高中数学学业水平考试5（解析版）

高中学业水平考试5

一、选择题(本大题共20题，每小题3分，共计60分.每小题列出的四个选项中只有一项

是最符合题目要求的)

1.已知集合尸={x[l<x<4},Q={x[2<x<3},则尸Q=()

A.{x[l<x〈2}B.{x[2<x<3}C.{x[3«x<4}D,{x[l<x<4}

【答案】B

【解析】

【分析】直接计算交集得到答案.

【详解】因为P={x[l<x<4},Q={x[2<x<3},所以PcQ={x[2<x<3},

故选：B.

2.命题“VxNl,f2]，，的否定形式是()

A.Vx>l,x2<1B.3x>\,x2<1

C.Vx<1,%2<1D.Hr>1,%2>1

【答案】B

【解析】

【分析】全称命题的否定是特称命题

【详解】“任意”改为“存在”，否定结论即可.

对“VxNl,的否定形式是“玄21,Y<i”.

故选：B

3.己知四边形ABC。的两条对角线分别为AC,BD,则“四边形ABC。为菱形”是“AC，或>”的()

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分、必要条件的定义对命题进行判断即可.

【详解】若四边形ABCO为菱形，则ACL8。；

反之，若AC_L8£>,则四边形ABC。不一定是菱形.

故为充分不必要条件.

故选：A.

4.设2=四，则Z的共辗复数的虚部为（）

1-1

33.

A—B.—1

22

【答案】C

【解析】

【分析】先对复数2=空化简，从而可求出其共聊复数，进而可求出其虚部

1-1

【详解】因为2=m2+i=(高2+i高)(l+=i)亍l+=3万i1+,3.‘

—13

所以Z=――-i,

22

所以I的虚部为-T，

故选：C

5.已知口=3,"=2,若H=_3,则:与了夹角的大小为（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量夹角公式直接计算即可.

【详解】解：因为H=3,"=2,2b=-y

因为(a,b)e[0,180],

所以份工）=120.

故选：C

6.函数y=sinx,（留此的值域是（）.

「1J「10]「61

A.[—1,1]B.一,1C.2—,-2--D.---,1

1_2」L]L2

【答案】B

【解析】

【分析】判断V=sinx在上jr领Jr一27r上的单调性，确定y=sinx的最大值和最小值，从而确定值域;

r7171

【详解】y=sinx，y=sinx在0,—上单调递增，在工，万上单调递减

-22

2■效k—;.y=sinx在—上单调递增，在—-上单调递减

63162」1_23_

7171

・•・当x=,时y=sinx取最大值^max=sin—=1

且sin^=L,sin2%=^二当苫=9时丫=5山方取最大值为加=sin^=^-

6232662

'jr27r|I

・•.函数j=5也工，—^Jv-的值域是—,1

163J\_2_

故选：B

7.函数y=-^j=的定义域为（）

A/1-2X

A.B.mCg+8）D.1*；

【答案】B

【解析】

【分析】由根式内部的代数式大于等于0及分母不等于0,列出不等式，即可求解.

【详解】要使函数>=丁=有意义，则1一2%>0,解得x<L.

Vl-2x2

所以函数y=kt=的定义域为（一叫].

VI-2xI2J

故选：B.

X?+4Y<0

8.已知函数/（幻=<'—,贝iJ/[/（0）]=（）

x-4,x>0

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】带入数据计算得到/(0)=4,再计算得到答案.

犬2+4x<0

【详解】/(x)=「一八，故"0)=4,7"(0)]=/(4)=4-4=0.

x-4,x>0

故选：B.

9.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是()

A.至少有一个白球与都是红球B.恰好有一个白球与都是红球

C.至少有一个白球与都是白球D.至少有一个白球与至少一个红球

【答案】B

【解析】

【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.

【详解】解：对于A,事件：”至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错

误；

对于B,事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有

可能是两个都是白球，

所以两个事件互斥而不对立，故B正确；

对于C,事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，

故C错误；

对于D,事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红

球”，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.

故选：B.

10.一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动

员中抽出一个容量为N的样本，如果样本按比例分配，男运动员抽取的人数为16人，则'为()

A.16B.20C.24D.28

【答案】D

【解析】

【分析】根据分层抽样的知识列方程，由此求得N的值.

详解】依题意3=3—=3坐=28.

N56+4256

故选：D

IT

11.将函数y=sin2x的图象向左平移一个单位后，所得图象对应的函数是（）

4

.//>冗、

A.y=sin(2x--)B.y=：sin(2x--)

4

C.y=sm(2x+—)D.y=二sin(2x+?)

【答案】c

【解析】

【分析】根据函数平移的原则即可求出.

【详解】将函数y=sin2x的图象向左平移？个单位后，可得y=sin2x+^J=sin|^2x+-|

故选：C.

12.设a=log54,b=log53,c=0.5”，则a,h,。的大小关系是（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【答案】B

【解析】

【分析】利用指数、对数函数的性质判断指对数式的大小.

2

【详解】c=0.5°>1>a=log54>b=log53,即8<a<c.

故选：B

13.设心，〃是两条不同的直线，％夕是两个不同的平而，下列命题正确的是（）

A.若加//。,加//4，则夕//尸

B.若"Z//〃，/”///7,则〃//尸

C.若加//〃,根,则〃_L/?

D.若〃,则。_1力

【答案】C

【解析】

【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案.

【详解】解：对于A,若zn//a,〃〃/月，则久，相交或平行，故A错误：

对于B,若〃?//〃，〃？///7,则〃///?或”u£,故B错误;

对于C,若m/m,mL/3,则故C正确；

对于D,若〃，分，则0//£,故D错误.

故选：C.

14.函数/（x）=sin（2x一高的最小正周期是（）

7t一

A.-B.万C.2兀D.4万

2

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角函数最小正周期的计算方法，即可求解.

【详解】由题意，函数/（x）=sin（2x-?）,

24

根据正弦型函数的周期的计算方法，可得/（X）最小正周期为T=w=乃.

故选：B.

15.下列说法正确的是（）

A.通过圆台侧面上一点，有无数条母线

B.圆锥用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台

C.圆锥、圆台的底面都是圆，母线都与底面垂直

D.位于上方的面是棱台的上底面，位于下方的面是棱台的下底面

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆锥、圆台和棱台的定义，逐项判定，即可求解.

【详解】根据圆台母线的定义知，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以A错误；

根据圆台的定义，可得圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台，所以B正确；

由圆锥、圆台的母线都不与底面垂直，所以C错误；

由棱台的两个底面相似，其中较小的面叫做上底面，较大的面叫做下底面，所以D错误.

故选：B.

16.长方体的长，宽，高分别为3,2,1,其顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为（）

A.147rB.28乃C.42兀D.56〃

【答案】A

【解析】

【分析】先求出长方体的外接球半径，进一步求出球的表面积.

【详解】长方体的长，宽，高分别为3,2,1,设外接球的半径为A,则(2R)2=F+22+32=14,

解得R=巫，

2

所以5球=4万(^^)2=14万.

故选：A.

17.已知向量。=(1,m)，b=(3,—l),且(2a—则"?=()

A.-2B.-4C.2D.4

【答案】A

【解析】

【分析】先求出2a—人的坐标，然后由(2“一可，。，可得(2。一匕)m=0,从而可求出加的值

【详解】因为a=(l,m)，人=(3,—1),

所以2。一人=2(1,m)-(3,-l)=(-l,2m+l),

因为(2a—_L0,所以(2a—〃=-3—(2/M+1)=0,

解得加=—2,

故选：A

18.某人从出发点A向正东走而后到6,然后向左转150。再向前走3m到C,测得一A3C的面积为

地n?，此人这时离出发点的距离为()

4

A.3mB.血mC.2GmD.#1m

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得NABC=30。，再由，ABC的面积为上叵m?，求出AB的长，然后利用余弦定理求出

4

AC即可

【详解】如图，由题意可得NA3C=30。,

因为一ABC的面积为空m?，BC=3m,AB=xm,

4

所以SMe=-/lBBCsinZABC=-x=—，解得％=百，

ABC244

由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2ABBCcosZABC

反

=3+9-2xV3x3x—=3，

2

所以AC=6m，

故选：D

19.函数/（x）=21nx+x—6的零点所在区间为（）

A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,5）

【答案】C

【解析】

【分析】结合/（x）的单调性以及零点存在性定理求得正确选项.

【详解】/（X）在（0,+8）上递增，

〃3）=21n3-3=ln9-lne3<0,

/（4）=21n4-2=2（ln4-l）=2（ln4-lne）>0,

/（3）./（4）<0,所以/（x）的唯一零点在区间（3,4）.

故选：C

x~—2x—2,x40

20.设函数/（x）=《，则函数y=/（x）—1的零点个数为（）

lgx,x>0

A.1个B.2个C.3个D.0个

【答案】B

【解析】

【分析】由已知函数/(x)的解析式作出图象，把函数y=/(x)-l的零点转化为函数/(x)与y=1的交点得

答案.

故选：B.

第II卷(非选择题)

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二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共计15分)

21.已知x>-l,求函数y=x+—!—+1的最小值是.

x+1

【答案】2

【解析】

【分析】由x>-l,得x+l>(),利用基本不等式即可得出答案.

【详解】解：因为x>—l,所以x+l〉O,

则y=x-\——!——I-1=x+14——!—>2.(x+1)—!—=2,

-x+1x+1VX+1

当且仅当x+l=-L,即x=0时，取等号.

故答案为：2.

222

22.在锐角^ABC中，a-b=c-42bc，则角A的大小为.

71

【答案】-

4

【解析】

【分析】利用余弦定理表示出cosC，把已知等式代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角

的三角函数值即可求出C的度数.

【详解】解：由"2=’2—岳c，得^+c2_〃=®c，

I,h~+C~—Cl~y[2,bc5/2

由余弦定理：cosA=----------=-----=—

2bc2bc2

又因为A为锐角三角形的内角，

71

所以A=一,

4

IT

故答案为：

4

23.已知函数/(x)=f-(2aT)x+3,在区间［1,4］上不单调，则实数。的取值范围是

f39A

【答案】—

(22；

【解析】

【分析】由二次函数的单调性求解.

【详解】函数=对称轴为x=-^—,

因为函数在区间［1,4］上不单调，

2a-l

所以1<<4

2

39

解得一<4（乙,

22

所以实数。的取值范围是

32、

故答案为:

2,2,

24.在三棱锥A—BCD中，若平面ABC_L平面8C。，80=CD且8。LCD.则直线CD与平面ABC

所成角的大小为

it

【答案】一；

4

【解析】

【分析】过。作交8c于。，推导出。是8c中点，且。O_L平面ABC,从而直线CO与平

面ABC所成角为ZDCB,由此能求出直线CO与平面ABC所成角的大小.

详解】过。作DCBC,交BC于0,

•.•在三棱锥A-38中，平面ABC_L平面BCD,BD=CD且BD人CD,

•••△BCD为等腰直角三角形，。是BC中点，且。O_L平面ABC,

直线CD与平面ABC所成角为ZDCB,

,：在等腰直角三角形△BCD中NDCB=-,

4

71

直线CD与平面A8C所成角的大小为一.

4

故答案为：一.

4

【点睛】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

25.一张方桌有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B,C,。三人随机坐到其他三个位置上，则C

与。相邻的概率为.

【答案】-

3

【解析】

【分析】先计算3,C,。三人随机坐到其他三个位置上的所有情况，再计算“C与。不相邻”的情况，利

用古典概型的概率公式，即得解

【详解】B,C,。三人随机坐到其他三个位置上，共有用=6种等可能情况,

要使C与。不相邻，则8必坐在A的对面，此时C与。的坐法共有2种情况,

所以根据古典概型求概率公式可知。与相邻的概率为电工=

63

……2

故答案为：-

3

三、解答题（本题共3小题，共25分）

9

26.已知函数/（x）=x——，XG[1,6]

（1）判断并用定义证明“X）的单调性；

（2）求/（力的值域.

-9一

【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）-8,-.

【解析】

【分析】（1）定义法证明函数单调性步骤：取点、作差、判号：（2）结合第一问求得的函数的单调性求解函

数的值域.

【详解】（1）/（X）为增函数，证明如下：

V玉ex2，％,X2W[1，6]，

/（%）—/（%2）=石_七+2_2=罚_/+9国_"2）=（"-%2）（9+”也）

x2玉x}x2XyX2

因为玉＜12=%一工2＜°，X\X2＞°

/（%）-/。）=心一々）（9+刊）＜0

X\X2

可得:〃%）＜/（七）

所以/（X）在xe[l,6]上为增函数.

（2）由第一问可知该函数在xe[l,6]上为增函数，则当x=l,/（x）有最小值，当x=6，/（x）有最大

值.

因为）。）=-8，/（6）==，所以函数/（x）值域为一8,5.

22

27.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面ABCD为正方形，附_L平面ABC。，PA^AD^l,E,尸分别是

PB,AC中点.

（1）证明：EE〃平面PCD；

（2）求三棱锥£一ABE的体积.

【答案】（1）证明见解析

1

(2)

24

【解析】

【分析】（1）利用中位线定理即可证明EF//PD，从而得出EFH平面PCD；

（2）计算E到平面A8CD的距离和三角形A5广的面积，代入棱锥的体积公式计算.

【小问1详解】

证明：四边形ABCD是正方形，尸是AC的中点，

：.B>F,。三点共线，且F是8。的中点，

又E是尸3的中点，

..EF//PD,

又政《平面PCD,PDu平面PC。,

.•.EF〃平面PCD.

【小问2详解】

解：24,平面AB