沪科版初中数学八年级下册 （HK）同步练习 第1课时 菱形的性质3

19.3矩形、菱形、正方形

2.菱形

第1课时菱形的性质

一.选择题（共4小题）

L（如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3,

4）,则顶点M、N的坐标分别是（）

A.M（5,0）,N（8,4）B.M（4,0）,N（8,4）C.M（5,0）,

N(7,4)D.M(4,0),N(7,4)

2.（菱形的周长为4,一个内角为60°,则较短的对角线长为（）

A.2B.V3C.1D.1

2

3.菱形的周长为8cm,高为1cm,则该菱形两邻角度数比为（）

A.3：1B.4：1C.5：1D.6：1

4.如图，菱形ABCD中，AB=15,ZADC=120°

为()

A.15B.当yC.7.5D.1573

二.填空题（共15小题）

5.已知菱形的两条对角线长分别为2cm,3cm,则它的面积是

cm2.

6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,且AC=8,BD=6,过点

。作OH_LAB,垂足为H,则点0到边AB的距离OH=

7.如图，菱形ABCD的边长是2cm,E是AB的中点，且DE，AB,则菱形

ABCD的面积为cm2.

6题图7题图8题图

9题图

8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,AB=13,AC=10,

过点D作DE〃AC交BC的延长线于点E,则ABDE的周长为.

9.如图，已知菱形ABCD的一个内角NBAD=80°,对角线AC、BD相交于

点0,点E在AB上且BE=B0,则NBE0二度.

10.如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm,若墙上钉子间的

距离AB=BC=16cm,则Z1=度.

10题图12题图13题图

14题图

11.已知菱形的一个内角为60°,一条对角线的长为2y，则另一条对角

线的长为.

12.如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始

按A->B->C->D->E->F->C->G->A的顺序沿菱形的边循

环运动，行走米停下，则这个微型机器人停在点.

13.如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PELAB于点E,PF_LAD于点

F,PF=3cm,贝5JP点至I」AB的距离是cm.

14.已知：如图，菱形ABCD中，ZB=60°,AB=4,则以AC为边长的正方

形ACEF的周长为.

15.已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比为3：4,则菱形的面积为

cm2.

16.已知菱形的周长是52cm,一条对角线长是24cm,则它的面积是—

___________cm2.

17.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任一

点(点P不与点A、C重合)，且PE〃BC交AB于E,PF〃CD交AD于F,

则阴影部分的面积是.

17题图18题图19题图

18.如图：菱形ABCD中，AB=2,ZB=120°,E是AB的中点，P是对角线

AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是.

19.如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且NEAF=ND=60°,

ZFAD=45°,贝IJNCFEt度.

三.解答题(共7小题)

20.如图，四边形ABCD为菱形，已知A(0,4),B(-3,0).

(1)求点D的坐标；

(2)求经过点C的反比例函数解析式.

21.如图所示，在菱形ABCD中，ZABC=60°,DE〃AC交BC的延长线于

点E.

求证：DE=1BE.

2

22.如图，在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=4,。为对角线BD的中点，过

。点作OEJ_AB,垂足为E.

(1)求NABD的度数；

(2)求线段BE的长.

D

23.如图，四边形ABCD是菱形，BE±AD>BFXCD,垂足分别为E、F.

(1)求证：BE=BF；

(2)当菱形ABCD的对角线AC=8,BD=6时，求BE的长.

24.如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点(不与A、B重合)，连

接DP交对角线AC于E连接BE.

(1)证明:ZAPD=ZCBE；

(2)若NDAB=60°,试问P点运动到什么位置时，4ADP的面积等于菱

形ABCD面积的L为什么？

25.已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB

延长线上一点，且DE=BF.请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某

一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只

须证明一组线段相等即可).

(1)连接_____________

(2)猜想：=；

(3)证明：(说明：写出证明过程的重要依据)

26.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm、点P从点D出发向点

A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是lcm/s.

(1)在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多

少秒后，四边形AQCP是菱形？

(2)分别求出菱形AQCP的周长、面积.

答案与评分标准

一.选择题(共4小题)

1.如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是(3,4),

则顶点N的坐标分别是()

A.M(5,0),N(8,4)B.M(4,0),N(8,4)C.M(5,0),

N(7,4)D.M(4,0),N(7,4)

考点：菱形的性质；坐标与图形性质。

专题：数形结合。

分析：此题可过P作PELOM,根据勾股定理求出OP的长度，则M、N两

点坐标便不难求出.

解答：解：过P作PELOM,

•••顶点P的坐标是(3,4),

.*.OE=3,PE=4,

.0.OP=^32+42=5,

•••点M的坐标为(5,0),

V5+3=8,

•••点N的坐标为(8,4).

故选A.

点评：此题考查了菱形的性质，根据菱形的性质和点P的坐标，作出辅助

线是解决本题的突破口.

2.菱形的周长为4,一个内角为60°,则较短的对角线长为（）

A.2B.«C.1D.1

2

考点：菱形的性质；等边三角形的判定。

分析：根据菱形的性质，求出菱形的边长，由菱形的两边和较短的对角线

组成的三角形是等边三角形，进而求出较短的对角线长.

解答：解：如图，•••四边形ABCD为菱形，且周长为4,

.•.AB=BC=CD=DA=1,

XVZB=60°,

.1△ABC是等边三角形，所以AC=AB=BC=1.

故选C.

口AD

点评：本题既考查了菱形的性质，又考查了等边三角形的判定，是菱形性

质应用中一道比较典型的题目.

3.菱形的周长为8cm,高为1cm,则该菱形两邻角度数比为（）

A.3：1B.4：1C.5：1D.6：1

考点：菱形的性质；含30度角的直角三角形。

分析：根据已知可求得菱形的边长，再根据三角函数可求得其一个内角从

而得到另一个内角即可得到该菱形两邻角度数比.

解答：解：如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm,从而可得到高

所对的角为30°,相邻的角为150。，则该菱形两邻角度数比为5：1.

故选C.

点评：此题主要考查的知识点：

（1）直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半的逆定理；

（2）菱形的两个邻角互补.

4.如图，菱形ABCD中，AB=15,ZADC=120°,则B、D两点之间的距离

为（）

A.15B.C.7.5D.1573

考点：菱形的性质。

分析：先求出NA等于60°,连接BD得到4ABD是等边三角形，所以BD

等于菱形边长.

解答：解：连接BD,•.•NADC=120°,

ZA=180°-120°=60°,

VAB=AD,

.二△ABD是等边三角形，

.*.BD=AB=15.

故选A.

点评：本题考查有一个角是60°的菱形，有一条对角线等于菱形的边长.

二.填空题(共15小题)

5.已知菱形的两条对角线长分别为2cm,3cm,则它的面积是3cm?.

考点：菱形的性质。

分析：由知菱形的两条对角线长分别为2cm,3cm,根据菱形的面积等于

对角线乘积的一半，即可求得答案.

解答：解：二.菱形的两条对角线长分别为2cm,3cm,

工它的面积是:1X2X3=3(cm2).

2

故答案为：3.

点评：此题考查了菱形的性质.注意菱形的面积等于对角线乘积的一半.

6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,且AC=8,BD=6,过点

。作0H_LAB,垂足为H,则点0到边AB的距离0H=—卫

考点：菱形的性质；点到直线的距离；勾股定理。

分析：因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，

可求出0H的长.

解答:解：VAC=8,BD=6,

.*.B0=3,A0=4,

.*.AB=5.

▲A0・B31AB・0H,

22

0H=12.

5

故答案为：—.

5

点评：本题考查菱形的基本性质，菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四

边相等，根据面积相等，可求出AB边上的高0H.

7.如图，菱形ABCD的边长是2cm,E是AB的中点，且DE，AB,则菱形

ABCD的面积为，F—Cm?.

考点：菱形的性质；勾股定理。

分析：因为DE_LAB,E是AB的中点，所以AE=lcm,根据勾股定理可求

出BD的长，菱形的面积:底边X高，从而可求出解.

解答：解：是AB的中点，

AE=lcm,

YDE_LAB,

DE=62_]2=遂cm.

菱形的面积为：2X73=2V3cm2.

故答案为：2«.

点评：本题考查菱形的性质，四边都相等，菱形面积的计算公式以及勾股

定理的运用等.

8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,AB=13,AC=10,

过点D作DE〃AC交BC的延长线于点E,则4BDE的周长为60.

考点：菱形的性质；勾股定理。

专题：数形结合。

分析：因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在RtAAOB中利用勾

股定理求出0B,然后利用平行四边形的判定及性质就可以求出ABDE的周

长.

解答：解：二•四边形ABCD是菱形，

.,.AB=BC=CD=AD=13,AC±BD,OB=OD,OA=OC=5,

AOB=7AB2-0A2=12,BD=20B=24,

•「AD〃CE,AC〃DE,

四边形AGED是平行四边形，

.*.CE=AD=BC=13,DE=AC=1O,

ABDE的周长是：BD+BC+CE+DE=24+10+26=60.

故答案为：60.

点评：本题主要利考查用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决,

关键是根据菱形的性质得出ACXBD,从而利用勾股定理求出BD的长度,

难度一般.

9.如图，已知菱形ABCD的一个内角NBAD=80°,对角线AC、BD相交于

点0,点E在AB上且BE=BO,则NBE0=65度.

考点：菱形的性质。

专题：计算题。

分析：因为AB=AD,ZBAD=80°,可求NABD=50°；又BE=BO,所以

ZBEO=ZBOE,根据三角形内角和定理求解.

解答：解：TABCD是菱形，.*.AB=AD.ZABD=ZADB.

VZBAD=80°，.*.ZABD=1X(180°-80°)=50°.

2

又•.•BE=BO,

.*.ZBEO=ZBOE=1X(180°-50°)=65°.

2

故答案为:65.

点评：此题考查了菱形的性质和等腰三角形的性质以及三角形内角和定

理.属基础题.

10.如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm,若墙上钉子间的

距离AB=BC=16cm,则Nl=120度.

BC

1

考点：菱形的性质。

专题：应用题。

分析：由题意可得AB与菱形的两邻边组成等边三角形，从而不难求得N1

的度数.

解答:解：由题意可得AB与菱形的两邻边组成等边三角形，则Nl=120。.

故答案为120.

点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定.

11.已知菱形的一个内角为60°,一条对角线的长为2y，则另一条对角

线的长为2或6.

考点：菱形的性质。

专题：计算题；分类讨论。

分析：题中没有指明该对角线是较长的对角线还是较短的对角线，所以就

分两种情况进行分析.

解答：解：①当较长对角线长为2正时，则另一对角线长为2；

②当较短对角线长为2正时，则另一对角线长为6；

故另一条对角线的长为2或6.

点评：此题主要考查菱形的性质以及勾股定理，做题时注意分两种情况进

行分析.

12.如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始

按A->B->C->D->E->F->C->G->A的顺序沿菱形的边循

环运动，行走米停下，则这个微型机器人停在B点.

考点：菱形的性质。

专题：规律型。

分析：根据题意可求得其每走一个循环是8米，从而可求得其行走米走了

几个循环，即可得到其停在哪点.

解答：解：根据“由A点开始按A->B->C->D->E->F->C->

G->A的顺序沿菱形的边循环运动”可得出，每经过8米完成一个循环，

74-8=251余1,

•••行走米停下，即是在第252个循环中行走了一米，即停到了B点.

故答案为B.

点评：本题考查的是循环的规律，要注意所求的值经过了几个循环，然后

便可得出结论.

13.如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PELAB于点E,PFLAD于点

F,PF=3cm,贝ljP点至I」AB的距离是3cm.

D

C

E

考点：菱形的性质；角平分线的性质。

专题：计算题。

分析：由已知得AC为NDAB的角平分线，且PE,PF分别到角两边的距离,

根据角平分线的性质得到PE=PF.

解答：解：YABCD是菱形

JAC为NDAB的角平分线

•「PELAB于点E,PFLAD于点F,PF=3cm.

.,.PE=PF=3cm.

故答案为3.

点评：本题考查了菱形的性质及角平分线的性质的运用.

14.已知：如图，菱形ABCD中，ZB=60°,AB=4,则以AC为边长的正方

形ACEF的周长为16

考点：菱形的性质；正方形的性质。

专题：计算题。

分析：根据已知可求得AABC是等边三角形，从而得到AC=AB,再根据正

方形的周长公式计算即可.

解答:解：•.•B=60°,AB=BC

AABC是等边三角形

.*.AC=AB=4

正方形ACEF的周长=4X4=16.

16故答案为.

点评：本题考查菱形与正方形的性质.

15.已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比为3：4,则菱形的面积为.

96cm2.

考点：菱形的性质。

专题：计算题。

分析：根据已知可分别求得两条对角线的长，再根据菱形的面积等于两对

角线乘积的一半即可得到其面积.

解答：解：设两条对角线长分别为3x,4x,

22

根据勾股定理可得（2）2+（生）=10,

22

解之得，、16cm,

••-菱形的面积=12X164-2=96cm2.

故答案为96.

点评：主要考查菱形的面积公式：两条对角线的积的一半，综合利用了菱

形的性质和勾股定理.

16.已知菱形的周长是52cm,一条对角线长是24cm,则它的面积是120

cm2.

考点：菱形的性质。

专题：计算题。

分析：已知菱形的周长以及一条对角线的长，根据菱形的性质利用勾股定

理可求得另一对角线的长度，然后易求得菱形的面积.

解答：解：由题意可得，AD=13cm,OA=12cm,

根据勾股定理可得，OD=5cm,则BD=10cm,则它的面积是24X10Xl=120cm2.

故答案为：120.

点评:此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，综合利用了勾股定理.

17.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任一

点（点P不与点A、C重合），且PE〃BC交AB于E,PF〃CD交AD于F,

则阴影部分的面积是2.5.

考点：菱形的性质。

专题：计算题。

分析：根据题意可得阴影部分的面积等于^ABC的面积，因为AABC的面

积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的

面积.

解答：解：阴影部分的面积等于^ABC的面积.

•「△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，

菱形ABCD的面积=』AC・BD=5,

2

•••图中阴影部分的面积为5-2=2.5.

故答案为2.5.

点评:本题主要考查了菱形的面积的计算方法,根据菱形是中心对称图形,

得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键.

18.如图：菱形ABCD中，AB=2,ZB=120°,E是AB的中点，P是对角线

AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_加

D

考点：菱形的性质；线段垂直平分线的性质。

专题：动点型。

分析：过点E作PELAB,交AC于P,则PA=PB,根据已知得到PA=2EP,

根据勾股定理可求得PE,PA的值，从而可得到PE+PB的最小值.

解答：解：当点P在AB的中垂线上时，PE+PB有最小值.

过点E作PELAB,交AC于P,则PA=PB.

VZB=120°

.•.ZCAB=30°

.,.PA=2EP

VAB=2,E是AB的中点

/.AE=1

在RtZ^APE中，PA2-PE2=1

，PE=立，PA=2^3

33

.,.PE+PB=PE+PA-V3，

故答案为

D

点评：本题考查的是中垂线，菱形的邻角互补.勾股定理和最值.本题容

易出现错误的地方是对点P的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使

PE+PB成为最小值.

19.如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且NEAF=ND=60°,

ZFAD=45°，则NCFE=45度.

考点：菱形的性质；等边三角形的判定。

专题：计算题。

分析：首先证明△ABE04ACF,然后推出AE=AF,证明4AEF是等边三角

形，最后可求出NAFD,NCFE的度数.

解答：解：连接AC,

,菱形ABCD,.*.AB=AC,ZB=ZD=60°,

.'.△ABC为等边三角形，ZBCD=120°

.•.AB=AC,ZACF-1ZBCD=6O°，

2

.*.ZB=ZACF,

:△ABC为等边三角形，

.•.ZBAC=60°,即NBAE+NEAC=60°,

又NEAF=60°,即NCAF+NEAC=60°,

.*.ZBAE=ZCAF,

rZB=ZACF

在4ABE与4ACF中AB=AC

ZBAE=ZCAF

AAABE^AACF(ASA),

.,.AE=AF,

又NEAF=ND=60°,则AAEF是等边三角形，

AZAFE=60°,

又NAFD=180°-45°-60°=75°,

则NCFE=180°-75°-60°=45°.

故答案为45.

点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定以及三角形的内角和

定理.

三.解答题(共7小题)

20.如图，四边形ABCD为菱形，已知A(0,4),B(-3,0).

(1)求点D的坐标；

(2)求经过点C的反比例函数解析式.

考点：菱形的性质；待定系数法求反比例函数解析式。

专题：代数几何综合题；数形结合。

分析：(1)菱形的四边相等，对边平行，根据此可求出D点的坐标.

(2)求出C点的坐标，设出反比例函数的解析式，根据C点的坐标可求

出确定函数式.

解答:解：(1)VA(0,4),B(-3,0),

.*.OB=3,0A=4,

/.AB=5.

在菱形ABCD中，AD=AB=5,

.,.OD=L

AD(0,-1).

(2)VBC^AD,BC=AB=5,

AC(-3,-5).

设经过点C的反比例函数解析式为y=k.

X

把(-3,-5)代入解析式得：k=15,

••・y=K.

X

点评：本题考查菱形的性质，四边相等，对边平行，以及待定系数法求反

比例函数解析式.

21.如图所示，在菱形ABCD中，ZABC=60°,DE〃AC交BC的延长线于

点E.

求证:DE=1BE.

2

考点：菱形的性质。

专题：证明题。

分析：由四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,易得BDLAC,ZDBC=30°,

又由DE〃AC,即可证得DELBD,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半，即可证得DE=」BE.

2

解答：证明：

法一：如右图，连接BD,

二•四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,

Z.BDXAC,ZDBC=30°，

VDE//AC,

.*.DE±BD,

即NBDE=90°，

.•.DE=1BE.

2

法二：•.•四边形ABCD是菱形，ZABC=60

•\AD〃BC,AC=AD,

•「AC〃DE,

，四边形AGED是菱形，

.*.DE=CE=AC=AD,

又四边形ABCD是菱形，

.*.AD=AB=BC=CD,

.,.BC=EC=DE,即C为BE中点,

.*.DE=BC=1BE.

2

点评:此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识.此题难度不大,

注意数形结合思想的应用.

22.如图，在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=4,0为对角线BD的中点，过

。点作OEJ_AB,垂足为E.

(1)求NABD的度数；

（2）求线段BE的长.

考点：菱形的性质。

分析：（1）根据菱形的四条边都相等，又NA=60°,得到AABD是等边三

角形，NABD是60°；

（2）先求出OB的长和NBOE的度数，再根据30°角所对的直角边等于斜

边的一半即可求出.

解答：解：（1）在菱形ABCD中，AB=AD,ZA=60°,

.二△ABD为等边三角形，

ZABD=60°；（4分）

(2)由(1)可知BD=AB=4,

又为BD的中点,

.*.OB=2(6分),

XVOEXAB,及NABD=60°,

.-.ZB0E=30°,

.,.BE=1.（8分）

点评：本题利用等边三角形的判定和直角三角形30。角所对的直角边等

于斜边的一半求解，需要熟练掌握.

23.如图，四边形ABCD是菱形，BE±AD.BFXCD,垂足分别为E、F.

(1)求证：BE=BF；

(2)当菱形ABCD的对角线AC=8,BD=6时，求BE的长.

考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。

分析：(1)根据菱形的邻边相等，对角相等，证明4ABE与4CBF全等，

再根据全等三角形对应边相等即可证明；

(2)先根据菱形的对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再根据菱形

的面积等于对角线乘积的一半和底边乘以高两种求法即可求出.

解答：(1)证明：•..四边形ABCD是菱形，

.*.AB=CB,ZA=ZC,

VBE±AD>BF±CD,

.•.ZAEB=ZCFB=90°,

在AABE和ACBF中，

rZA=ZC

-AB=CB

NAEB=NCFB=90°

/.△ABE^ACBF(AAS),

.\BE=BF.

(2)解：如图,

•.•对角线AC=8,BD=6,

•••对角线的一半分别为4、3,

•••菱形的边长为庐手=5,

菱形的面积=5BE=1X8X6,

解得BE弩

点评：本题主要考查菱形的性质和三角形全等的证明，同时还考查了菱形

面积的两种求法.

24.如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点(不与A、B重合)，连

接DP交对角线AC于E连接BE.

(1)证明:ZAPD=ZCBE；

(2)若NDAB=60°,试问P点运动到什么位置时，4ADP的面积等于菱

形ABCD面积的L为什么？

4

考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

专题：证明题；动点型。

分析：（1）可先证△BCE0ZXDCE得到NEBC=NEDC,再根据AB〃DC即可

得到结论.

（2）当P点运动至I」AB边的中点时，SAADP=1S菱形ABCD,证明SAADP=1X1AB-DP=

422

—S菱形ABCD即可.

4

解答：（1）证明：•••四边形ABCD是菱形

.,.BC=CD,AC平分NBCD（2分）

VCE