高中数学必考-三次函数解析

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高中数学必考-三次函数专题解析

三次函数专题

一、定义*

定义1、形如y=o?+b.d+cx+d(aHO)的函数，称为“三次函数”(从函数解析式的结构上命名)。

定义2、三次函数的导数/=3*2+2版+c(a=0),把△=4/?-12ac叫做三次函数导函数的判别式。

由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重.要内容，所以三次函数的问题，已经成为高

考命题的一个新的热点和亮点。

二、三次函数T=or'+bx2+cx+d(a^0)图象与性质的探究：

1、单调性。

•般地，①当△=4〃-12仇・40时，三次函数^=&/+云2+5+4(。工0)在火上是单调函数；

②当△=4b2-i2ac>0时，三次函数y=axy+hx2+av+d(a工0)在R匕有一个单调区间。

根据a>0,〃<0两种不同情况进行分类讨论，令/'(x)=3ar2+2Ax+r=o两根为不七且为<与，则：

2、对称中心。

三次困数f(x)=axi+bx2+5+〃仅，0)是关于点对称，且对称中心为点(-2,八—2)),此点的横坐标

3a3a

是其导函数极值点的横坐标。

证明：函数/(丫)="3+及2+5+正(。H0)关于点(m,n)对称的充要条件是/(〃7-X)+/(〃7+X)=2〃，

即：[a(/w-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d]+[a[m+x)J+b(m4-x)2+c(m+x)+d]=2n，整理得，

(6ma+2b)x2+(2amy4-2bm2+2mc+2d)=2n,据多项式恒等对应系数相等，可得，

m=--itn=amy+bm2+me+d=/(///)=，(—-)»

3a3a

从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(--,/(--)).

3a3a

可见，y=/(x)图象的对称中心在导函数y=/'(x)的对称轴匕且乂是两个极佗点的中点，同时也是二阶导

为零的点(拐点).

由上又可得以下结论：

y=/(x)是可导函数，

①若y=/(x)的图象关于点(，4〃)对称，则y=/'(x)图象关于直线x=，"对称.

②若v=/(.V)图象关于直线、=m对称，则y=f'(x)图象关于点(,”,0)对称.

这是因为：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.

3、三次方程根的个数问题(或三次函数的图象与x轴交点个数)。

<1)当△=4〃-12ac40时，由于不等式/'(x)20恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有个实根。

(2)当△=4尸-12ac>0时，由于方程/'(x)=0有两个不同的实根再户？，不妨设再<x?,则:

①若/(七卜/。2)>0,即函数)，=/(.*)极大值点和极小值点在x轴同侧，图象均与x轴只有一个交点，所以原

②若八再)/(々)<0,

程有三个不等实根。

③若/(再)/(々)=。，即/(占)与/(々)中有且只有一个值为0,所以，原方程有三个实根，其中两个相等。

2

4、奇偶性。

三次函数/(x)=ax}+bx2+s+4(。x0)当且仅当6=d=0时是奇函数。

5、极值点问题.

若函数/(X)在点X。的附近恒有/(%)>/(x)(或/(%)</(x)),则称函数/(X)在点与处取得极大

值(或极小值)，称点X。为极大值点(或极小值点)。

当△>()时，三次函数y=/(x)在(-8,+8)上的极值点有两个。

当△4()时，三次函数y=/(x)在(-8,+8)I二不存在极值点。

6、6值问题。

由函数/(x)=ax'+hx2+cx+d(aw0)的图像能够探究出在区间的最大值与最小值：

函数/(x)=ad+投/+4+或“.0),n\,若〃],且/'(x())=0,则：

f„m(x)=max{/〃“)，/(%),/(〃)}；,力„(x)=min{/(/n),f(x„),/(«)}。

8、三次函数切线问题.

①在/>(如%)处的切线求法

设点凡％,加)为三次函数/(*)="'+笈2+5+"5*0)图象上任一点，则在点P一定有直线与

y=/(x)的图象相切，且只有一条。

/2

k=/(x())=3«.r„+2bx<>+c,切线方程为：y_为=(3or；+2bxa+c)(x-x(l)

②过户(看，局)处的切线求法

设点H/，乂))为三次函数/(x)=ax'+阮2+a+"(ax0)图象上任一点，则在点P一定有直线与

y=/(x)的图象相切。

过P点作V=/(x)图象的切线，设切点为。(为，乂)，则切线的斜率4=/'(X1)=3ar；+2切+c,

切线方程为：+2如+c)(x-xj,将点/知义)代入，得%-必=(3ar；+27%+c)(x<,-xj,

No-(ax；+6x；+cT]+4)=(3arJ+2bxi+c\x0-,将x1求解出来即可.

3

9、•:次函数解析式的常见形式.

(1)一般形式：f(x)=ar3+bx~+ex+d(a^O)

(2)已知函数的对称中心为(，”,”)，则/(x)=/(x-，”)3+B(x-ni)+n(axO)

(3)已知函数图象与x轴的三个交点的横坐标a、。、y(a<£<y),则

f(x)=a(x-a)(x-p)(x-y)(a*0)

(4)已知函数图象与x轴的一个交点的横坐标Xo，则/(*)=。-项))(衣2+"a+")(0;t0)

:、例题讲解：

例I、已知函数/(x)=x3-3ar2+3x+L

(1)设。=2,求/(x)的单调区间；

(II)设/(X)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围。

解：

(I)当a=2时，/(x)=xJ-6xJ+3x+1,/r(x)=3(x-2+>/3)(x-2-^3).

当xe(YO.2-J5)时/((x)>0,/(x)在(-8.2-J5)单调喈加；

当xw(2-/,2+J5)时/<x)<0,y(x)在(2-抬.2+/)单调砥少；

当xe(2+/,+8)时/«(^)>0.y(x)在(2+依.+8)单调憎加,

综上，/(x)的单调噌区间是(-co,2-/)和(2+J5,+8),

」(x)的年调派区间是(2-J5.2+/).

(11)f(x)=3[(x-a)2+1+a3],

当1-a2NO时./f(x)SO./(x)为陆函蚊，故/(x)无极值点，

当l-a2Vo时，_T(x)=O有两个根

X[=a-yjaJ_1,Xj=a+—1•

由题意知,2<a—一]<3»或2va+Ja、-1<3«

①式无解，②式的解为因此a的取值范围是(工，*].

43U3)

4

例2、已知函数/（x）满足/（x）=./+/1|>2-x+C（其中/［：）为/（x）在点x=|处的导数，C为常数）.

（1）求函数/（x）的单调区间：

（2）若方程/（x）=0有且只有两个不等的实数根，求常数C:

（3）在（2）的条件下，若彳求函数/（x）的图象与x轴围成的封闭图形的面积.

解：（1）由/（x）=x3+/（|42-x+c,得/，（X）=3X2+2/1：｝-1.

取V，得咯,啕+2用册I,解之,得得7,

,•f（x）=JC3-x2-x+C.

从而/，（刀）=3/-2x-l=31+；卜一1）>

列表如下:

/1、_1(-1,1)

Xy,一§)1（1，+8）

3

f'(x)+0——0+

f(x)/有极大值有极小值/

fix）的单调递增区间是（-8,-1）和（1,+00）;/（X）的单调递减区间是（-；,1）.

⑵由（1）知，［/（X）］微大值=/（-；）=（-；）-（-；）+C=/+C；

［/(X)］极小值=/(D=13-12-1+C=-1+C.

...方程/(x)=0有且只有两个不等的实数根，等价于［/(X)］极大值=0或［/(切极小值=0.

二常数C=-工或C=1.

27

(3)由(2)知，f(x)=x3-x2-x—f(x)=x3-x2-jc+1.

而/(-；)>0,所以/(X)=/——一》+1.

y22

f(x)=x-x-x+l=0,W(x-l)(x+l)=o,5=-1,x2=1.

所求封闭图形的面积=/口_/_X+_gXYx2+Xjg

例3、已知函数/(x)=+cx+d有极值.

(I)求c的取值范围：

(【I)若/(x)在x=2处取得极值，且当x<0时，〃x)<1a2+2d恒成立，求”的取值范围.

6

322

解：(I)VJ\x)=^x-^x+cr+t/»f\x)—x-x+cf

要使/(x)有极值，则方程/"(x)=x2-x+c=0有两个实数解，从而△=l-4c>0,

5

(II)・・・/(x)在x=2处取得极值，・・.r(2)=4-2+c=0,・・・c=-2.

/'(x)=-xy--x2-2x+d»

32

Vf\x)=A-2-x-2=(x-2)(x4-1),・••当xw(ro,—l］时，/'(x)>0,函数单调递增,

7

当xw(-l,2］时，/'(x)<0,函数单调递减.；.x<0时，/(x)在x=-l处取得最大值一+d,

6

171

Vx<OR't，/Xx)*:—"?+2d恒成立，.'.-+d<-d22d,即(4+7)(d-l)>0,

666+

二d<-7或d>l,即d的取值范围是(YO,-7)U(L+8).

例4、设函数/(x)=a\'+hY+cx+，/(a,h,c,deR,4>0),犬中/(0)=3,/"(x)是./(*)的导函数.

(1)若/'(-1)=/'(3)=-36,/'(5)=0,求函数/(x)的解析式;

(2)若c=-6,函数/(x)的两个极值点为占，占满足7<XI<1<X2<2.设/1=/+62-6“+%+10,试求

实数)的取值范围.

解：•.•/(0”3,W=3

(I)据题意,fXx)-3aP+2bx+c

由/'(-1)=/'⑶=-36知，x=1是二次函数/")图象的对称轴

又/1(5)-八-3)-0,故%--3,4・5是方程/1W-0的两根

设■加-3)(x-5),将/*(-1)=-36代入得川=3

/•(x)-+3)(x-5)-3A?-6x-45比较系数得：assLb=7c■-45

故/•(机7-3,45x+3为所求

另解：.KO)”,八3,

3a-2i+c=-36a=1

<27a+68+c=-36<b=-3

据题意得P5a+106+c=0解得［c=-45

故〃x”N-3/-45x+3为所求

(II)据题意，以则/3=3aN+26x-6

又小，是方程/1«-°的两根，且-1<再<1<%<2,“>0

6

A-i)>o3a-2b-6>0

/'(i)<o3^+2i-6<0

八2)>o6a+24-3>0

a>0

则点3"的可行区域如图

v^=（a-3）2+（i+l）2

义的几何意义为点P（&3与点'©/I）的距离的平方.观察图形知点，A到直线

刀_(3x3-2x16)2_1

3a+23-6=0的距离的平方/为4的最小值3?+2?=13

6+8)

故外的取值范围是

三次函数作业

1,设/'"）是函数/（X）的导函数，y=/'（x）的图象如图所示，则y=/（x）的图象最有可能是（）

解：根据图象特征，不妨设f（x）是三次函数。则〉=''（x）的图象给出了如下信息:

①a>0；

②导方程两根是0,2,（f（x）对称中心的横坐标是1）；

③在（0,2）上/‘⑶<°；在（一8,0）或（2,+8）上,

由①和性质】可排除B、D；由③和性质1确定选C。

2、函数/（x）=.d-3x+l在闭区间［-3,0］上的最大值、最小值分别是（）

A.1,-1B.1,-17C.3,-17D.9,-19

解：函数的导方程是3/-3=0,两根为1和一1,由性质2得：

/(x)tt„=max{/(-?)./(-I)./(O)./(1))=3(

=mm(/(-3)(/(-I),f(O),/(l))=-17o

故选C.

3,已知函数y=x'-x,求过点/(1,0)的切线方程。

解:，卜)*-1,

若A是切点，则切线方程为y-O=2(x-l)=>j，=2x-2

若A不是切点，设切点为(，/-，),则切线方程为>-(--，)=(/-l)(xT),将*J代入得

2?-3/2+1=On戊-21(+1)%(4)，2,所以切点为卜找)，则切线方程为x+4j，-l=0.

4、设函数/(X)=；X3-=/+6X+C,其中“>0,曲线N=/(x)在点Ro,/(0))处的切线方程为》=1

(/)确定/八C的值。

(〃)设曲线y=/(x)在点U，/(x,))及(占，/&))处的切线都过点(0,2)证明：当x尸当时，

/'区―

(〃/)若过点(0,2)可作曲线j，=/(x)的三条不同切线，求“的取值范围。

解；<】)由/5)=：*'-：/+加+。得，/(0)-c.八切=/-<«+6.r(0)・6.

又由曲段y=/(x)在点P(O./e)>处的切戊方程为y=1,1./'(())«0.

故bn0.。■I・

<11)由于点《./(，》处的切戊方代为

X-/(O«/W-O.而点(0,2>在切线上.2-/(0-/#(IX-/).化荷用

+1=0,即,满足的方程为

卜面刖反证法iF明

假设/(演)=/2*1卜的线r=/(x)在点($./(』))及(占./(&))处的切线都过

点(0.2),则声列。式成立.

装一封+1.....(1)

1只言+1.....⑵

:V：一啊=X；-ax2.....(3)

由(3)得巧+占=a.由。)一(2)得x；+x1x2+x；=2/......(4)

4

，/a、a32

Xxj+x；.(&+x?)：71M=/_%("与)=1：一叫+a•.(X)一).+Y

24

ittlll(4)^X[-*此时与=3。演*x1矛盾所以/'(七)=/'(xj

<iniin<n>知，过点<o,2)可作j=y(x)的工条切线.等价r方理

2—'(r)(O-r)

何：个相片的实根,即等价「方程|■广一才+1=0白：个相.计的啖根.

设g(r)=］『-gJ+Lg'(0*2r2-at=2t(t--^).由于a>0.故有

a

tSO)0他)尊收)

1

g'(r)+0—0

极小值

g(r)/梭大值1/

1---

24

illg(r)的中谢性即：陵使g(r)=Ofi叶相上的土根，。fl,仅”-《<0.a>WJ.

24

二。的取值范用足(2”.+oc).

9

5,已知函数/(x)=；x'+ar2+bx,且/'(-1)=0

(1)试用含。的代数式表示心并求/(X)的单调区间；

(2)令。=-1,设函数/(x)在片,三(为<三)处取得极值，记点N(x2,f(x2)),),

x,<m<x2，请仔细观察曲线/(x)在点尸处的切线与线段加产的位置变化趋势，并解释以下间题：

(/)若对任意的机毛)，线段用户与曲线/(X)均有异于用，尸的公共点，试确定，的最小值，并

证明你的结论；

(〃)若存在点0(〃，/(〃)),Xw〃<，〃，使得线段尸。与曲线/(X)有异于P、。的公共点，请直接写出，”的

取值范围(不必给出求解过程)

解：解法一：

(I)依题意，得/'(*)=、+2ar+Z>

|t|f\—\)=\—2a+b=0得6=2a—\.

从而f(x)=；+ax'+(2a-1)x,Afj/'(x)=(x+1)(x+2a-1).

令,/'(-v)=0,得x=-llfJtr=1-2a.

①当a>l时，

当X变化时，f\x)与/(x)的变化情况如下表：

X(-00,1-2a)(1-2")(T+00)

f\x)+—+

fix)单调递增单调递减单调递增

由此得，函数/(x)的单调增区间为(Y,1-2“)和(-1,+8),单调减区间为,

②当。=1时，1-2。=一1此时有了«)>0恒成立，且仅在x=-l处./''(x)=0,故函数/(x)的单调增区间为R

③当时，1-2a>-1同理可得，函数/(x)的单调增区间为(YO,T)和单调减区间为(-1,1-2幻

综上：

当a>1时，函数/(x)的单调增区间为(-8,1-2a)和(-1,-KO),单调减区间为(1-2a,-1)；

当。=1时，函数/(X)的单调增区间为R；

当a<l时,函数/(x)的单调增区间为(7,-1)和(1-20,+8),单调减区间为(-l,l-2a).

io

(n)由a=_］得/(x)=1•?_x?_3x令f(x)=x2_2x_3=0得再=_1,再=3

由(1)得/(*)增区间为(-oo,-l)和(3,xo),单调减区间为(一1,3),所以函数/(X)在处占=-l,x?=3取得极值,

故M(-1,-)N(3,-9)。

3

观察/(X)的图象，有如卜现象：

①当m从-1(不含-1)变化到3时，线段MP的斜率与曲线〃x)在点P处切线的斜率/(X)之差的的值

由正连续变为负。

②线段MP与曲线是否力异于H.P的公共点上曲“一/'(⑼的m正负有着密切的关联；

③&/1一/'(机)=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足A”,,一/'(加)的m就足所求的t最小色，下面给出证明

并确定的t坡小值.曲线/(x)在点尸(，”,/(，”))处的切线斜率/'(〃。=机2-2机一3；

线段MP的斜率kw=3,7

当kMP-f\m)=0时，解得，*=-1或加=2

mn54w

直线MP的方程为y=(~~^~x+-^~)

令g(x)=/(x)T士产x+中)

当m=2时，g'(x)=x?-2x在(-1,2)上只有一个零点》=0，可判断/*)函数在(-1,0)上单调递增，在(0,2)上

单调递减,又g(-l)=g(2)=0,所以g(x)在(-L2)上没有零点,即线段MP与曲线/(X)没有异于M,P的公共

点。

当机e(2,3］时，g(0)=->0.g⑵=-(5一2尸<0

所以存在，"€(0,2］使得g(S)=O

即当mw(2,3］时,MP与曲线/(x)有异J-M.P的公共点

综上，t的最小值为2.

(2)类似(1)丁中的观察，可得m的取佗范阚为(2,3］.

)1

解法二：

(1)同解法一.

⑵由。=一1得/Cr)=-§x3-x2-3x,令/'(幻=》2-2工一3=0，得为=-1,出=3

由(1)得的/(幻单调增区间为(-8,-1)和(3,+8),单调减区间为(-1,3),所以函数在处取得极值。故

M(-l,|).N(3,-9)

nr—4m-5nr—4w

(I)直线MP的方程为>=

m2-4m-5m~-4m

y=-x3-x2-3x

13

得F—3x2-(nr-4m+4)x-m2+4m=0

线段MP与曲线/(戈)有异于M,P的公共点等价于上述方程在(一l,m)上有根，即函数

g(x)=x3-3x2-(m2-4m+4)x-m2+4〃?在(-1,m)上有零点.

因为函数g(x)为三次函数，所以g(x)至多有三个零点,两个极值点.

又g(T)=g(m)=0.因此,g(x)在(-1,m)上有零点等价于g(x)在(T⑼内恰有个极大值点和一个极小值点，即

g'(x)=3x2-6x-(〃F-46+4)=0在(1,〃。内有两不相等的实数根.

A=36+12(m2-4m+4)>0

、，I-1<m<5

3(-1)~+6-(nr-4/w+4)>0„

等价于1,即加>2或雨<一1,解得2<〃J<5

3m~-6m-(m~-4ni+4)>0.

又因为-1VmW3,所以m的取值范围为(2,3].

6、设函数/(x)=6d+3(a+2)/+2ar.

(1)若/(x)的两个极值点为芯,当，且须出=1，求实数。的值；

(2)是否存在实数%使得/(幻是(-oo,xo)上的单调函数？若存在，求出。的值；若不存在，说明理由.

程.f\x)=18x2+6(a4-2)x+2a

(1)由已知有/'(xJ=/'(X2)=°,从而*18-I,所以a=9；

(2)山△=36("+2>-4x18x2"=36(/+4)>0

所以不存在实数。，使得/(X)是贝卜.的单调函数.

12

7、设定函数/。)=*，+*+5+力〃>0),且方程/'(x)-9x=0的两个根分别为1,4。

(I)当“=3且曲线y=/(x)过原点时，求/(幻的解析式；

(II)若/(X)在(YO,+00)无极值点，求〃的取值范围。

解：

由7r(X)+&X2+cx+d得y(x)=ox，+26x+c

因为7r'(x)—9x=ax2+2bx+c-9x=0的两个根分别为1,4*

a+2b+c—9=0

所以(*)

16a+8b+c—36=0

=0

(I)当a=3时，又由(*)式福：0八

Sb+c+12=0

解得5=-3,c=12

又因为曲线N=/(x)过原点，所以d=0

故/(》)=/-3/+12万

(II)由于a>0,所以“，(工)=2/+笈:+〃+3在(-°°»2)内无极值点”等价于

"/'(X)=ox：+2fcr+c20在(-°°»**>)内恒成立”.

由(*)式得2b=9-5a,c=4a.

又A=(2d)2-4ac=9g-1)(.-9)

解Mae[1,9]

[A=9(a-】Xa-9)401J

即a的取值范围[L9]

8、已知函数/(幻=水'-|/+心€尺)，其中a>0.

(I)若a=l，求曲线)，=/'(x)在点(2,/⑵)处的切线方程；

(II)若在区间上，/(x)>0恒成立，求“的取值范围.

解析：(I)解：当“=1时，/(x)=x'-#+l,/(2)=3/x)=3/-3x,/"(2)=6.所以曲线产/(x)

在点(2,/⑵)处的切线方程为j-3=6(x-2),即j=6x-9.

13

(II)解:f\x)=3ax2-3x=3x(ax-1).令f\x)-0,解得x=0或x=—.

a

以卜.分两种情况讨论：

若0vaK2,则当x变化时，f\x)./'(x)的变化情况如卜.表:

a2

X0

f\x)+0—

f(x)□极大值□

5-a

>0

8

当时，/(x)>0等价于♦2，即.,解不等式组得一5<。<5.因此0va«2.

_22_5+a

/(1)>0>0

8

若。>2,则0<1<1.当x变化时，/"(X),/(x)的变化情况如下表:

a2

1

X0(叫层)

f\x)+0—0+

fM□极大值□极小值□

/(-；)>05-6/

丁>°4141

当xw时，/(x)>0等价于即，,解不等式组得J<〃<5或〃<一J.因此

22122

/(-)>01——>0

a2/7

2v〃v5.综合(1)和(2),可知〃的取值范围为Ov〃v5.

9、已知函数/(x)=ad+/+以(其中常数-bwR),g(.0=/(x)+/'(x)是奇函数.

(I)求/")的表达式；

(II)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间［1,2］上的最大值与最小值.

解：

14

解：(I)由题意得/'(x)=3a/+2x+b

因此g(x)=/(.V)+/r(x)=ax2+(3a+l)x2+(b+2)x+b.因为曲数g(x)是奇的数，

所以g(r)=-g(x).即对任意实数X,有

a(-x)3+(3a+l)(-x)2-(b+2)(-x)+6=-[ar2+(3a+1).1」-(6+2)x4-b].

从而3。+1=02=0.解得。=-；2=0,因此/>(万曲解析表达式为

/(x)=-1xJ+x2.

,II)itl<I)如g(x)=-jx:+2x,所以g'(x)=-x'+2,令g'(x)=0,解得I=-72,

1-1

x2=>/2,W]ix<—y/2a^x>yfiii'i.gXx)<0,从而g(x)/「M|H](-x,—V2],[V2,-!-X)

1：是减函数：巧-J?<x<V2U4.g'(x)>0.从Ifi)g(x)农区间[-V2.JI]卜艮增函数.

卜前面讨论知,g(x)在区间[1Z上的最大值与最小值只能在x=1.42时取得，血

5«—4万4

g⑴=；g(JI)=岸42)=孑因此g(x)在区网[1口।的最大色为

g(J7)=芈,段小值为g(2)=：

10、已知在函数/■(x)=-"uJ-x的图象上以N(1,")为切点的切线的倾斜角为工，

4

(1)求〃7、〃的值：

(2)是否存在最小的正整数鼠使不等式/(x)4A-1992对于xw[-l,3]恒成立？求出最小的正整

数鼠若不存在说明理由；

(3)求证：|/(sinx)+/(cosx)|42/a+g)(xe/?,/>0).

解：(1)f(x)=3mx1-\,

，121

/(I)=tan—=1,.'.???=—,7/=—.

-433

(