第八章《立体几何初步》综合测评答案

第八章《立体几何初步》综合测评参考答案选择题题号1234567891011答案BCCDBCDDABDABBD一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知直线,其中在平面内.则“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解：若，则，无法得到，充分性不成立；若，则垂直于内所有直线，可得到，，必要性成立；“，”是“”的必要而不充分条件.2.已知的斜二测画法的直观图为，若，则的面积为（）A. B. C. D.解：由条件可知，，由解得.3.一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为，则该圆锥的母线长为（）A.3 B. C.6 D.解：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥侧面展开的扇形面积为，底面圆面积为，因为，所以，得，所以圆锥的体积为，解得，所以，即圆锥的母线长为6.4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则解：当，时，可能有，但也有可能或，故A选项错误；当，时，可能有，但也有可能或，故选项B错误；在如图所示的正方体中，取为，为，为平面，为平面，这时满足，，，但不成立，故选项C错误；当，，时，必有，从而，故选项D正确；5.如图，在正方体中，点E，F为棱上的中点，则异面直线EF与BD所成角的大小为（）A.90° B.60° C.45° D.30°解：由题意得，故异面直线EF与BD所成角即为，而是等边三角形，故，6.已知一个棱长为的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为，与该正方体每条棱都相切的球半径为，过该正方体所有顶点的球半径为，则下列关系正确的是（）A. B.C. D.解：由题意得，所以，所以，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C正确；，故选项D错误；7.如图，在三棱柱中，底面ABC，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（）A.1:2 B.4:5 C.4:9 D.5:7解：不妨令，且上下底面等边三角形，又底面ABC，易知为直三棱柱，即侧面为矩形，所以三棱柱体积，而，故，所以，故，所以.8.木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为1的正方形，且，均为正三角形，，，则该木楔子的体积为（）A B. C. D.解：如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接，则由题意等腰梯形全等于等腰梯形，则.取的中点O，连接，因为，所以，则，∴.因为，，所以，因为四边形为正方形，所以，又因为，平面，所以平面，所以平面，同理可证平面，∴多面体的体积，二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法不正确的是（）A.底面是矩形的四棱柱是长方体B.有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的几何体叫平行六面体C.棱柱的各个侧面都是平行四边形D.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱解：对于A，底面是矩形的直棱柱是长方体，故A错误，对于B，有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的几何体不一定是平行六面体.例如正方体中，取分别为侧棱上的点，且,则几何体满足有两个面平行，其余四个面都是平行四边形，但其不是平行六面体，故B错误，对于D，底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体，由两个面互相平行，其余各面均为四边形，且相邻两个四边形的公共边互相平行的几何体是棱柱.故有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱.如：,故D错误.对于C,棱柱的各个侧面都是平行四边形,故C正确，10.在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点），则下列说法正确的是（）A.存在点，使得平面B.对于任意点，都有平面平面C.异面直线与所成角的余弦值的取值范围是D.若平面，则平面截该正方体的截面图形的周长最大值为解：在棱长为2的正方体中，为棱上的动点（含端点），对于A，当点与重合时，由，得，有，而平面，平面，因此平面，即平面，A正确；对于B，由平面，平面，得，又，平面，则平面，而平面，因此平面平面，B正确；对于C，由平面，平面，得，因为，显然是锐角，则是异面直线与所成的角，而，，C错误；对于D，当点与重合时，与选项B同理得平面，当平面为平面时，平面截正方体所得截面图形为矩形，其周长为，D错误.11.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图在堑堵中，，，，分别为棱，的中点，则（）A.四面体不为鳖臑B.平面C.若，则与所成角的正弦值为D.三棱锥的外接球的体积为定值解：对于A，在堑堵中，平面，平面，所以，，，所以、均为直角三角形，因为，所以为直角三角形，且，平面，所以平面，平面，所以，所以为直角三角形，所以四面体为鳖臑，故A错误；对于B，如图，连接相交于点，所以点为的中点，连接，所以，，因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，故B正确；对于C，，由B选项知，，所以与所成角即与所成角或其补角，因为，所以，连接，所以，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以为锐角，则，故C错误；对于D，如图，连接，由A选项可知，、均为直角三角形，且，，且点为的中点，所以，所以点是三棱锥的外接球的球心，且外接球的半径为，因为，所以为直角三角形，所以三棱锥的外接球的体积为，与长度无关，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为______解：设该圆锥的母线长为，底面圆的半径为，由，得.因为，所以，所以该圆锥的体积为.13.已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为______．解：设球的半径为，圆柱的底面半径为，母线为，则由题意知，，解得．又圆柱的两个底面的圆周在体积为的球的球面上，则圆柱的两个底面圆的圆心关于球心对称，且．则圆柱的侧面积，，因为，当且仅当，即，时，等号成立．所以，．14.农历五月初五是端午节.这一天民间有吃粽子习俗，据说是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国诗人屈原.粽子的形状有多种.今有某种粽子类似于由一个直角三角形绕它的一条直角边旋转（如图）而成.如果粽子的馅可以看成是这个几何体内的一个球状物，则粽子馅的最大体积为______.解：如图所示：是的中点，连接，，，，则，，根据对称性，球心在平面内，设为，设球半径为，当球体积最大时，球与平面，平面，平面和直线相切，设切点分别为，，，，平面与直线交于点，则四边形为正方形，边长为，中，，，根据等面积法：，解得，球的体积.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，，（1）证明：EA∥平面BCF；（2）证明：平面EAC⊥平面FAC.解：（1）在正方形ABCD中，，又由AD⊂平面ADE，BC平面ADE，故BC//平面ADE.∵，同理可证FB//平面ADE，又∵，BC，BF⊂平面BCF，∴平面ADE//平面BCF，又∵EA⊂平面ADE，∴平面BCF（2）如图，连接BD交AC于O，连接OE,OF.设，则由ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以，又，且，ED，BD⊂平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF，又OE，OF⊂平面BDEF，所以，所以∠EOF是二面角的平面角，在三角形EOF中，，所以，所以，二面角是直二面角，即证平面EAC⊥平面FAC.16.如图所示，在三棱锥ABCD中，AB＝CD，E、F分别为BC、AD的中点．（1）若AB⊥CD，求EF与AB所成的角的大小；（2）若AB＝CD＝2，且异面直线AB与CD所成角的大小为60°，求线段EF的长．解：（1）取BD的中点G，连接EG、FG；因为E、F分别为BC、AD的中点，所以EG∥CD，GF∥AB，且EG＝CD，GF＝AB；又AB＝CD，所以EG＝GF；因为AB⊥CD，所以EG⊥GF；在△EGF中，EG＝GF，EG⊥GF，所以△EGF为等腰直角三角形，得∠EFG＝45°；因为GF∥AB，所以EF与AB所成的角即为∠EFG，即EF与AB所成的角的大小为45°；（2）因为AB＝CD＝2，所以EG＝GF＝1；因为AB与CD所成角的大小为60°，所以∠EGF＝60°或120°；在△EGF中，当∠EGF＝60°时，此三角形等边三角形，故EF＝1；在△EGF中，当∠EGF＝120°时，由余弦定理得，EF2＝EG2＋GF2－2EG·GF·cos120°＝3，故EF＝，综上，或17.如图，在直四棱柱中，平面，底面是菱形，且，是的中点.（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）∵，为等边三角形，又是的中点.∴，∵平面，且在平面内，，∵在平面内，CB在平面内，且，所以平面（2）是等边三角形，取中点，则，又平面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，是直线与平面所成角，在中，，所以，，所以，.18.在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，平面平面，（1）求证：（2）求直线与平面所成角余弦值.解：（1）取AD的中点E，连接PE，BE，如下图：，又是等边三角形，即，平面PBE，平面PBE，平面PBE，；（2），，，平面平面ABCD，平面平面平面ABCD，平面ABCD，，在中，，过A点作平面PBE的垂线，得垂足H，连接DH，与平面PBD夹角即为AD与平面PAD的夹角，设其为，则，下面用等体积法求出AH的长度，，在中，，，在中；综上，直线BC与平面PBD所成角的余弦值为.19.几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点.（1）求证