高中数学《导数的几何意义》导学案

3.1.3导数的几何意义

卜课前自主预习

H基础导学

1.导数的几何意义

(1)导数(xo)表示函数,於)在x=xo处的回瞬时变化率,反映了函数./(X)在X

=X0附近的变化情况.

(2)函数y=«x)在点xo处的导数/'(xo)的几何意义是曲线y=«r)在点P(xo，7(xo))

处的圆切线斜率.

相应地，曲线y=«x)在点P(xo,/to))处的切线方程为\y-/Uo)=尸(xo)(x

—xo).

2.导数的物理意义

如果把y=/U)看做是物体的运动方程，那么，导数/'(次)表示运动物体在xo

时刻的回瞬时速度,这就是导数的物理意义.

3.利用导数的几何意义，求在点(xo,穴次))处的切线方程的一般方法，可分

两步：

(1)因先求出函数y=/U)在点xo处的导数尸(xo)；

(2)圆根据点斜式得切线方程为y—yo=f'(xo)(x—xo).

［点斜式方程

先求/⑺，再求r(w)的值

品知识拓展

“函数人灯在点x=xo处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系

(1)函数在某一点处的导数：就是在该点处的函数值的改变量与自变量的改变

量的比的极限，它是一个数值，不是变量.

(2)导函数：如果函数y=/(x)在开区间(a,加内每一点都可导，就说/(x)在开

区间(a,份内可导，这时对于区间(a,8)内每一个确定的值xo,都对应着一个导数

f(xo),这样就在开区间(a,与内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做7U)

在开区间(a,份内的导函数，记作/'(x)或y',即f(x)=y，=lim光=lim

Ax-O"Ax—O

J(X+AA)~/(X)

Ax,

(3)导函数也简称导数.

(4)函数y=y(x)在点光o处的导数/'(xo)就是导函数(x)在点x=xo处的函数

值，即/'(xo)=/(X)|x='.所以求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导

函数，再计算这点的导函数值.

京］自诊小测

1.判一判(正确的打"J"，错误的打"X")

(1)导函数/'(X)的定义域与函数7U)的定义域相同.()

(2)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点.()

(3)函数兀x)=0没有导函数.()

答案(1)X(2)X(3)X

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)已知函数在X。处的导数为7'3))=1，则函数式X)在X。处切线的倾斜角

为.

(2)若函数/U)在点A(l,2)处的导数是一1,那么过点A的切线方程是.

(3)函数«r)的导数(x)=.

答案⑴45。⑵x+y—3=0⑶2x

卜课堂互动探究

探究1求切线方程

求曲线过点/>的切线时，点。可能不在曲线上，或

。在曲线上但不一定为切点，如/(尤)=/，在(0,0)

处的切线为y=0,过点P(1,1)的切线有/1(点P是

切点)、为(点。不是切点)两条.

例1求曲线>=X*)=必+2》-1在点P(l,2)处的切线方程.

［解］易证得点P(l,2)在曲线上，由尸/+2%一1得

A>,=(x+Ar)3+2(x+Ax)—1—x3—2x+1

=(3/+2)©+3尤•(Ax)?+(AJC)3.

2=3f+2+3;rAx+(Ar)2.

当Ar无限趋近于0时，3x2+2+3x-Ax+(Ar)2无限趋近于3公+2,即/㈤

=3/+2,所以f(1)=5.

故点P处的切线斜率为k=5.

所以点P处的切线方程为y—2=5(x—1),即5x—y—3=0.

［条件探究］将例1中的在点尸(1,2)改为过Q(0,l),结果会怎样？

解.点。不在曲线上，.•.设切点坐标为(xo,yo).

由本例知z=/'(九0)=3%6+2,切线方程为y—刈=(3"+2)。-xo).

又.••切线过点。(0,1),/.l-yo=(3x6+2)(O-xo).

又yo=V+2xo—1得蛭=—1,即xo=-1,

，切线方程为5x—y+1=0.

拓展提升

利用导数的几何意义求切线方程分两类

(1)当已知的点在曲线上且切于该点时，直接利用导数求切线的斜率，写出直

线方程.

(2)当已知点不在曲线上，设出切点，利用导数表示出切线斜率，写出切线方

程，代入点的坐标，求出切点坐标，写出直线方程.

[跟踪训练1]已知曲线C：兀r)=x3.

(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；

(2)求过点(1,1)与人》)=》3相切的直线.

解⑴(x)=lim1(v-l-AvV—

Ax—>0

(一)3+3-AX+3*(AX)2

=limAx

A.V—>0

=lim[(Ax)2+3X2+3A-Ax]=3J?,

zkv—>0

：.f(1)=3X12=3,又火1)=P=1,

二切线方程为y—l=3(x—1),

即3x—y—2=0.

(2)设切点为P(xo,蝠)，

由(1)知切线斜率为k=f(XO)=3JC6,

故切线方程为y—xd=3而(x—xo).

又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得

1—端=3x6(1—xo),即2AB—3A6+1=0,

解得xo=1或xo=一；.

故所求的切线方程为

y-]=3(x—l)或y-]=永尤—1),

即3x-y~2=0或3x-4y+l=0.

探究2利用导数求切点坐标

导函数产/付是一个变量，而函数在须,

处的导数/”(%是一个常数，不是变量.

例2过曲线^二火处二X2上哪一点的切线,

(1)平行于直线y=4x—5?

(2)垂直于直线2x-6y+5=0?

［解］因为yu)=f，

,/(x+Ar)-/(x)

所以/'(x)=lim

Ar—0

(x+Ax)2-X2

=lim=2x,

Ax

△,V—►0

设P(x(),yo)是满足条件的点.

(1)因为切线与直线y=4x—5平行，

所以2xo=4,xo=2,yo=4,即P(2,4)是满足条件的点.

(2)因为切线与直线2x-6y+5=0垂直，

所以2m；=-l,得xo=一|,yo=*

39

即---

牙4是满足条件的点.

［结论探究］在例2中，过曲线上哪一点的切线倾斜角为135。?

解由例题解析过程知(x)=2x,

因为倾斜角为135。，所以其斜率为-1.

即2xo=-1,得知二4，yo=5,

即《一看?是满足条件的点.

拓展提升

利用导数求切点坐标的步骤

(1)先设切点坐标(xo,yo)；

(2)求导函数/'(x)；

(3)求切线的斜率/(xo)；

(4)由斜率间的关系列出关于xo的方程，解方程求xo；

(5)由于点(xo,yo)在曲线y=«x)上，将xo代入求yo得切点坐标.

【跟踪训练2】已知抛物线y=2/+l,求:

(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°?

(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x->—2=0?

(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x+8y—3=0?

解设点的坐标为(xo,yo),则

..△、2(x+Ax)2+l—2f—1

-

•AxAx=4X+2AA,

.'.f'(x)=lim(4x+2Ax)=4x,

△x—>0

••f，(AX))~4X0.

(1)；抛物线的切线的倾斜角为45。，...斜率为tan450=l,

即/'(xo)=4xo=l,得xo=；,故和=2><0+1=2，该点为&

(2)...抛物线的切线平行于直线4x-y—2=0,...斜率为4.

即/'Q))=4xo=4,得xo=l,故y)=2XB+I=3,该点为(1,3).

(3)：抛物线的切线与直线x+8y-3=O垂直，

.♦.抛物线的切线的斜率为8,

即/'(xo)=4xo=8,得xo=2,

/.yo=2X2*2+l=9,该点为(2,9).

探究3导数几何意义的综合应用

例3设函数+加一9x—l(a<0),若曲线y=/(x)的斜率最小的切线与

直线12x+y=6平行，求。的值.

［解］因为=«TO+Ax)—«xo)

=(xo+Ax)3+iz(xo+Ax)2—9(xo+Ax)—1—9xo-1)

=(3xB+2oro—9)Ax+(3xo+a)(Ax)?+(Ax)3,

所以老;=3需+2ax()—9+(3x()+a)Ax+(Av)2.

Ay

所以/(M=limt=3看+2"0—9,

Ax—>0

所以0)=3(xo+§2—9—女.

因为斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，

所以该切线斜率为一12.

a2

所以-9一可=—12,解得a=±3,

又a<0,所以a=-3.

拓展提升

(1)导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导.利用题目所给

的斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等已知条件求解题目.此处常与函

数、不等式等知识点结合.

(2)本题需要根据已知条件求出原函数在xo处的导数/'(xo)并求出其最小值，

建立等量关系求出«的值，再根据«<0这一条件对结果进行取舍.

【跟踪训练3】已知点M(0,-1),尸(0,1),过点M的直线/与曲线

—4x+4在x=2处的切线平行.

(1)求直线/的方程；

(2)求以点F为焦点，直线/为准线的抛物线。的方程.

解⑴因为<=lim加

+Ax)3-4(x+Ax)+4—$+©-4

一Ax

=x2-4,

所以y'k=2=0,

所以直线/的斜率为0,其直线方程为y=-1.

(2)因为抛物线以点尸(0,1)为焦点，以直线y=-1为准线，

所以设抛物线方程为x2=2py,贝g=1,p=2.

故抛物线。的方程为x2=4y.

1

f----------------------------------1篇辘升-----------------------

1.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤

第一步：求出函数y=/(x)在点x=xo处的导数/'(xo)；

第二步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y—yo=f(xo)(x-xo).

注意：若在点(X。，兀M))处切线/的倾斜角为看此时切线平行于y轴，导数不

存在，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为犬=

X0.

2.函数的导数，是对某一区间内任意一点x而言的，就是函数./)的导数

/(x).函数y=/(x)在沏处的导数，就是导函数/'(x)在点x=xo处的导数值.

卜随堂达标自测

1.已知曲线尸危)在点P(xo,/o))处的切线方程为2x~y+1=0,那么()

A.f(xo)=OB.f'(xo)<O

C.f(xo)>OD./'(xo)不确定

答案C

解析因为曲线y=/(x)在点(xo,兀砌)处的导数就是切线的斜率，又切线2x

—y+1=0的斜率为2,所以/'(xo)〉O.

2.某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：nP)与融化时间f(单位：h)近似满

足函数关系：V⑺=410—匐3(”为常数)，其图象如图所示.记此堆雪从融化开

始到结束的平均融化速度为T(m3/h),观察图象可知瞬时融化速度等于T(m3/h)

的时刻是图中的()

A.t\B.t2C.t3D./4

答案C

解析如图所示，平均融化速度实际上是点A与点8连线的斜率依

瞬时融化速度的几何意义就是曲线V⑺在某时刻的切线斜率，通过对比，t3

时刻曲线的切线斜率与左相等，故瞬时融化速度等于3(m3/h)的时刻是S

3.曲线在光=0处的切线方程为.

答案y=0

51.,Ay(x+Ary—x2

解析rfW=hm=hmT-=

Ax—oaAAx->oa

lim皿曾生=2x,所以在x=0处的切线斜率为0,因此切线方程

ZLr-^O5

为J=0.

4.设函数y(x)=ax+3,若/'(1)=3,则。等于.

答案3

解析­/(l)=hm-----屋

醺—>0'

_..O(1+AA-)+3-(a+3)

_lim4-Q，*(1)一a—3.

e>oz

5.已知曲线y="-7,求曲线过点P(3,9)的切线方程.

⑪,Ay2(X+AX)2-7-(2X2-7)

解=lim71=lim」-----―---------L

lim(4X+2AJ;)=4X.

2kr—>0

因为2X32—7=11W9,所以点尸(3,9)不在曲线上.

设所求切线的切点为A(XO.ZTO-7),则切线的斜率左=4xo.

又因为点尸(3,9),4由端-7)都是切线上的点，

2x8—7—9

所以k=—4xo,解得xo=2或xo=4.

xo—3

当xo=2时，k=8,切点为(2,1),

切线方程为y—l=8(x—2),即8x—y—15=0；

当xo=4时，k=16,切点为(4,25),

切线方程为y-25=16(x-4),即16x-y-39=0.

故所求的切线方程为8x—J-15=0或16x—y—39=0.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.已知曲线y=於)在x=5处的切线方程是y=-x+8,则大5)及/'(5)分别

为()

A.3,3B.3,—1

C.—1,3D.—1,—1

答案B

解析由题意，得式5)=-5+8=3,(5)=-1.

2.已知曲线尸$—2上一点尸(1,一|),则过点P的切线的倾斜角为()

A.30°B.45°C.135°D.165°

答案B

解析因为y=$2—2,

所以y'=limlim尤，

Ax—0aAx->0'乙)

所以过点p的切线的斜率为1,

所以过点P的切线的倾斜角为45。.

3.已知曲线>=/在点p处的切线的斜率上=3,则点P的坐标是()

A.(1,1)B.(-1,1)

C.(1,1)或(一1,-1)D.(2,8)或(一2,-8)

答案C

(x+Ar)3一下

解析因为所以>'=lim

△A—>0Ax

lim[3x2+3x,Ax+(Ax)2]=3f.

Ax—>0

由题意，知切线斜率2=3,令3/=3,得x=l或％=—1.

当x=l时，y=l；当尤=-1时，y=~i.

故点P的坐标是(1,1)或(一1,-1).

4.与直线2x—y+4=0平行的抛物线的切线方程是()

A.2x—y+3=0B.2x—y—3=0

C.2x~y+l=QD.2A—y-1=0

答案D

解析由导数定义可得y'=2".•抛物线的切线与直线2x-y+4=0

平行，...y'=2x=2,：.x=\,即切点为(1,1),...所求切线方程为y—l=2(x—1),

即2x-y-i=Q.

5.函数_/(x)的图象如图所示，下列排序正确的是()

4

2345%

A.0<f(2)<f(3)<f(4)

B.。勺•'⑶勺7(4)*/⑵

C.Q<f'(4)<f(3)<f(2)

D.0守⑵寸(4)4⑶

答案C

解析由导数的几何意义可知，函数7U)在点尤0处的导数即为曲线4犬)在点

P(xo,«w))处的切线的斜率，又由图象可知曲线火幻在尤=2,3,4处的切线的斜率逐

渐减小，所以/'(2)》1'(3)之/(4).故选C.

6.已知直线>=丘+1与曲线y=x3+ax+Z?相切于点(1,3),则的值为()

A.3B.13C.5D.-5

答案A

解析注意点(1,3)既在直线上，又在曲线上.由于y'=lim

AXTO

(x+Ax)3+a(x+Ax)+Z>-Q3+ac+b)

=3x2+a,所以y'|x=i=3+a=k,将(1,3)代

入y—kx~{~1,得上=2,所以u——1,又点(1,3)在曲线丁=如+GC+/?上，故1+a

+/?=3,又由a=-1,可得8=3.故选A.

二'填空题

\尸_/+9

y-f(x)\p

7.如图，函数y=«x)的图象在点P处的切线方程是y=—2x+9,P点的横

坐标是4,则14)+/'(4)=.

答案一1

解析由题意，/(4)=-2,

.*4)=-2X4+9=l,

因此，/4)+/(4)=—2+1=—1.

b

8.已知函数)；=湛+匕在点(1,3)处的切线斜率为2,则,=.

答案2

解析lim—~=lim(a-Ar+2a)=2。=2,

&r—0"&\一0

...a=l.又3=aXA+o,;.。=2,即'=2.

9.y—J(x),y=g(x),y=a(x)的图象如图所示：

贝！Iy=/U)对应_______;y=g(x)对应；y=ot(x)对应________.

答案BCA

解析由导数的几何意义，y=/(x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不

变，则y=/U)对应B.y=g(x)上任一点处的切线斜率均小于零，且在起始部分斜率

值趋近负无限，故y=g(x)对应C.y=a(x)图象上任一点处的切线斜率都大于零，

且先小后大，故y=a(x)对应A.

三、解答题

10.已知抛物线y=/+/?x+c在点(1⑵处的切线与直线y=x—2平行，求b,

c的值.

解由于点(1,2)在抛物线yuf+bx+c上，

：.2=l+b+c,即b+c=l.①

••.抛物线在点(1,2)处的切线与直线y=x—2的平行，

•"(1)=1，

而‘⑴=lim%

AXTO

(1+AX)2+/?(1+Ax)+c—(1+b+c)

=im

'nm

Ax—>0

—lim(Ax+2+b)=2+Z?.

△.r—>0

，2+b=l.②