实变函数测试题6-参考答案_第1页
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PAGEPAGE3实变函数测试题6本套试题参考答案由黄玉芳提供（信计1班，2008750204），有问题联系152003298211、设是一列集合，作，。证明是一列互不相交的集，而且，。证明：（1）设，，，不妨设，则，。那么由与不交，可知与不交。由i与j的任意性可知：{}是一列互不相交的集。（2）采用数学归纳法证明：当n=1时，由已知可知=，结论成立。假设当n=k时结论成立，那么当n=k+1时，=））=）)所以，命题成立。2、证明：点集为闭集的充要条件是。证明：必要性：由为闭集可知又所以充分性：，即F的聚点都属于FF为闭集。3、设，求。解：记所有的有理数为，，……那么A中的元素可由两个相互独立的记号一一加以决定而且各记号跑遍有理数。则A为可数点集。又可数点集的外侧度为0；所以=0。4、证明：若E可测，对于任意>0，恒有开集G及闭集F，使而,。证明：（1）先设由外侧度定义可知，有一列开区间{},i=1,2……使得，且令G=，则G为开集且G那么有又所以则其次则E为无界集，但它总可表示成可数多个互不相交的有界可测集的和：（），对每个运用上面的结果，可找到开集，，且令,则G为开集且G）则（2）由E可测，可知可测，则必定存在开集G使得G且，取，则为闭集，且综合（1）（2）可知，命题得证。5、设是上的连续函数，，是上的实值可测函数。试证明是上的可测函数。证明：由已知可知：必定存在两列定义在上的简单函数{}和{}使得：，，那么，也为一列简单，又是上的连续函数所以：，=，）=即为一列简单函数的极限是上的可测函数。6、作上函数，试证明是上的可测函数，并且对上任何连续函数，均有，此结果与鲁津定理的第二种形式有无矛盾，为什么?证明：（1）对任意的有限实数所以，是上的可测函数（2）对上任何连续函数，则必定有界，不妨设||<M，其中M为一个常数那么当M时，则当M=0时，，命题得证。（3）不矛盾鲁津定理的第二种形式的结论为：闭集F和R上的连续函数，在F上，=，且也就是说满足并不要求7、试求。解：，设则=8、设为上可积函数列，于,且,为常数，则可积。证明：设对有则|那么K又即所以故||可积，所以可积。9、设在[a,b]上R反常积分存在（可积），证明：在[a,b]上L可积的充分必要条件为在[a,b]上R反常积分存在（可积），并且此时成立证明：必要性由数学分析中可知显然成立显然成立，下证充分性显然不可能在[a,b]上的积分同时为+，否则，与在[a,b]上R反常积分存在即有限矛盾。所以积分确定，又由在[a,b]上R反常积分

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