2024届江浙两省县域高中发展共同体高三上学期10月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江浙两省县域高中发展共同体2024届高三上学期10月联考数学试题一､单项选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗集合，当是偶数时，令，，有，当是奇数时，令，，有，，，故A，B，D错误，C正确.故选：C.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因复数满足，所以，所以，故选：B3.在的展开式中，含项的系数为（）A. B.20 C. D.15〖答案〗A〖解析〗的第项为，令，则，所以的展开式中，含项为，系数为.故选：A4.若函数有极大值，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，当时，，则在上递增，所以无极值，当时，，则在上递减，所以无极值，当时，由，得，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以时，取得极大值，当时，由，得，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，综上，当时，有极大值，故选：B.5.已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，则，可得，且，则，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C.6.记为等比数列的前项和，若，则（）A.6 B. C. D.18〖答案〗D〖解析〗设等比数列的公比为，若，则由得，不合题意；故，则由得，则，所以，因为，所以，所以，故选：D.7.漏刻是中国古代的一种计时系统，“漏”是指计时器——漏壶，“刻”是指时间，《说文解字》中记载：“漏以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻.”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器，如图，计时器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0，当最上层漏水壶中水全部漏完时，浮箭刻度为100.已知最上层漏水壶口径与底径之比为，则当最上层漏水壶水面下降到其高度的一半时，浮箭刻度约为（）（四舍五入精确到个位）A.38 B.60 C.61 D.62〖答案〗D〖解析〗由题意可知：最上层漏水壶所漏水的体积与浮箭刻度成正比，设最上层漏水壶的口径与底径分别为，，高为，则体积为，当最上层漏水壶水面下降到高度的一半时，设此时浮箭刻度为，因为已漏水体积，可得，解得，所以浮箭刻度约为62.故选：D.8.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数和在上都恰有两个极值点，则正整数的最小值为（）A.7 B.8 C.9 D.10〖答案〗B〖解析〗依题意，解法1：当时，，因为曲线在上恰有两个极值点，所以，解得.当时，，因为，所以，在内只有一个极值点，不合题意；当时，，因为，所以，在内有两个极值点：，满足题意.所以正整数的最小值为解法2：当时，，因为曲线在上恰有两个极值点，所以，解得.①由题意，，当时，，由①知，，又函数在上恰有两个极值点，所以，解得②由①和②得，的取值范围是，则正整数的最小值为.故选：B.二､多项选择题9.袋中有3个大小､形状完全相同的小球，其中1个黑球2个白球.从袋中不放回取球2次，每次取1个球，记取得黑球次数为；从袋中有放回取球2次，每次取1个球，记取得黑球次数为，则（）A.随机变量的可能取值为0或1B.随机变量的可能取值为0或1C.随机事件的概率与随机事件的概率相等D.随机变量的数学期望与随机变量的数学期望相等〖答案〗AD〖解析〗对于A项，从有1个黑球2个白球袋中，不放回取球2次，每次取1个球，记取得黑球次数为，随机变量的可能取值为0或1，即A正确；对于B项，从有1个黑球2个白球的袋中，有放回取球2次，每次取1个球，记取得黑球次数为，随机变量的可能取值为0或1或2，即B错误；对于C项，由题意可知，即C错误；对于D项，故，D正确.故选：AD.10.已知正三棱柱分别为棱的中点，则（）A. B.面C. D.面〖答案〗BD〖解析〗对于选项A，显然与异面，故A错误；对于选项B，取中点，连接，因为、为、中点，所以，又因为且为中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为面，面，所以面，故B正确；对于选项C，如图，连接，取中点，连接，假设，则垂直平分，则，设，则，在正中高，在矩形中对角线.在矩形中，，，则对角线，则，矛盾，故C错误；对于选项D，如图，设，则，在侧面上，以点为原点、为横轴、为纵轴建立平面直角坐标系，则，，，，所以有，，所以，所以，即有.在正三棱柱中为中点，所以，又由面可得，且面，所以面，又因面，所以，又因面，所以面，故D正确.故选：BD.11.已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为.直线与没有公共点，直线经过点.则（）A. B.与有两个公共点C.以为直径的圆与轴相离 D.小于〖答案〗ACD〖解析〗联立直线与抛物线方程，消去得，，因为直线与没有公开点，所以，所以，故点位于抛物线内部.对于A，因为，，且，所以，，故A正确；对于B，因为直线经过点，点位于抛物线内部.当直线平行于轴时，与有唯一公共点；当直线与轴不平行时，与有两个公共点，故B错误；对于C，延长交于点，设，设以为直径的圆的圆心为，为直径的圆的圆心为，又，所以，又根据抛物线定义可知，所以，所以以为直径的圆与轴相切，因为以为直径的圆与圆内切，切点为，且圆半径较小，所以圆与轴相离，故C正确；对于，过点与相切的直线的斜率存在，设切线方程为，联立与，得，，解得，当切线斜率为1，倾斜角为，又点是位于内部的一点，所以小于，当斜率为，同理可得，故D正确.故选：ACD.12.已知是定义在上的奇函数，，设函数，若是偶函数，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗因为是上的奇函数，所以，则定义域为R，且故也是上的奇函数，，因为是偶函数，所以，即，即，则，所以是以4为周期的周期函数.因为周期为4，则，则，所以也是以4为周期的周期函数.对于A，因为，令得，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，由，，知，所以，故C正确；对于D，因为，令，故；；同理；而；所以，所以，故D错误.故选：.三､填空题13.设圆，直线经过原点且将圆分成两部分，则直线的方程为__________.〖答案〗，或〖解析〗由可知：该圆的圆心坐标为，半径为，因为，所以该圆过原点，设直线与圆相交另一点为点，因为直线经过原点且将圆分成两部分，所以弦所以圆心角为，因为圆的半径为，所以因此圆心到直线的距离为，当直线不存在斜率时，方程为，显然到直线的距离为1，符合题意；当直线存在斜率时，设为，方程为，因为圆心到直线的距离为，所以，即方程为，综上所述：直线的方程为，或，故〖答案〗为：，或14.在中，，，以为焦点且经过点的椭圆离心率记为，以为焦点且经过点的椭圆离心率记为，则__________.〖答案〗〖解析〗由题意可设，以为焦点且经过点的椭圆为，以为焦点且经过点的椭圆为，由椭圆定义可得，，故，同理可知，，则，所以.故〖答案〗为：15.已知，则__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，且，且，又，所以，因为，所以.故〖答案〗为：.16.第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有__________.（用数字作答）〖答案〗336〖解析〗由题意可分两种情形：①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，其中一种取两个，另一种选一个，有种排法；其次，后排有种排法，故共有种不同的排法；②前排含有三种不同名称的吉祥物，有种排法；后排有种排法，此时共有种排法；因此，共有种排法，故〖答案〗为：336.四､解答题17.为研究农药对农作物成长的功效，在甲､乙两块试验田播种同一种农作物，甲试验田喷洒农药，乙试验田没有喷洒农药，经过一段时间后，从甲､乙两块试验田各随机选取100株幼苗，统计200株幼苗高度（单位：cm）如下表：幼苗高度甲试验田10155520乙试验田10354510附：0.0500.01000013.8416.63510.828，其中（1）分别求甲､乙两块试验田中幼苗的平均高度的估计值（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）；（2）分别统计样本中甲､乙两块试验田幼苗高度小于和不小于的株数，完成下列联表，并依据小概率的独立性检验，分析是否喷洒农药与幼苗生长的高度有关联？高度高度喷洒农药没有喷洒农药解：（1）由题知，样本平均数为：，所以估计甲块试验田中幼苗的平均高度为；估计乙块试验田中幼苗的平均高度为10.1.（2）列联表为：高度高度合计喷洒农药2575100没有喷洒农药4555100合计70130200根据列联表中数据，可得由此推断犯错的概率不大于0.01即认为喷洒农药与幼苗生长的高度有关联.18.记是数列的前项和，已知，且.（1）记，求数列的通项公式；（2）求.解：（1）因为，①所以，②②-①得，，因为，所以，所以数列的奇数项和偶数项分别是以4为公差的等差数列，令代入，得，由，得，所以，所以数列是公差为4，首项为5的等差数列，其通项公式为（2）当为奇数时，，当为偶数时，，所以.19.在中，角所对的边分别为，且有，求（1）；（2）的最大值.解：（1）因为，由正弦定理得，化简得，所以，又因为，所以；（2）法一：由（1）可知，，所以，所以，当时，，所以的最大值为.法二：，由正弦定理得：，由基本不等式得：，所以，当且仅当，等号成立，解得，所以的最大值为.20.如图，三棱锥中，平面，是空间中一点，且平面.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：过点作，垂足为，因为平面平面，所以，因为平面，，所以平面，因为平面，所以，因为平面平面，所以平面.（2）解：设，且，以为坐标原点，BD为y轴，BA为z轴，过B垂直BD（与CD平行）的线为x轴，如图建立空间直角坐标系，则，又，由（1）设，设平面的一个法向量，则，令，则，所以，设平面的一个法向量，则，令，则，所以，设平面与平面的夹角为，则，所平面与平面的夹角的余弦值为.21.已知函数.（e为自然对数的底）（1）若曲线在处的切线与曲线也相切，求；（2），求的取值范围.解：（1）因为，所以，所以曲线在处的切线的方程为设直线与与曲线切于点，又，则直线方程为：，即所以，所以，因为，所以.综上，的值为（2）因为，，所以，令，则，所以在上递增，当时，，故在上递增，所以；满足题意；当时，因为，所以存在，使得，又在上递增，当时，，即递减.所以，故不符合题意.所以的取值范围为.22.已知双曲线的离心率为，右顶点到的一条渐近线的距离为.（1）求的方程；（2）是轴上两点，以为直径的圆过点，若直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由.解：（1）因为的离心率为，所以，所以，渐近线方程，因为点到一条渐近线距离为，所以，解得，所以的方程为.（2）直线与圆相交，理由如下：设，则，因为点在以为直径的圆上，所以，所以，即，由（1）得，直线方程为：与双曲线方程联立，消去得，，因为直线与都有除以外的公共点，所以，所以，即，同理当，.，所以直线方程为：，令得，，即直线经过定点.因为，所以点圆内，故直线与圆相交.江浙两省县域高中发展共同体2024届高三上学期10月联考数学试题一､单项选择题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗集合，当是偶数时，令，，有，当是奇数时，令，，有，，，故A，B，D错误，C正确.故选：C.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因复数满足，所以，所以，故选：B3.在的展开式中，含项的系数为（）A. B.20 C. D.15〖答案〗A〖解析〗的第项为，令，则，所以的展开式中，含项为，系数为.故选：A4.若函数有极大值，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，当时，，则在上递增，所以无极值，当时，，则在上递减，所以无极值，当时，由，得，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以时，取得极大值，当时，由，得，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，综上，当时，有极大值，故选：B.5.已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，则，可得，且，则，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C.6.记为等比数列的前项和，若，则（）A.6 B. C. D.18〖答案〗D〖解析〗设等比数列的公比为，若，则由得，不合题意；故，则由得，则，所以，因为，所以，所以，故选：D.7.漏刻是中国古代的一种计时系统，“漏”是指计时器——漏壶，“刻”是指时间，《说文解字》中记载：“漏以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻.”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器，如图，计时器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0，当最上层漏水壶中水全部漏完时，浮箭刻度为100.已知最上层漏水壶口径与底径之比为，则当最上层漏水壶水面下降到其高度的一半时，浮箭刻度约为（）（四舍五入精确到个位）A.38 B.60 C.61 D.62〖答案〗D〖解析〗由题意可知：最上层漏水壶所漏水的体积与浮箭刻度成正比，设最上层漏水壶的口径与底径分别为，，高为，则体积为，当最上层漏水壶水面下降到高度的一半时，设此时浮箭刻度为，因为已漏水体积，可得，解得，所以浮箭刻度约为62.故选：D.8.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数和在上都恰有两个极值点，则正整数的最小值为（）A.7 B.8 C.9 D.10〖答案〗B〖解析〗依题意，解法1：当时，，因为曲线在上恰有两个极值点，所以，解得.当时，，因为，所以，在内只有一个极值点，不合题意；当时，，因为，所以，在内有两个极值点：，满足题意.所以正整数的最小值为解法2：当时，，因为曲线在上恰有两个极值点，所以，解得.①由题意，，当时，，由①知，，又函数在上恰有两个极值点，所以，解得②由①和②得，的取值范围是，则正整数的最小值为.故选：B.二､多项选择题9.袋中有3个大小､形状完全相同的小球，其中1个黑球2个白球.从袋中不放回取球2次，每次取1个球，记取得黑球次数为；从袋中有放回取球2次，每次取1个球，记取得黑球次数为，则（）A.随机变量的可能取值为0或1B.随机变量的可能取值为0或1C.随机事件的概率与随机事件的概率相等D.随机变量的数学期望与随机变量的数学期望相等〖答案〗AD〖解析〗对于A项，从有1个黑球2个白球袋中，不放回取球2次，每次取1个球，记取得黑球次数为，随机变量的可能取值为0或1，即A正确；对于B项，从有1个黑球2个白球的袋中，有放回取球2次，每次取1个球，记取得黑球次数为，随机变量的可能取值为0或1或2，即B错误；对于C项，由题意可知，即C错误；对于D项，故，D正确.故选：AD.10.已知正三棱柱分别为棱的中点，则（）A. B.面C. D.面〖答案〗BD〖解析〗对于选项A，显然与异面，故A错误；对于选项B，取中点，连接，因为、为、中点，所以，又因为且为中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为面，面，所以面，故B正确；对于选项C，如图，连接，取中点，连接，假设，则垂直平分，则，设，则，在正中高，在矩形中对角线.在矩形中，，，则对角线，则，矛盾，故C错误；对于选项D，如图，设，则，在侧面上，以点为原点、为横轴、为纵轴建立平面直角坐标系，则，，，，所以有，，所以，所以，即有.在正三棱柱中为中点，所以，又由面可得，且面，所以面，又因面，所以，又因面，所以面，故D正确.故选：BD.11.已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为.直线与没有公共点，直线经过点.则（）A. B.与有两个公共点C.以为直径的圆与轴相离 D.小于〖答案〗ACD〖解析〗联立直线与抛物线方程，消去得，，因为直线与没有公开点，所以，所以，故点位于抛物线内部.对于A，因为，，且，所以，，故A正确；对于B，因为直线经过点，点位于抛物线内部.当直线平行于轴时，与有唯一公共点；当直线与轴不平行时，与有两个公共点，故B错误；对于C，延长交于点，设，设以为直径的圆的圆心为，为直径的圆的圆心为，又，所以，又根据抛物线定义可知，所以，所以以为直径的圆与轴相切，因为以为直径的圆与圆内切，切点为，且圆半径较小，所以圆与轴相离，故C正确；对于，过点与相切的直线的斜率存在，设切线方程为，联立与，得，，解得，当切线斜率为1，倾斜角为，又点是位于内部的一点，所以小于，当斜率为，同理可得，故D正确.故选：ACD.12.已知是定义在上的奇函数，，设函数，若是偶函数，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗因为是上的奇函数，所以，则定义域为R，且故也是上的奇函数，，因为是偶函数，所以，即，即，则，所以是以4为周期的周期函数.因为周期为4，则，则，所以也是以4为周期的周期函数.对于A，因为，令得，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，由，，知，所以，故C正确；对于D，因为，令，故；；同理；而；所以，所以，故D错误.故选：.三､填空题13.设圆，直线经过原点且将圆分成两部分，则直线的方程为__________.〖答案〗，或〖解析〗由可知：该圆的圆心坐标为，半径为，因为，所以该圆过原点，设直线与圆相交另一点为点，因为直线经过原点且将圆分成两部分，所以弦所以圆心角为，因为圆的半径为，所以因此圆心到直线的距离为，当直线不存在斜率时，方程为，显然到直线的距离为1，符合题意；当直线存在斜率时，设为，方程为，因为圆心到直线的距离为，所以，即方程为，综上所述：直线的方程为，或，故〖答案〗为：，或14.在中，，，以为焦点且经过点的椭圆离心率记为，以为焦点且经过点的椭圆离心率记为，则__________.〖答案〗〖解析〗由题意可设，以为焦点且经过点的椭圆为，以为焦点且经过点的椭圆为，由椭圆定义可得，，故，同理可知，，则，所以.故〖答案〗为：15.已知，则__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，且，且，又，所以，因为，所以.故〖答案〗为：.16.第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有__________.（用数字作答）〖答案〗336〖解析〗由题意可分两种情形：①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，其中一种取两个，另一种选一个，有种排法；其次，后排有种排法，故共有种不同的排法；②前排含有三种不同名称的吉祥物，有种排法；后排有种排法，此时共有种排法；因此，共有种排法，故〖答案〗为：336.四､解答题17.为研究农药对农作物成长的功效，在甲､乙两块试验田播种同一种农作物，甲试验田喷洒农药，乙试验田没有喷洒农药，经过一段时间后，从甲､乙两块试验田各随机选取100株幼苗，统计200株幼苗高度（单位：cm）如下表：幼苗高度甲试验田10155520乙试验田10354510附：0.0500.01000013.8416.63510.828，其中（1）分别求甲､乙两块试验田中幼苗的平均高度的估计值（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）；（2）分别统计样本中甲､乙两块试验田幼苗高度小于和不小于的株数，完成下列联表，并依据小概率的独立性检验，分析是否喷洒农药与幼苗生长的高度有关联？高度高度喷洒农药没有喷洒农药解：（1）由题知，样本平均数为：，所以估计甲块试验田中幼苗的平均高度为；估计乙块试验田中幼苗的平均高度为10.1.（2）列联表为：高度高度合计喷洒农药2575100没有喷洒农药4555100合计70130200根据列联表中数据，可得由此推断犯错的概率不大于0.01即认为喷洒农药与幼苗生长的高度有关联.18.记是数列的前项和，已知，且.（1）记，求数列的通项公式；（2）求.解：（1）因为，①所以，②②-①得