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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A,B两点,则的最小值是A.10 B.9 C.8 D.72.已知奇函数是上的减函数,若满足不等式组,则的最小值为()A.-4 B.-2 C.0 D.43.已知函数,其中表示不超过的最大正整数,则下列结论正确的是()A.的值域是 B.是奇函数C.是周期函数 D.是增函数4.“”是“函数的图象关于直线对称”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知复数是纯虚数,其中是实数,则等于()A. B. C. D.6.设集合,,若集合中有且仅有2个元素,则实数的取值范围为A. B.C. D.7.已知,,则的大小关系为()A. B. C. D.8.对于定义在上的函数,若下列说法中有且仅有一个是错误的,则错误的一个是()A.在上是减函数 B.在上是增函数C.不是函数的最小值 D.对于,都有9.设过抛物线上任意一点(异于原点)的直线与抛物线交于两点,直线与抛物线的另一个交点为,则()A. B. C. D.10.设,满足约束条件,则的最大值是()A. B. C. D.11.点为不等式组所表示的平面区域上的动点,则的取值范围是()A. B. C. D.12.已知函数(,,),将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的部分图象如图所示,则是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.命题“”的否定是______.14.(5分)已知椭圆方程为,过其下焦点作斜率存在的直线与椭圆交于两点,为坐标原点,则面积的取值范围是____________.15.若双曲线的两条渐近线斜率分别为,,若,则该双曲线的离心率为________.16.已知是定义在上的偶函数,其导函数为.若时,,则不等式的解集是___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(为参数).以平面直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程;(2)设和交点的交点为,求的面积.18.(12分)已知数列为公差不为零的等差数列,是数列的前项和,且、、成等比数列,.设数列的前项和为,且满足.(1)求数列、的通项公式;(2)令,证明:.19.(12分)设函数,,.(1)求函数的单调区间;(2)若函数有两个零点,().(i)求的取值范围;(ii)求证:随着的增大而增大.20.(12分)随着改革开放的不断深入,祖国不断富强,人民的生活水平逐步提高,为了进一步改善民生,2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策,其政策的主要内容包括:(1)个税起征点为5000元;(2)每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点专项附加扣除;(3)专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用等.其中前两项的扣除标准为:①赡养老人费用:每月扣除2000元②子女教育费用:每个子女每月扣除1000元.新个税政策的税率表部分内容如下:级数一级二级三级四级每月应纳税所得额(含税)不超过3000元的部分超过3000元至12000元的部分超过12000元至25000元的部分超过25000元至35000元的部分税率3102025(1)现有李某月收入29600元,膝下有一名子女,需要赡养老人,除此之外,无其它专项附加扣除.请问李某月应缴纳的个税金额为多少?(2)为研究月薪为20000元的群体的纳税情况,现收集了某城市500名的公司白领的相关资料,通过整理资料可知,有一个孩子的有400人,没有孩子的有100人,有一个孩子的人中有300人需要赡养老人,没有孩子的人中有50人需要赡养老人,并且他们均不符合其它专项附加扣除(受统计的500人中,任何两人均不在一个家庭).若他们的月收入均为20000元,依据样本估计总体的思想,试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额的分布列与期望.21.(12分)已知数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,证明:.22.(10分)已知凸边形的面积为1,边长,,其内部一点到边的距离分别为.求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
根据抛物线中过焦点的两段线段关系,可得;再由基本不等式可求得的最小值.【详解】由抛物线标准方程可知p=2因为直线l过抛物线的焦点,由过抛物线焦点的弦的性质可知所以因为为线段长度,都大于0,由基本不等式可知,此时所以选B【点睛】本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用,基本不等式的用法,属于中档题.2、B【解析】
根据函数的奇偶性和单调性得到可行域,画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】奇函数是上的减函数,则,且,画出可行域和目标函数,,即,表示直线与轴截距的相反数,根据平移得到:当直线过点,即时,有最小值为.故选:.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性,线性规划问题,意在考查学生的综合应用能力,画出图像是解题的关键.3、C【解析】
根据表示不超过的最大正整数,可构建函数图象,即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性,进而下结论.【详解】由表示不超过的最大正整数,其函数图象为选项A,函数,故错误;选项B,函数为非奇非偶函数,故错误;选项C,函数是以1为周期的周期函数,故正确;选项D,函数在区间上是增函数,但在整个定义域范围上不具备单调性,故错误.故选:C【点睛】本题考查对题干的理解,属于函数新定义问题,可作出图象分析性质,属于较难题.4、A【解析】
先求解函数的图象关于直线对称的等价条件,得到,分析即得解.【详解】若函数的图象关于直线对称,则,解得,故“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件.故选:A【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断,考查了学生逻辑推理,概念理解,数学运算的能力,属于基础题.5、A【解析】
对复数进行化简,由于为纯虚数,则化简后的复数形式中,实部为0,得到的值,从而得到复数.【详解】因为为纯虚数,所以,得所以.故选A项【点睛】本题考查复数的四则运算,纯虚数的概念,属于简单题.6、B【解析】
由题意知且,结合数轴即可求得的取值范围.【详解】由题意知,,则,故,又,则,所以,所以本题答案为B.【点睛】本题主要考查了集合的关系及运算,以及借助数轴解决有关问题,其中确定中的元素是解题的关键,属于基础题.7、D【解析】
由指数函数的图像与性质易得最小,利用作差法,结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系,进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知,由对数函数的图像与性质可知,,所以最小;而由对数换底公式化简可得由基本不等式可知,代入上式可得所以,综上可知,故选:D.【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形,对数换底公式及基本不等式的简单应用,作差法比较大小,属于中档题.8、B【解析】
根据函数对称性和单调性的关系,进行判断即可.【详解】由得关于对称,若关于对称,则函数在上不可能是单调的,故错误的可能是或者是,若错误,则在,上是减函数,在在上是增函数,则为函数的最小值,与矛盾,此时也错误,不满足条件.故错误的是,故选:.【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用,结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键.9、C【解析】
画出图形,将三角形面积比转为线段长度比,进而转为坐标的表达式。写出直线方程,再联立方程组,求得交点坐标,最后代入坐标,求得三角形面积比.【详解】作图,设与的夹角为,则中边上的高与中边上的高之比为,,设,则直线,即,与联立,解得,从而得到面积比为.故选:【点睛】解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系,进而联立方程组求解,是一道不错的综合题.10、D【解析】
作出不等式对应的平面区域,由目标函数的几何意义,通过平移即可求z的最大值.【详解】作出不等式组的可行域,如图阴影部分,作直线:在可行域内平移当过点时,取得最大值.由得:,故选:D【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法,属于基础题.11、B【解析】
作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,利用的几何意义即可得到结论.【详解】不等式组作出可行域如图:,,,的几何意义是动点到的斜率,由图象可知的斜率为1,的斜率为:,则的取值范围是:,,.故选:.【点睛】本题主要考查线性规划的应用,根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键.12、B【解析】
先根据图象求出函数的解析式,再由平移知识得到的解析式,然后分别找出和的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出.【详解】设,根据图象可知,,再由,取,∴.将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,∴.,,令,则,显然,∴是的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换,二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、,【解析】
根据特称命题的否定为全称命题得到结果即可.【详解】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题,则该命题的否定是:,故答案为:,.【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系,属于基础题.14、【解析】
由题意,,则,得.由题意可设的方程为,,联立方程组,消去得,恒成立,,,则,点到直线的距离为,则,又,则,当且仅当即时取等号.故面积的取值范围是.15、2【解析】
由题得,再根据求解即可.【详解】双曲线的两条渐近线为,可令,,则,所以,解得.故答案为:2.【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.16、【解析】
构造,先利用定义判断的奇偶性,再利用导数判断其单调性,转化为,结合奇偶性,单调性求解不等式即可.【详解】令,则是上的偶函数,,则在上递减,于是在上递增.由得,即,于是,则,解得.故答案为:【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】
(1)先将曲线的参数方程化为普通方程,再将普通方程化为极坐标方程即可.(2)将和的极坐标方程联立,求得两个曲线交点的极坐标,即可由极坐标的含义求得的面积.【详解】(1)曲线的参数方程为(α为参数),消去参数的的直角坐标方程为.所以的极坐标方程为(2)解方程组,得到.所以,则或().当()时,,当()时,.所以和的交点极坐标为:,.所以.故的面积为.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化,直角坐标方程与极坐标的转化,利用极坐标求三角形面积,属于中档题.18、(1),(2)证明见解析【解析】
(1)利用首项和公差构成方程组,从而求解出的通项公式;由的通项公式求解出的表达式,根据以及,求解出的通项公式;(2)利用错位相减法求解出的前项和,根据不等关系证明即可.【详解】(1)设首项为,公差为.由题意,得,解得,∴,∴,∴当时,∴,.当时,满足上式.∴(2),令数列的前项和为.两式相减得∴恒成立,得证.【点睛】本题考查等差数列、等比数列的综合应用,难度一般.(1)当用求解的通项公式时,一定要注意验证是否成立;(2)当一个数列符合等差乘以等比的形式,优先考虑采用错位相减法进行求和,同时注意对于错位的理解.19、(1)见解析;(2)(i)(ii)证明见解析【解析】
(1)求出导函数,分类讨论即可求解;(2)(i)结合(1)的单调性分析函数有两个零点求解参数取值范围;(ii)设,通过转化,讨论函数的单调性得证.【详解】(1)因为,所以当时,在上恒成立,所以在上单调递增,当时,的解集为,的解集为,所以的单调增区间为,的单调减区间为;(2)(i)由(1)可知,当时,在上单调递增,至多一个零点,不符题意,当时,因为有两个零点,所以,解得,因为,且,所以存在,使得,又因为,设,则,所以单调递增,所以,即,因为,所以存在,使得,综上,;(ii)因为,所以,因为,所以,设,则,所以,解得,所以,所以,设,则,设,则,所以单调递增,所以,所以,即,所以单调递增,即随着的增大而增大,所以随着的增大而增大,命题得证.【点睛】此题考查利用导函数处理函数的单调性,根据函数的零点个数求参数的取值范围,通过等价转化证明与零点相关的命题.20、(1)李某月应缴纳的个税金额为元,(2)分布列详见解析,期望为1150元【解析】
(1)分段计算个人所得税额;
(2)随机变量X的所有可能的取值为990,1190,1390,1590,分别求出各值对应的概率,列出分布列,求期望即可.【详解】解:(1)李某月应纳税所得额(含税)为:29600−5000−1000−2000=21600元
不超过3000的部分税额为3000×3%=90元
超过3000元至12000元的部分税额为9000×10%=900元,
超过12000元至25000元的部分税额为9600×20%=1920元
所以李某月应缴纳的个税金额为90+900+1920=2910元,
(2)有一个孩
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