2024届四川省南充市高三高考适应性考试零诊数学试题(理)(（解析版）)

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省南充市2024届高三高考适应性考试（零诊）数学试题(理)一、选择题1.已知i是虚数单位，则复数的模为（）A.5 B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B.2.已知集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，，则.故选：C3.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因在上递增，且，所以，即，又在上递减，所以，所以.故选：D.4.已知幂函数，下列能成为“是R上的偶函数”的充分条件的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗当时，，因为函数的定义域，关于原点对称，且，所以为奇函数，不合题意，故A错误；当时，，因为函数的定义域，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，不合题意，故B错误；当时，，定义域为，关于原点对称，且，所以为偶函数，符合题意，故C正确；当时，，定义域为，关于原点对称，且，所以为奇函数，不合题意，故D错误.故选：C.5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗的定义域为，因，所以在上为偶函数，可排除C、D；又，可排除B.故选：A.6.已知函数的最小正周期为，把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应函数〖解析〗式为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，故，则，则向右平移个单位长度后得到.故选：A7.执行如图所示的程序框图，若输入的，则（）A.输出的的最小值为，最大值为5 B.输出的的最小值为，最大值为6C.输出的的最小值为，最大值为5 D.输出的的最小值为，最大值为6〖答案〗D〖解析〗作出不等式组表示的可行域，如图，联立可得，联立可得，由图可知，当直线过点时，取得最大值5，当直线过点时，取得最小值，因为，且，所以输出的最小值为，最大值为6.故选：D.8.五名学生按任意次序站成一排，则和站两端的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗首先将和排两端，共有种情况，再将其余三人全排列，共有种情况，所以共有种情况.因为五名学生按任意次序站成一排，共有种情况，故和站两端的概率为.故选：B9.已知平面向量满足，则与夹角的正切值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得，又所以，因此，由所以，则，故，故选：B.10.等差数列的前项和为，则的最大值为（）A.60 B.50 C. D.30〖答案〗D〖解析〗由和，由于为等差数列，且，所以当时，,故的最大值为，故选：D.11.形如的函数是中学数学常见的函数模型之一，因其图象上半部分像极了老师批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”．研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数的图象是双曲线，直线是它的一条渐近线．点是双曲线上任意一点，在点处作双曲线的切线，交渐近线于两点，已知为坐标原点，则的面积为（）A. B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗因为，设，则处切线的斜率，所以切线方程为，令，可得，即，则；令，可得，即，则；故面积为．故选：D.12.函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，，，令，则，又因为与互为反函数，所以、分别与的的交点关于对称，所以，即：，又因为，，所以由零点存在性定理可知，，又因为，即，所以，对于A项，因为，，所以，故A项错误；对于B项，因为，所以，又因为，，所以，故B项正确；对于C项，因为，，所以，故C项错误；对于D项，因为，，，所以，故D项错误.故选：B.二、填空题13.若命题“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围是_________．〖答案〗〖解析〗因为命题“，使得成立”为真命题，所以，解得.故〖答案〗为：.14.在等比数列中，，则_________．〖答案〗8〖解析〗因为等比数列中，，所以.又因为，所以，所以.故〖答案〗为：8.15.已知关于的展开式中的常数项为，则_________〖答案〗1〖解析〗的常数项为，因此，故〖答案〗：1.16.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，二面角的余弦值为，则四棱锥的外接球的表面积为_________．〖答案〗〖解析〗如图，在四棱锥中，连接，取中点为,连接,因为底面是边长为2正方形，所以,在等腰三角形中，,所以，设等腰三角形外接圆的圆心为，则由正弦定理可得，则，而,所以,易知正方形的外接圆的圆心为，过分别作平面和平面的垂线，两垂线交于点,则点为四棱锥外接球的球心，又易知，,,所以二面角的平面角为,所以，则，所以，所以,在直角三角形中，，即为外接球的半径，所以外接球的表面积为,故〖答案〗为:.三、解答题（一）必考题：共60分17.已知向量，函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，分别是角的对边，且，，求的周长．解：（1）依题意，，由得：，所以函数的单调递增区间是.（2）由（1）知，，即，而，则，于是，解得，由余弦定理有，即，解得，所以的周长为.18.第三十一届世界大学生夏季运动会于2023年8月8日晚在四川省成都市胜利闭幕．来自113个国家和地区的6500名运动员在此届运动会上展现了青春力量，绽放青春光彩，以饱满的热情和优异的状态谱写了青春、团结、友谊的新篇章．外国运动员在返家时纷纷购买纪念品，尤其对中国的唐装颇感兴趣．现随机对200名外国运动员（其中男性120名，女性80名）就是否有兴趣购买唐装进行了解，统计结果如下：有兴趣无兴趣合计男性运动员8040120女性运动员404080合计12080200（1）是否有的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关”；（2）按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，再从中任意抽取3名运动员作进一步采访，记3名运动员中男性有名，求的分布列与数学期望．参考公式：临界值表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828解：（1）由已知故没有的把握认为“外国运动员对店装感兴趣与性别有关”（2）按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，则其中男性运动员4名，女性运动员2名，则的分布列如下表12319.如图所示，在圆锥中，为圆锥的顶点，为底面圆圆心，是圆的直径，为底面圆周上一点，四边形是矩形．（1）若点是中点，求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的余弦值．解：（1）分别是中点，连接，则，平面平面，则平面，四边形是矩形，，同理有平面，又，平面，故平面平面，又平面，故平面.（2）解法一：在圆锥中，平面，平面则平面平面，平面平面，作于点，连接，则面是在平面上的射影，是直线与平面所成的角，在直角三角形中，，则，平面，则平面，在直角三角形中，，，则，在直角三角形中，，故，即直线与平面所成角的余弦为.解法二：在圆锥中，平面，在直角三角形中，，则，，在直角三角形中，，则，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设是平面的法向量，则，令得，设直线与平面所成角为，则，.20.如图所示，以原点为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，设为大圆上任意一点，连接交小圆于点，设，过点分别作轴，轴的垂线，两垂线交于点．（1）求动点的轨迹的方程；（2）点分别是轨迹上两点，且，求面积的取值范围．解：（1）因为，所以，设，则（是参数），消去得，即曲线的方程为；（2），，当直线或的斜率不存在时，易得当直线和的斜率都存在时，设，则由得，，同理可得，令故.21.已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）设，当时，若存在，对任意，使成立，求实数的取值范围；（3）当时，恒有成立，求实数的取值范围．解：（1）当时，若即，由得，由得,若即，由得，由得或,若即,故时，在上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减;时，在上单调递减.（2）由（1）知，时，在上单调递增，在上单调递减，，故对任意恒成立,即对任意恒成立,在上单调递增，.（3）当时，恒有成立,即对任意恒成立,令,当时，在上单调递减，，满足题意,当时，在上单调递增，当时，,不满足题意，当时，在上单调递增，，不满足题意，故.（二）选考题：考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）已知点的直角坐标为，曲线与直线交于，两点，求的值．解：（1）由，得，代入，得，所以曲线的普通方程为，由，得，即，所以直线的直角坐标方程为．（2）由点在直线上，则设直线的参数方程为（为参数），代入中，得，设点，对应的参数分别为，，则，，所以．23.已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）当时，即或或，解得，原不等式的解集为.（2）的解集包含，即恒成立，即，所以，所以.四川省南充市2024届高三高考适应性考试（零诊）数学试题(理)一、选择题1.已知i是虚数单位，则复数的模为（）A.5 B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B.2.已知集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，，则.故选：C3.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因在上递增，且，所以，即，又在上递减，所以，所以.故选：D.4.已知幂函数，下列能成为“是R上的偶函数”的充分条件的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗当时，，因为函数的定义域，关于原点对称，且，所以为奇函数，不合题意，故A错误；当时，，因为函数的定义域，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，不合题意，故B错误；当时，，定义域为，关于原点对称，且，所以为偶函数，符合题意，故C正确；当时，，定义域为，关于原点对称，且，所以为奇函数，不合题意，故D错误.故选：C.5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗的定义域为，因，所以在上为偶函数，可排除C、D；又，可排除B.故选：A.6.已知函数的最小正周期为，把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应函数〖解析〗式为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，故，则，则向右平移个单位长度后得到.故选：A7.执行如图所示的程序框图，若输入的，则（）A.输出的的最小值为，最大值为5 B.输出的的最小值为，最大值为6C.输出的的最小值为，最大值为5 D.输出的的最小值为，最大值为6〖答案〗D〖解析〗作出不等式组表示的可行域，如图，联立可得，联立可得，由图可知，当直线过点时，取得最大值5，当直线过点时，取得最小值，因为，且，所以输出的最小值为，最大值为6.故选：D.8.五名学生按任意次序站成一排，则和站两端的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗首先将和排两端，共有种情况，再将其余三人全排列，共有种情况，所以共有种情况.因为五名学生按任意次序站成一排，共有种情况，故和站两端的概率为.故选：B9.已知平面向量满足，则与夹角的正切值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得，又所以，因此，由所以，则，故，故选：B.10.等差数列的前项和为，则的最大值为（）A.60 B.50 C. D.30〖答案〗D〖解析〗由和，由于为等差数列，且，所以当时，,故的最大值为，故选：D.11.形如的函数是中学数学常见的函数模型之一，因其图象上半部分像极了老师批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”．研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数的图象是双曲线，直线是它的一条渐近线．点是双曲线上任意一点，在点处作双曲线的切线，交渐近线于两点，已知为坐标原点，则的面积为（）A. B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗因为，设，则处切线的斜率，所以切线方程为，令，可得，即，则；令，可得，即，则；故面积为．故选：D.12.函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，，，令，则，又因为与互为反函数，所以、分别与的的交点关于对称，所以，即：，又因为，，所以由零点存在性定理可知，，又因为，即，所以，对于A项，因为，，所以，故A项错误；对于B项，因为，所以，又因为，，所以，故B项正确；对于C项，因为，，所以，故C项错误；对于D项，因为，，，所以，故D项错误.故选：B.二、填空题13.若命题“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围是_________．〖答案〗〖解析〗因为命题“，使得成立”为真命题，所以，解得.故〖答案〗为：.14.在等比数列中，，则_________．〖答案〗8〖解析〗因为等比数列中，，所以.又因为，所以，所以.故〖答案〗为：8.15.已知关于的展开式中的常数项为，则_________〖答案〗1〖解析〗的常数项为，因此，故〖答案〗：1.16.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，二面角的余弦值为，则四棱锥的外接球的表面积为_________．〖答案〗〖解析〗如图，在四棱锥中，连接，取中点为,连接,因为底面是边长为2正方形，所以,在等腰三角形中，,所以，设等腰三角形外接圆的圆心为，则由正弦定理可得，则，而,所以,易知正方形的外接圆的圆心为，过分别作平面和平面的垂线，两垂线交于点,则点为四棱锥外接球的球心，又易知，,,所以二面角的平面角为,所以，则，所以，所以,在直角三角形中，，即为外接球的半径，所以外接球的表面积为,故〖答案〗为:.三、解答题（一）必考题：共60分17.已知向量，函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，分别是角的对边，且，，求的周长．解：（1）依题意，，由得：，所以函数的单调递增区间是.（2）由（1）知，，即，而，则，于是，解得，由余弦定理有，即，解得，所以的周长为.18.第三十一届世界大学生夏季运动会于2023年8月8日晚在四川省成都市胜利闭幕．来自113个国家和地区的6500名运动员在此届运动会上展现了青春力量，绽放青春光彩，以饱满的热情和优异的状态谱写了青春、团结、友谊的新篇章．外国运动员在返家时纷纷购买纪念品，尤其对中国的唐装颇感兴趣．现随机对200名外国运动员（其中男性120名，女性80名）就是否有兴趣购买唐装进行了解，统计结果如下：有兴趣无兴趣合计男性运动员8040120女性运动员404080合计12080200（1）是否有的把握认为“外国运动员对唐装感兴趣与性别有关”；（2）按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，再从中任意抽取3名运动员作进一步采访，记3名运动员中男性有名，求的分布列与数学期望．参考公式：临界值表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828解：（1）由已知故没有的把握认为“外国运动员对店装感兴趣与性别有关”（2）按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，则其中男性运动员4名，女性运动员2名，则的分布列如下表12319.如图所示，在圆锥中，为圆锥的顶点，为底面圆圆心，是圆的直径，为底面圆周上一点，四边形是矩形．（1）若点是中点，求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的余弦值．解：（1）分别是中点，连接，则，平面平面，则平面，四边形是矩形，，同理有平面，又，平面，故平面平面，又平面，故平面.（2）解法一：在圆锥中，平面，平面则平面平面，平面平面，作于点，连接，则面是在平面上的射影，是直线与平面所成的角，在直角三角形中，，则，平面，则平面，在直角三角形中，，，则，在直角三角形中，，故，即直线与平面所成角的余弦为.解法二：在圆锥中，平面，在直角三角形中，，则，，在直角三角形中，，则，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设是平面的法向量，则，令得，设直线与平面所成角为，则，.20.如图所示，以原点为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，