圆的标准方程高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

圆的标准方程年级：高

二

学科：数学（北师大版）直线（几何）直线的方程（代数）坐标化位置关系距离关系与其它几何图形的关系运算化知识回顾一圆（几何）圆的方程（代数）坐标化位置关系距离关系与其它几何图形的关系运算化问题提出二类比推导二2.初中给圆的定义为：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合（或轨迹）,其中定点是圆心,定长就是半径.问题1：圆是如何定义的？1.墨子说：“圆，一中同长也.”则3.记圆心为点

，半径为

，圆上的点为.设圆上任意一点

,由圆的定义得:

解：建立平面直角坐标系，如图1-24.

设圆

的圆心为,半径为,

①类比推导三问题2：在平面直角坐标系中，圆上的点的横、纵坐标满足怎样的关系式.追问:反过来，以方程①的解为坐标的点一定在圆上吗？①类比推导三因为

为方程①的解，代入方程①可得

检验:

设以方程①的任意解

为坐标的点记为.

综上所述，以点

为圆心，

为半径的圆与方程①

是

一一对应的，故我们称方程①为圆的标准方程.即点

在圆

上.圆的标准方程推导过程:建系设点检验化简代数关系几何关系类比推导三

圆的标准方程:①（1）方程①的三个参数

恰与圆心

的坐标和半径长一一对应.类比推导三（2）圆心在原点的圆的标准方程：例1.判断下列方程是否表示圆,若是,请写出圆心和半径;若不是,请说明理由.方程辨别四解：（1）原方程可变形为：所以此方程以

为圆心，

为半径的圆.（2）原方程可变形为：当

时,此方程表示以

为圆心，

为半径的圆.当

时,此方程表示一个点.综上，当

时，表示圆；当

时，表示点.

当点

不在圆

上时，一定有

，此时，存在以下两种情况：

或

思考交流

对于点

和圆

，由圆的标准方程的概念，可知点

在圆

上的充要条件是

而点

不在圆

上时，恰好也有两种情况：点

在圆

内或点

在圆

外.那么，“两个不等式”和“点与圆的这两种位置关系”之间存在怎样的联系呢？方程应用四∵点在圆外.同理：点在圆内方程应用四解：反之，也成立.点在圆外

即：位置关系判断方法几何法代数法

点

在圆上

一般地,圆的标准方程为,圆心,半径为.设所给点为,则

点

在圆内点

在圆外方程应用四例2.已知两点

和.（2）求以

为直径的圆的方程.（1）求以点

为圆心，且经过点

的圆的方程；分析：（1）方程应用四几何角度代数角度例2.已知两点

和.（2）求以

为直径的圆的方程.（1）求以点

为圆心，且经过点

的圆的方程；解：（1）由题意可知，设圆

的标准方程为∵圆

经过点∴即

∴圆

的方程为

如图1-25.方程应用四方程应用四例2.已知两点

和.（2）求以

为直径的圆的方程.（1）求以点

为圆心，且经过点

的圆的方程；几何角度分析：（2）代数角度解：（2）设圆的标准方程为由题意可知，所以，圆的方程为

如图1-26.方程应用四例2.已知两点

和.（2）求以

为直径的圆的方程.（1）求以点

为圆心，且经过点

的圆的方程；方程应用四几何角度代数角度分析：思考交流

思考1.

已知圆

经过点,半径为,则该圆确定吗？若不确定,那么圆心

的位置又有怎样的特点？思考交流

思考1.

已知圆

经过点,半径为,则该圆确定吗？若不确定,那么圆心

的位置又有怎样的特点？解：

方程应用四

设圆的标准方程为由题意可得：∵此方程有无数组解，∴值不唯一，故圆不确定.又将方程①整理可得：此方程表示以

为圆心，

为半径的圆.故圆心

的轨迹是一个圆，请观看动画1.方程应用四思考交流

思考2.已知圆

经过

和,且

不为直径.则该圆确定吗？若不确定,那么圆心

的位置又有怎样的特点？几何角度代数角度分析：解：方程应用四又①-②得，由③式可知，圆心

在一条直线上，且该直线为

中垂线.请观看动画2.

设圆的标准方程为由题意可得，思考交流

思考2.已知圆

经过

和,且

不为直径.则该圆确定吗？若不确定,那么圆心

的位置又有怎样的特点？方程应用四归纳：一个圆是由圆心和半径确定，也是

由其方程中

的唯一值确定。几何角度:例3.求经过

两点,且圆心

在直线

上的圆的标准方程．分析1：由圆的几何性质：“弦的中垂线必过圆心”可先求出弦

中垂线

方程.解得圆心

坐标和

的值.方程应用四所以，圆的方程为如图1-28（2）.方程应用四数形结合法例3.求经过

两点,且圆心

在直线

上的圆的标准方程．

解法1：

的中点坐标

.

中垂线方程

即

联立方程组

所以圆心.代数角度:方程应用四例3.求经过

两点,且圆心

在直线

上的圆的标准方程．由题意可知，分析2：设圆的标准方程为解得

的值即可.待定系数法解法2：设圆的标准方程为由题意可得,

②-③得,

联立①④得,

将

代入②式得

所以,圆的标准方程为

如图1-28（1）.方程应用四例3.求经过

两点,且圆心

在直线

上