高中数学经典测试题附答案

高中数学经典测试题

附答案

姓名：班级：考号：

题号一二三总分

得分

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是符合题目要求的)

L在空间直角坐标系中，若向量2=(-2,1,3),b=(1,-1,1),c=(1,-2,-1)

则它们之间的关系是()

A.5_1,彼且B.且

C.a//b且D.力〃日且G〃工

2.如图，R,F2分别是双曲线C：^--^-=1(a,b>0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线RB

与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|\旧|=

|F.F2|,则c的离心率是

3•已知向量〃=(8,；x,x]/=(羽1,2),其中x>0.若以/晨则x的值为()

A.8B.4C.2D.0

4.

2'i〃为7F在数

己知数列｛4｝中，an=\:十二之，的=________；设数列｛4｝的前〃项和为

[2n-1〃为正偶数

S,,则S9=（用数字作答）.

5.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（）

A.n=l成立B.n=2成立

C.n=3成立D.n=4成立

6.若关于x的不等式6。<0有解，且解集的区间长不超过5个单位，满足上述要求的

。的最大值为M。、最小值为九，则M。一，2等于（）

A.1B.24C.25D.26

7.从1至169的自然数中任意取出3个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有

A.88种B.89种C.90种D.91种

8.如图，动点P在正方体ABCD-ABCD的对角线B»上，

过点P作垂直于平面BBiDD,的直线，与正方体表面交于M,

No设BP=x,MN=y,则函数y=f（x）的图象大致是（）

9.利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅临界值表来确定断言“X

和Y有关系”的可信度.如果k>5.024,那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为（）

A.25%B.75%C.2.5%1）.97.5%

10.函数/(x)=f+2x+m(x,mwR)的最小值为一1,则小;等于()

A.2B.—C.6D.7

3

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

”•如图所示，是一个由三根细铁杆段,,出,高蜉组成的支架，三根铁杆的两两夹角都是毓炉，一个

A"C

半径为i的球放在支架上，则球心到界的距离为____________

V

pj

12.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可.能）取两点，则该两点间的距离为

J的概率是___________.

2

13.函数y二业二L的定义域为.

2-x

14.设复数z满足（z+i）（l+i）=l—i（i是虚数单位），则复数z的模|z卜▲.

15.设｛*｝为公比q>l的等比数列，若4008和0009是方程4/-8x+3=0的两根，则

“2010+^2011

三、解答题（本大题共5小题，共40分）

16•（本小题满分13分）

已知：如图，长方体力5CQ-451gz）］中，E、尸分别是棱BC,Cg上的点,

CF=AB=2CE,A3:A41=l:2:4.

（1）求异面直线斯与其少所成角的余弦值；

（2）证明4尸，平面AED；

（3）求二面角4一班）-尸的正弦值.

17•如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB，平面BCD,AB=BC=a,E为

BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC.

(1)求证AC平面DEF；

(2)若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N,使MN〃平面DEF?若存在，说明点

N的位置；若不存在，试说明理由.

(3)求平面ABD与平面DEF所成锐二面角的余弦值。

21_1_2

18.(本小题满分12分)(1)计算：(一3x;yF)+(—6xWyF)；

冗

sin(a+乃)+2sin(a——)

(2)已知：tan(a-^)=2,求：---------------------焦一的值。

一、/3%、

cos&r-a)-cos0+—)

19.(本小题满分14分)

2

已知函数/(%)=x+------3,g(x)=x+lnx,其中a>0。F(x)=f(x)+g(x)

xo

(1)若x是函数、=/(力的极值点，求实数a的值；

(2)若函数y=F(x)(xe(0,3］)的图象上任意一点处切线的斜率％4m恒成立，求实数a

的取值范围；

(3)若函数y=/(x)在［1,2］上有两个零点，求实数a的取值范围。

20.如图，在铁路建设中需要确

定隧道的长度和隧道两端的施工方向.已测得隧道两

端的两点A、B到某一点C的距离及NACB二a,求A、

B两点间的距离，以及NABC、ZBAC.

高中数学经典测试题答案解析

一、选择题

1.A

【解析】略

2.B

【解析】如图：|0B|=b,0Fi|=c..\kpo=-,kN=--.

cMc

y=-(jc^-c)

直线PQ为：y=2(x+c),两条渐近线为：y=2x.由.c,得：Q(金，j

abc-ac—a

y=­x

a

,c，日c/-acbe\.上心....x,beb-ac、

由《,，得：P(——，——).；.直线MN为：y-——=--(zx-——),

bc+ac+ac+acc+a

y=~—x

a

3MMi

令y=0得：xu=——,又IMF2I=IF1F2I=2c,・・.3C=XM=F——-＞解之得：/=_=，,

c-ac-eraa2

aPe=T

3B

【解析】略

4.256,377

5.［答案］C

［解析］

凸n边形的内角和为(n—2)",最少边的凸n边形为三角形，所以应验证n=3时成立.

6.1)

工口一,\a2+24。>0

提示由----------

6Z+V6Z2+24«224^

-------------a-->-!-a--+----.5

22

得a>0a<-24解得-25,-24)U(0,1］

a2+24a-25<0

...Mu-ma=l-(-25)=26；故选D

7.D

8.B

9.D

10.B

【解析】略

二、填空题

【解析】

试题分析：歌,，理,，魏与球相切，设切点分别为E、F、G。再令感最瞬的中心为H,球心

为O,连结EH、OE、OP,则OP过点H,密耀整激与魏逸矗迷相似，所以T=」。令

屋所

座=谢，可求得威岸=避巡，除=疝彳，所以■新一娥,解得涵•=/，

任亍一而言

OF=JlFa?"=#°

考点：空间几何体；相似三角形。

点评：本题对空间想象能力要求较高，解决本题关键在于找出密磁整蹒与.爵逸魏瑟相似。

2

12.【答案】一

5

【解析】依题意可得，两点中其中一点必定是中心，所以P=G=2

13.[1,2)U(2,+oo)

【解析】略

14.2

15.18

【解析】略

三、解答题

16.

(2)略

⑶更

3

【解析】解:

法一：

如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标

系，

设/B=1,

依题意得

£)(0,2,0),F(l,2,1),4(0,0,4),

(1)易得砺=(0,q,1),葩=(0,2,-4),

于是as画科

、＞回第5

3

所以异面直线EF与所成角的余弦值为-

(2)已知万(1,2,1),

刊3,如「以。

M=-X-2

于是市•瓯=0，AF,而=0.

因此，上尸_1反4,工，又瓦41c助=£

所以出?_L平面4即

—y+z=0

u*EF=0

(3)设平面&FZ?的法向量〃=(x,_y,z)，则〈，即《

u*ED=0-x+gy=0

不妨令X=l,可得］=(1,2,-1)。

由(2)可知，"为平面ARD的一个法向量。

于是cosj=|,从而Sing,萧)--一,

3

所以二面角A1-ED-F的正弦值为吏

3

法二:

(1)设AB=1,可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=1

2

连接B1C,BC1,设B1C与BC1交于点M,易知A1D〃

B1C,

CECF1

由==一可知EF/7BC1.

CBeg4'

故是异面直线EF与AID所成的角,

易知BM=CM=；B]C=4,

BM2+CM2-BC23

所以cosNBWC=

2BM»CM5

3

所以异面直线FE与AID所成角的余弦值为-

5

r*r\EC1

(2)连接AC,设AC与DE交点N因为一=——=一，

BCAB2

所以RtLDCE~R1LCBA-从而N53=乙BCA，

又由于NCOE+NC即=90。，所以NBCA+NC5。=90°,

故ACLDE,又因为CC1LDE且CqcRC=C,所以DEL平面ACF,从而AFLDE.

连接BF,同理可证B1C_L平面ABF,从而AF1B1C,

所以AF_LA1D因为DScADnQ,所以AF_L平面A1ED.

(3)连接A1N.FN,由(2)可知DE_L平面ACF,

又NFU平面ACF,AINU平面ACF,所以DE_LNF,DE_LA1N,

故幺即为二面角A1-ED-F的平面角.

C拉EC

易知KZACNE〜BAC员4，所以一=——，

BCAC

又RC=君所以C曾=咚，

在及ANCF中，丽=旧耳丽'=£

在用“①涧1，砌=5府+副=占野

连接A1C1,A1F在改组4cl尸中，49=网4+^^=巧

在厢'中,cos乙4M=弋；第J户=|。所以.NA酒=*

所以二面角A1-DE-F正弦值为止.

3

17•解(证明)(1)•；AB，平面BCD,.\AB±BC,AB1BD.

；△BCD是正三角形，且AB=BC=a,...AD=AC=&〃.

设G为CD的中点，则CG='a,AG=』Za.

22

2

・S-C-LnC_^32Q_币2

-~

,•°AABC'^^BCD~~~TCl'^MCD=~~Ta*

三棱锥D—ABC的表面积为SMCD=4+1+忆2.

(2)取AC的中点H,VAB=BC,ABHIAC.

；AF=3FC,：.F为CH的中点.

；E为BC的中点，；.EF〃BH.则EF_LAC.

；△BCD是正三角形，ADEIBC.

；AB_L平面BCD,/.ABIDE.

；ABnBC=B,；.DE_L平面ABC..'.DE±AC.

•.,DECEF=E,；.ACJ_平面DEF.

(3)存在这样的点N,

3

当CN=—CA时，MN〃平面DEF.

8

连CM,设CMADE=O,连OF.

2

由条件知，O为ABCD的重心，CO=-CM.

2313

.・・当CF=—CN时，MN〃OF.，CN=——CA=-CA.

3248

【解析】略

18.(1)计算：

1!」_1_2

4x"(-3/y3)(-6x3)

1111,2、I

=4x(-3)^(-6)xr^y~v'^=2xy3.

(2)解：tan(or-7i)=tana=2t

71

sin(o+»)+2sin(a——).。)

2_-sina-2cosa_tana+2_4A

=_*=o

c\z,3%-cosa-sina1+tana3

cos(3»-a)-cos0+-)

【解析】略

19.

2

角隼：F(x)=2x+—+Inx-3

x

户(x)=2-

XX

----------------------------------------------------------------------------------------------------2分

(1)F'(^)=4-4«2=0且a>0，a=l

-------------------------------------------------------4分

(2)F\X)=2-^-+-<-对任意的xe(0,3］恒成立

xX2

-------------------------------------------------5分

/.2a2>-x2+2%对任意的xe(0,3卜恒成立

2a-N(-x~+2x)inax

而当元=1时，—M+2x=—。一1)2+1取最大值为1,

/.2。2>1,JELa>0,ci—

2

---------------------------------------------------------------------7分

(八//、1(x-a)(x+a)

(3)f(x)=1——-=------------------