设角a终边上的点P(x,y),厂=|OP|WO,则sin且y越大，sina的值越大.(义)

3.终边相同的角的同一三角函数值相等.(V)

4.终边落在y轴上的角的正切函数值为0.(X)

题型探究探究重点素养提升

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一、任意角三角函数的定义及应用

例1(1)已知角a的终边与单位圆的交点为P(|,力。，＜0),则tana=.

答案甘4

解析因为点在单位圆上，则卷+V=1，

44

所以\=_予所以tana=_Q.

(2)已知角心的终边落在射线y=2/(x20)上，求sina,cosa的值.

解设射线y=2r(x20)上任一点P(xo,州)，

则|。尸|=)=、%+%,

***yo=2Xo,:.r=yj5xo,

・•_VO_2A/5_X()_A/5

••sina——,cosoc——二.

r5cr5

延伸探究

1.若将本例(1)中条件“a的终边与单位圆的交点为P(|,y)0(0)”改为“a的终边经过点

P(—3,—4)”，求角a的正弦、余弦和正切值.

解由已知可得|。P=7(-3A+(-4)2=5.

如图所示，设角a的终边与单位圆交于点Po(x,y).

分别过点P,Po作x轴的垂线PM,PoMo,

则|MP|=4,|M)Po|=-y,

|OM=3,|OMo|=-x,

△OMPs^OMoPo,

于是，sina=y=1IM岛IT〃P|

\OPo\"\OP\

x_|OMo|~\OM\3

cos=;

a=x=[=~\OP(}\\OP\5

ysina4

tana===7,

xcosa3

2.若将本例(2)中条件“a的终边落在射线y=2x(x2O)上“，换为"a的终边落在直线)=2%

上”，其结论又如何呢？

解(1)若a的终边在第一象限内,

设点P(a,2a)(a＞0)是其终边上任意一点,

因为r=|OP|=/2+4/=小a

y2a2小xaA/5

所以sin

°〒宣=5，c°s『；=b5.

(2)若a的终边在第三象限内,

设点P(a,2a)(。＜0)是其终边上任意一点,

因为r=\OP\=y]a2+4a2=—y[5a[a<0),

所以sina=＞考2^5x亚

cosa=;

5，—y[5a5•

反思感悟利用三角函数的定义求值的策略

(1)已知角a的终边在直线上求a的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种:

①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值.

②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a,b)(a#O),则

ba,正切值tana=5.

对应角的正弦值sina=,余弦值cosa=

7a2+扶y]a2+b2

(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.

跟踪训练1已知角a的终边过点P(-3a,4a)(aW0),则2sin«+cosa=

答案1或一1

解析因为r=q(-3a)2+(4a)2=5|a|,

①若”>0,则r=5a,角a在第二象限.

y4。4x—3。3

sina=cosa=~=~^-

r~5a~5"「5a

所以2sina+cos0=5—；=1.

②若a<0,则r=-5m角a在第四象限,

4。4—3a3

sina=——=—7,cosa——~=7.

—5aJ—5aJ

所以2sina+cosa=—g+；=­1.

二、三角函数值符号的运用

例2(1)已知点？侬116{,85编在第四象限，则角a的终边在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

(2)下列各式：

①sin(-100°)；②cos(—220°)；③tan(-10)；④cos兀.

其中符号为负的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案(1)C(2)D

[tana>0,

解析(1)因为点p在第四象限，所以有

[cos«<0,

由此可判断角a的终边在第三象限.

(2)—100。在第三象限,故sin(—100。)<0；—220。在第二象限，故cos(—220。)<0；

一106(一%，一3兀)，在第二象限，故tan(-IO)<O,cosn=-l<0.

反思感悟判断三角函数值正负的两个步躲

(1)定象限：确定角a所在的象限.

(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即''一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断.

跟踪训练2已知点;>6出如(：0$公在第三象限，则角a的终边在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

三、公式一的应用

例3计算下列各式的值：

(l)sin(-l395°)cos1HO°+cos(-l020°)sin750°；

八、.(HKV12兀，

(2)sml।cos-^tan4n.

解(1)原式

=sin(-4X360。+45°)cos(3X360。+30°)+cos(-3X360°+60°)sin(2X360°+30°)

=sin45°cos300+cos60°sin30°

^2^3,ll^6

-=2X2+2Xx2-=4十4-4.

(2)原式=sin(—2n+5)+cos(2兀+卷)tan(47t+0)=sin*+cos•X0=g.

反思感悟利用诱导公式一求解任意角的三角函数的步骤

跟踪训练3（1）8$405。的值是（）

答案C

解析cos405°=cos(45°+360°)=cos45°=

257t,(15叫

(2)sin亍+tan(F=

答案/+1

sin号+tan(|一号=sin(j+8兀)+tan(；-4兀)=7C.兀Al

解析=smz-rtan不2।上•

随堂演练基础巩固学以致用

「--------------------------------------------------------------------------N----------------------

1.已知角a的终边经过点（一4,3）,则cosa等于（）

A4c3「3n4

A.gB.gC.—D.一§

答案D

2.如(一315。)的值是()

A.一坐B.-1C.乎D.g

答案C

解析sin(-315o)=sin(-360o+45°)=sin45。=拳

3.若sin夕cos0>0,贝U9在()

A.第一或第四象限B.第一或第三象限

C.第一或第二象限D.第二或第四象限

答案B

解析因为sin0-cos仍>0,

所以sin9<0,cos夕<0或sinGO,cos0>0,

所以。在第一象限或第三象限.

5.y=sinx+tanx的定义域为

答案卜卜#方+航，k《z-

产R,

解析要使函数有意义，需满足珞+也，旧,

函数的定义域为卜卜#彳+航，kU

■课堂小结

1.知识清单：

(1)三角函数的定义及求法；

(2)三角函数在各象限内的符号；

(3)公式一.

2.方法归纳：负角化为正角、大角化为小角的化归思想；角的终边位置上点的不确定引起的

分类讨论思想.

3.常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域

为I，卜考+伍kGZp

课时对点练注重双底强化落实

g基础巩固

1.已知角a的终边与单位圆交于点（一坐，一；），则sina的值为（）

A.一坐B.一；C.坐D.；

答案B

2.若cosa=一半，且角a的终边经过点P（x,2）,则P点的横坐标彳是（）

A.2小B.±2小C.-2^2D.一2小

答案D

解析因为cosa=—坐<0,所以x<0,

又/•=4?转，由题意得右看=一坐，

所以x=-2，I故选D.

3.有下列命题，其中正确的个数是（）

①终边相同的角的同名三角函数值相等；

②同名三角函数值相等的角也相等；

③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等；

④不相等的角，同名三角函数值也不相等.

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析对于①，由诱导公式一可得正确；

对于②，由sin30°=sin150°=）

但30。4150。，所以②错误；

对于③，如a=60。，夕=120。的终边不相同,

但sin60°=sin120°=坐,所以③错误；

对于④，由③中的例子可知④错误.

4.代数式sin（—330°）cos390°的值为（）

答案B

解析由诱导公式可得，

sin(-330°)cos390°=sin30°Xcos300

5.函数y=3sinx+y/—cosx的定义域是（）

A.（2E,2%兀+兀），kGZ

B.2E+5,2E+兀,1£Z

兀

C.E+/,kit-Yit,k£Z

D.[2E,2E+?c],1WZ

答案B

解析由sinx^O,—cosx^O,

得x为第二象限角或y轴正半轴上的角或x轴负半轴上的角，

JT

所以2E+2〈xW2E+兀，攵£Z.

6.若420。角的终边所在直线上有一点（一4,ci）,则。的值为

答案一4小

解析由三角函数定义知，tan420。=一*

又tan420°=tan（360°+60°）=tan60。=小，

；.一a=小，.*.a=-4-\/3.

7.点P（tan2019。，cos2019。）位于第象限.

答案四

解析因为2019°=5X360°+219°,

所以2019。与219。终边相同，是第三象限角，

所以tan2019°>0,cos2019°<0,

所以点尸位于第四象限.

8.已知角a的终边经过点（3〃-9,a+2）,且cosaWO,sin«>0,则实数a的取值范围是.

考点三角函数值在各象限的符号

题点三角函数值在各象限的符号

答案（-2,3]

解析由cosa^0,sina>0可知，角a的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以

3o—9W0,

解得一2<aW3.

〃+2>0,

9.已知角a的终边过点尸（12,a）,且tana=^,求sina+cosQ的值.

解根据三角函数的定义，tana=的=K，

所以〃=5,所以P(12,5).这时r=13,

51217

所以sina=石，cos从而sina+cos

10.化简下列各式：

75TI

(l)sin/TI+COSs兀+cos(—5兀)+tan不

(2)a2sin810°-/?2cos900°+2^tan1125°.

371

解⑴原式=sin1兀+cosg+cosn+l

=-1+0—1+1=—1.

(2)原式=/sin90。一/cos180°+2a/?tan45°

=a2+Z>2+2ab=(a+b)2.

牙综合运用

11.如果点P（sin8+cosasinHeos。）位于第二象限，那么角。所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

sin0+cos0<0,

解析•••P点位于第二象限,

sin0-cos0>0,

贝！I有sin0<0且cosG<0,

...角J位于第三象限.

12.某点从点（1,0）出发，沿单位圆/+9=1按逆时针方向运动竽弧长到达。点，则。点的

坐标为（）

A.（_/坐）B.（一哈一§

C.（T-乎）D.（一坐,

答案A

解析由三角函数定义可得/co号，siny）,

2n1.27ts

cos-y=—2»sin,y=•

13.如果cosx=|cosx|,那么角x的取值氾围是.

7ETT

答案［2也一》2E+升kQZ

解析因为cosx=|cosx|,所以cosxNO,所以角x的终边落在y轴或其右侧