高中数学讲义：函数与导数训练

高中数学讲义：函数与导数专题训练

目录

1.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，第1-10题只有一项符合题目要

求，第11-12题有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）............1

2.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上）............................6

3.解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）....................7

1.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个

选项中，第1-10题只有一项符合题目要求，第11-12题有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分）

2x+12(x<0)

/(x)=2

1.已知函数[x—3x—3(x>0),则/(/⑴)=()。

A、-5B、°C、1D、2

【答案】D

【解析】/0)=1-3-3=-5,/(-5)=2X(-5)+12=2,故选口。

2.已知函数a=.f(log20Z,b=八外唯，c=/(。啰与，则()。

A、a<b<cB、b<c<ac、ci<c<bD、b<a<c

【答案】c

【解析】由题意可知/(X)是定义在R上的单调递增函数，

0203

ylog20.2<log2l=0,1=2°<2-<2'=2,0<O.2<0.2°=1,:.a<c<b,故选C。

31n_M

3.函数2,的大致图像是（）。

31n|x|31n|x「e"

T（_V*I——

【解析】由题意知/（X）的定义域为-2"，-2

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贝I」/(X)且f(x)丰f(-x),

••・函数〃X)既不是奇函数，也不是偶函数，排除B、D,

又当x<-1时/*)>0,...排除选项加故选A。

4.若函数”x)=l欧以-2x+a)的定义域为R,则实数。的取值范围为()。

A、(-hO)B、(°[)C、1°」D、(L

【答案】D

【解析】等价于g(x)=，*-2x+a>0恒成立，

若a=0,则g(x)=_2x,不可取，

若“0,则需A=4-4/<0,解得。>1,

二。的范围为(L+8),故选D。

5.若函数〃x)为定义在R上的奇函数，且满足〃x+4)=/(-x),当xw(0,2]时/(x)=2，，则

/(0)+/(1)+

/(2)+---+/(2020)=()。

A、0B、2C、6D、8

【答案】D

【解析】••J(X+4)=〃T),且A》)为奇函数，.•・)(X+4)=—/(X),.••周期T=8,

.."(0)=0、/⑴=2、/⑵=4、〃3)=/(-1+4)=/⑴=2、〃4)=/(0)=0、

/(5)=/(I+4)=/(-1)=-/(I)=-2、/(6)=/(2+4)=/(-2)=-/(2)=-4、

/(7)=/(3+4)=f(-3)=-f(3)=-2,

,../(0)+/(1)+---+/(7)=0+2+4+2+0-2-4-2=0,

,../(0)+/(1)+-+/(2020)=252[/(0)+/(1)+-+/(7)]+/(0)+/(1)+/(2)+/(3)+/(4)

=252x0+0+2+4+2+0=8,故选D。

6.已知曲线=I则曲线在点M。，/。））处的切线方程是（）。

A9x—3y-5=0g9x—3y+5=03x-y-2=0p3x+y-2=0

【答案】A

33

…4/(x)=1x+x-^-'/(l)=1xl+lxe'-'=l

【解析】•••3，：.33,3,

第2页共12页

又r（x）=.2+/T+X./T,...r（l）=12+/T+1X/T=3,

44_

故曲线/（x）在点""'3）处的切线方程为）“3=gT）,即9x-3y-5=0,故选人。

7.设曲线/（力=m.85Y，"£J）上任意一点P*,y）处切线斜率为g（x）,则函数'="2抬。）的部

分图像可以为（）。

［解析］v/W=m-cosx（We凡）上任一点P（x，y）处切线率为g8,

.g（x）=/'（x）=-m-sinx.y=x2-g（x）=-m•x2sinx

该函数为奇函数，且当x-0+时，y<°,故选D。

炉+元+1

8.已知函数A©满足：VxeR,/（x）=2-/（-x）?则函数外、=FT+.⑴的最大值与最小

值的和为（）。

A、2B、2^2C、4D、8

【答案】A

〃X、+X+1_1X

【解析】..J（x）+/（T）=2,则/（X）关于点（0,1）中心对称，设心x2+l+777,

XX

•.•）'=FTT为奇函数，则"关于点（°，°）中心对称，做幻关于点（°」）中心对称,

则g（x）也关于点（0,1）中心对称，最大值与最小值的和为2,选A。

9.已知函数F（x）=e*+x2+ln（x+a）与函数g（x）=e，+eT+x2（x<0）的图像上存在关于y轴对称的

点，则实数。的取值范围为（）。

第3页共12页

【答案】B

【解析】由题意得，g(T)=/(X)在(0,+8)上有解，

即e-=ln(x+a)在(0,+8)上有解，

即函数'="'与函数y=ln(x+n)的图像在(0,+oc)上有交点，

函数y=ln(x+a)的图像是由函数y=lnx的图像左右平移得到的，

且当y=ln(x+a)的图像经过点(0,1)时，函数与函数y=ln*+a)的图像有界交点，

此时代入点©1),有l=1n(O+a),得“=e,故选及

10.若函数/3=/+6-2"€勺在(-8,0)内有且只有一个零点，则/(X)在I©上的最大值与

最小值之和为()。

A、2B、4C、-2D、-4

【答案】D

【解析】由题意可得，((幻=3*+〃，

2

①当aNO时，r(x)=3x+«>0>...〃幻=/+以一2(4€/?)在尺上单调递增，

../(0)=-2<0；...函数/(幻=/+奴—2(aeR)在(-co。)内没有零点；

2…口

②当a<0时，令/'(x)=3x+a=0,得N3,

易得V3为函数/(X)的极大值，

../(0)=-2<0；函数/(幻=9+以-2(破阴在(-8,0)内有且只有一个零点，

()=03

../~ri,-,a=-3,,./(X)=X-3X-2;

则-1、1分别为函数/⑴的极大值点和极小值点，又“T)=°、八2)=°,

..J(x)在［-1,2］上的最小值与最大值分别为/0)=-4、/(2)=0,

..J(x)在上的最小值与最大值之和为一4,故选D。

f(X)=x・€X——X—3

11.设函数2的零点为匹、“2、…X”,1力表示不超过X的最大整数，有下述

/(X)

四个结论：①函数"X)在(°，+8)上单调递增；②函数"X)与X有相同零点；③函数“X)有且仅

有一个零点，且值］=2；④函数“X)有且仅有两个零点，且同1+［々］=-6。其中所有正确结论的编

第4页共12页

号是()。

A、①②③B、②③C、①②④D、①④

【答案】C

【解析】f(X)=e-(1+A)-2,当xe(0,+8)时，八幻>0,...函数/(x)在(0,+co)上单调递增,

故①正确，

X3_j_

g(X)=lS-L=e

显然x=°不是/")零点，令'Xx2,

则在y,0)U(0,+8)上，〃x)与g(x)有相同零点，故②正确,

3

在y,0)U(0,+oo)上，gC')-e+^>0,

g*)在(Y°，°)上单调递增，在(°，*0)上也单词递增，

7

而g⑴-"万<0、8出=02-2>0,...存在王€（1,2）,使g（x）=0,

g(-7)=~----<0g(-6)=—^>0(7(\(\

又“，14、"e6存在的“(-7,-6),使8区)=0,

...g(x)在(-8,0)U(0,+oO)上只有两个零点再、*2,也即〃幻在尺上只有两个零点到玉、“2,

且［再］+工］=1+(-7)=~6,故③错误、④正确，故选C。

12.已知函数/(x)=(x—&僻+1(%>1)在区间-1』上只有一个零点，则实数A的取值范围是()。

（e,+8）

e-1）c[6-1，e-l]D、

【解析】由题意可知，(》一幻"+1=°在区间［-ij上只有一个根,

k=

等同于/在区间［TJ上只有一个根，

等同于y=&与ga)='+『的图像有唯一一个公共点，

第5页共12页

由g(x)=x+/得/(x)=l-则g，(x)=0得x=0,

当-14x<o时,g'(x)<0,则g(x)在［T，。)上单调递减,

当0<xWl时，g'(x)>0,则g。)在(0』上单调递减，

在区间［T，“内，当x=O时g(x)取极小值也是最小值，...当g(xRg(0)=l,

£（1）=1H[、[6—l>ld—/、

又e,g（z-D=e-l,且e,.•.作g（x）的图像如图，又％>1,

(1—,e-1］

则满足条件的人的取值范围是e，选A。

2.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线

±）

13.已知函数/(幻=―/+4*+4广€［0,1］〉若f(x)有最小值_2,则/(X)的最大值为0

【答案】1

［解析］，6)=_/+©+”_(》_2)2+4+4开口向下，对称轴》=2,

..J(x)在［0,1］上单调递增，最小值为"0)=。=-2,最大值为/⑴=-l+4+a=l。

14.已知定义在R上的函数A#满足：〃x)=2-/(-x),且函数f(x+l)是偶函数，当xe［-l,0］

现

时，/*)=1一/,则八§。

10

【答案】9

【解析】由函数/(x+D是偶函数知函数”的图象关于直线对称，即有〃—x)=/(x+2),

又/(x)=2_/(_x),..J(x)=2_/(x+2),..J(x+2)=2—/(x+5),

•J(x)=/(x+4),即函数/(x)的周期T=4,

/（苧=/（168X4+!）=宿）=吗）=2—/（—}=2一[1一（管2]=2

15.若函数"X)=2X2+(X-2砂|x-a|在区间(-3,1)上不是单调函数，则实数。的取值范围是。

【答案】(-6,2)

第6页共12页

〜。、25a2、

223(x—H----,x2a

3x-2ax+2cr,x>a24

/(x)=1=><

x2+3cix-2a2,x<a3Q、217a2

(ZXH--)-----,X<4

【解析】24

2-八c

—3_<_3Q<1=>——<a<2=>0<a<2

当心0时,23

-3cq<1=>-6<av2n-6<a<0

当。<0时,2

综上-6<a<2。

16.已知函数A©'"--or+a（a>o）有两个极值点占、々一心超），则/（刈+/小）的最大

值为。

【答案】3-ln2

,12x2-ax+\

f(x)=-+2x-a=---------

【解析】A©的定义域为◎+◎,xx设g5)-2/-ax+\

由题意可知g(©=°在(°，-)内有两个不等的实数根占、修(西<々),

g(0)=l>0

1_z£>0

•••〔4，二需满足A=/-8>0,解得a>2/，

(1122/、2c

X+X=-XX=-Xj=(x+x)-2xx=--l

乂•i24、C2/*•••}2r2•«

f(xl)+f(x2)=ln(M・工2)+工；-a(xl+々)+2。

=--4-2«-ln2-l=-—(a-4)2+3-ln2<3-ln2

44

当且仅当。=4时，等号成立，

故/(西)+/(々)的最大值为3-ln2。

3.解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤）

=a+lnx

17.（10分）已知函数x,曲线/（X）在点（eJ（e））处的切线与直线e2x-y+e=°垂直

（其中e为自然对数的底数），若/（X）在（〃L1M+1）上存在极值，求实数，"的取值范围。

第7页共12页

l-«-ln£/(、=二L

【解析】/(X)的定义域为(°，+8),,X2,e2,...4=1,2分

『叱手，八上手，令/叱亨=。，则E,4分

则o(尤<1时r(x)>o,x>i时ra)<o,6分

在(0,1)上单调递增，在(1，+8)上单调递减，f(x)在x=l处有极大值，8分

.•.04m一1<1且帆+1>1,.•.14帆<2。10分

18.(12分)已知函数“x)=l°g"-310g2》+c(c是常数)。

(1)若当xe［2,8］时，恒有〃幻<°成立，求实数。的取值范围；

(2)若存在％42,81时，使得/(%)<°成立，求实数。的取值范围；

(3)若方程八幻=0.bg2x在〔2,8］上有唯一实数解，求实数c的取值范围。

9

-+

当

i+g(r)=1—3t+c=(t—)4X2分

【解析】⑴令咋2'=‘，则2

3

JC——

g⑺的对称轴为一2,Pl，3］时的最大值为8闭=。<。，

则实数。的取值范围是(一8，。)；4分

(2)若存在瓦€［2,8|时，恒有/(%)<°成立，则存在/0曰1，31时，使得8/)<°成立，6分

399

o(一)=--FCV0C<一

于是只需海口⑶时的最小值为524，即4,

(-82)

则实数。的取值范围是7；8分

(3)若方程/(X)=。.1国2天在〔2,8］上有唯一实数解，

则/一(3+c)f+。=°在［1,3］上有唯一实数解，

,.A=(3+C)2-4C=(C+1)2+8>0

・,

故J—(3+c)/+c=°在［1,3］上不可能有两个相等的实数解，I。分

令〃Q)=J-(3+c)t+c,...力⑴=-2<0,故只需力(3)=-2<?20,解得cMO,

・•・实数c的取值范围是(9⑼。12分

19.(12分)已知〃x)=e*(D7。

(1)求函数"X)在区间la上的值域；

第8页共12页

(2)当xNO时，/(X)工以恒成立，求实数。的取值范围。

【解析】(l)“x)的定义域为R,/'(幻="(一力，1分

令/'(幻<0得无>0,则/(x)在区间(-=0,0)上单调递减，

令/'。)>0得x<0,则f(x)在区间(。，讨)上单调递增，3分

而/(-l)=2eT-l,/(2)=—e2—1,/(0)=0,则/(O)>/(-1)>/⑵，

故/(X)在区间IT，©上的值域为-1,0].4分

(2)/(元)工以，g|Je'(l_此-1«ax,g|j(1-x)ex-ax-\<0,

令g(x)=(l-x)e"◎-1(%之0)则只需证明g*)max40,5分

则g'(x)=-xeX_q,g\x)=-ex-=(-1-x)ex对于xN0时，g"(*)<0恒成立,

...g，(x)在xe[0,xo)上单调递减，g'(O)=-a,6分

①当aNO时，g'(x)<g'(O)W(),g。)在[0，+°°)上单调递减，

贝I」g(x)4g(°)=°,满足g(x)m”40,8分

②当a<0时，e~a>\,则g'(O)=-a>0,gz(-«)=ae-a-a=a(e-u-1)<0

则存在％GQ—0使得d)=o,

..当xe[O,xo)时g，(x)>0,g(x)在[O,xo)上单调递增,

..当xw(x0,-a)时g'(x)<0,g(x)在(x0,-«)上单调递增减，

又g(0)=°,...gG)>°,...a<0不满足g(X)max40,11分

综上可得“NO,故实数a的取值范围为[Q+00)。12分

20.(12分)已知函数〃x)=2e*-(x-a)2+3,a&Ro

(1)若函数y="x)的图象在尤=°处的切线与x轴平行，求〃的值；

(2)若xNO,恒成立，求。的取值范围。

【解析】(1)由题意可知/(X)的定义域为R，/'(x)=2(e，-x+a),1分

•.•>=/")在x=0处的切线与x轴平行，即在x=°切线斜率为0,

即r(0)=2(a+l)=0,...q=_i；3分

(2)/'(%)=2(，一工+。)，令g(x)=2(/-%+a),贝°g,x)=2(e*-1)之。，4分

第9页共12页

...g（x）=2（e，-x+a）在［0,+oo）内单调递增，g（0）=2（l+a）,5分

,

①当2（l+a）N0,即1时，r（x）=2（^--x+a）＞/（0）＞0＞

/（x）在［0,用）内单调递增，要想f（x"0,只需要外））=5-"±0,

解得一有4a4百，从而一L石，7分

②当2（l+a）＜0,即.＜一1时，由g（x）=2（e，-x+a）在［0,+co）内单调递增知，

存在唯一而使得g&o）=2（4-X。+a）=0,有*=X。-a,

令/'5）＞（）,解得了＞与，令八々）＜°,解得0Vx＜与，

从而f0）在*=%）处取最小值/（/）=2/—（々—a）?+3,又/=ex°+a,

/（x（））=2e%-（e*）?+3=-（e'。+l）（ei-3）,从而应有/（/）2。，即e*。一3«（）,

解得0＜与41n3,由6.=%一°可得"=而―/。，有ln3—34a＜—1,］］分

综上所述，石。修分

21.（12分）已知函数/（幻=*2«2+依+。），/*）的图像在点⑵/（2））处的切线方程为

y=4x-l©

（1）求/（X）在［-3,2］上的最值。

（2）若的解集为｛.由4、＜々｝,且在（不，々）内有且只有两个整数，求实数%的取值范

围。

［解析］（1）由题意知，〃x）的定义域为R,/'。）=，-2.口2+3+2卜+4+切，1分

则/'（2）=3a+/?+8,f（2）=4+2a+b

则/（x）的图像在点（2J（2））处的切线方程为y_4_2。_6=（3。+6+8）*-2）,

g|jy=（3。+人+8）1一4。一〃一12,

又已知了（X）的图像在点⑵/⑵）处的切线方程为）'=4x-7,3分

］3a+Z?+8=4=-1

则［4a+6+］2=7,解得W=T,贝y（x）="-2.（x2_x_］）,

由/8）=612.（/+*-2）=0得》=_2或》=1,5分

.•./'（X）、,（X）随x的变化情况如下表所示：

X-3(-3,-2)-2(-2,1)1(1,2)2

第10页共12页

f,Mra)>or(x)=ora)<or(x)=ora)>o

/(X)1le5T1TT1

因而函数/(X)在［—3,2］上的最大值为1,最小值为-/；6分

x22

(2)由⑴知,f(x)=e--(x-x-l)f

当XG(YO,-2)时，/'(x)>(),函数〃x)单调递增，

当xe(—2，D时，八%)<0,函数A©单调递减，

，

当—)时,/(x)>0>函数/*)单调递增，8分

2

易知/(-2)=5e">(),/(-l)=e-3>(),/(0)=-^<0>/(1)=-^'<0>/⑵=1>0

且当x-时，y-()+,当xf+co时，10分

则函数"X)的大致图像如图所示：

在区，々)内有且只有两个整数，

(—f,0］

•••结合图像可知实数人的取值范围为e-。12分

r2

f(x)=——21nx

22.(1