高考数学一轮复习 （基础知识 高频考点 解题训练）函数的图象教学案

第五节函数的图象

基础如艰要打牢强双基固本源得基础分掌握程度

11ICHUZHISHIYAIII

［知识能否忆起］

一、利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式：③

讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值

点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线.

二、利用基本函数的图象作图

1.平移变换

⑴水平平移：尸Mx±a)(a>0)的图象，可由尸f(x)的图象向左(+)或向左(一)平移

a个单位而得到.

⑵竖直平移：尸/•3±6(核0)的图象，可由尸f(x)的图象向上(十)或向工(一)平移

/个单位而得到.

2.对称变换

(l)y=F(-x)与y=f(*)的图象关于y轴对称.

(2)y=—f(x)与尸/'(x)的图象关于x轴对称.

(3)y=-f(-x)与y=F(x)的图象关于原点对称.

(4)要得到y="(x)I的图象，可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴

翻折到x轴上方，其余部分不变.

(5)要得到y=f(|x|)的图象，可将y=f(x),x20的部分作出，再利用偶函数的图象

关于F轴的对称性,作出x<0时的图象.

3.伸缩变换

(l)y=/ff(x)G4>0)的图象，可将v=f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的/倍,横坐

昼不变而得到.

(2)y=F(ax)(a>0)的图象，可将y=F(x)图象上所有点的横坐标变为原来的1倍，纵坐

a----

标不变而得到.

［小题能否全取］

1.一次函数/"(X)的图象过点40,1)和庾1,2),则下列各点在函数/Xx)的图象上的是

A.(2,2)B.(-1,1)

C.(3,2)D.(2,3)

解析：选D一次函数/'(x)的图象过点1(0,1),5(1,2),则f(x)=x+l,代入验证D

满足条件.

2.函数尸x|x|的图象大致是（）

解析：选A函数y=x|x|为奇函数，图象关于原点对称.

3.（教材习题改编）在同一平面直角坐标系中，函数/Xx）=ax与g（x）=a'的图象可能

是下列四个图象中的（）

解析：选B因a>0且aWl,再对a分类讨论.

4.（教材习题改编）为了得到函数y=2'7的图象，只需把函数y=2'的图象上所有的点

向平移个单位长度.

答案：右3

5.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解，则实数a的取值范围是.

解析：由题意a=R+x

2x,x20,

令『I+x=

0,x<0,

只有一解则a>0.

答案：（0,+8）

1.作图一般有两种方法：直接作图法、图象变换法.其中图象变换法，包括平移变

换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律.

［注意］对于左、右平移变换，可熟记口诀：左加右减.但要注意加、减指的是自

变量，否则不成立.

2.一个函数的图象关于原点（y轴）对称与两个函数的图象关于原点（y轴）对称不

同，前者是自身对称，且为奇（偶）函数，后者是两个不同的函数对称.

由I高频考点要通关、抓考点I学技法I得拔高分I掌握程度

作函数的图象

5*21_______________________________

占典题导入

［例1］分别画出下列函数的图象:

(l)y=1g川；

⑵尸2?

⑶%='—2|x|—1.

[lgX,x'l,

[自主解答](1)尸，“八图象如图L

[—lgx,0<Kl.

(2)将尸2,的图象向左平移2个单位.图象如图2.

x—2x—1,x》0,

⑶尸

x+2x-1,

画函数图象的一般方法

(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函

数的特征直接作出.

(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可

利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应

注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

3以题试法

1.作出下列函数的图象:

(l)y=Ix—x\-,

小、不+2

⑵尸UT

x-x,OWxWl,

解:(1)y=\

—x-x,x>l或求0,

-（x-故+^,OWxWl,

即尸《

口一义）—；，x>l或水0,

其图象如图1所示（实线部分）.

Y—qQ

⑵尸I』十』,先作出尸；的图象,再将其向右平移1个单位,并向

v+2

上平移1个单位即可得到尸』的图象，如图2.

识图与辨图

自典题导入

［例2］（2012•湖北高考）已知定义在区间［0,2］上的函数尸/、（x）

的图象如图所示，则y=-f（2—x）的图象为（）

CD

［自主解答］法一：由尸/Xx）的图象知

XX

f(x)=<

x

当[0,2]时，2-^e[0,2],

x

所以f(2—x)=

2-xx

故y=-f(2—x)~

x—x

法二：当x=0时，一_f(2—x)=-F(2)=-1；当x=l时，一f(2—x)=—f(l)=-L

观察各选项，可知应选B.

［答案］B

&由题悟法

“看图说话”常用的方法

(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，

利用这一特征分析解决问题.

(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题.

(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析

解决问题.

3以题试法

2.(1)如图，函数/'(x)的图象是曲线的6,其中点。，A,8的坐标

分别为(0,0),(1,2),(3,1),则石二■，的值等于—

(2)(2012•东城模拟)已知函数对任意的xGR有f(x)+f(-x)=

0,且当x>0时，f(x)=lnj+l),则函数f(x)的图象大致为()

解析：(1)；由图象知/'(3)=1,

=1.~^=A1)=2.

(2)•.•对Vx£R有f(x)+f(—x)=0,.•・f(x)是奇函数./(0)=0,尸f(x)的图象关于

原点对称，当%<0时，F(x)=—f(—x)=—In(—x+1)=—ln(l—x),由图象知符合上述条

件的图象为D.

答案：(1)2(2)D

函数图象的应用

占典题导入

［例3］(20H•新课标全国卷)已知函数y=f(x)的周期为2,当［-1,1］时f(x)=

V,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg的图象的交点共有()

A.10个B.9个

C.8个D.1个

［自主解答］根据/"(X)的性质及f(x)在［-1,1］上的解析式可作图如下：

y

-10123456789101112*

可验证当X=10时，y=|1g10|=1;0<水可时,|1gx|<1;

x>10时|lgx|>1.

结合图象知y=f(x)与y—lgx\的图象交点共有10个.

［答案］A

>»一题多变

若本例中/'(X)变为f(x)=|x］,其他条件不变，试确定交点个数.

解：根据f(x)的性质及F(x)在［-1,1］上的解析式可作图如下：

由图象知共10个交点.

&由题悟法

1.利用函数的图象研究函数的性质

对于已知或易画出在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值

域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.

2.利用函数的图象研究方程根的个数

当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)=0的根就是

函数/Xx)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交

点的横坐标.

务以题试法

3.已知函数f(x)=2—g(x)=王.若f(x)*g(x)=min"(x),g(x)},那么f(x)*g(x)

的最大值是.（注意：min表示最小值）

解析：画出示意图（实线部分）,

2~xxW一

F（x）*g（x）="x-2<x,

2—xx,

其最大值为1.

答案：1

刘.解题训练要高效抓速度］抓规范］拒绝眼高手低］掌握程度

A级全员必做题

1.函数/"（x）=2f的图象（）

A.关于y轴对称B.关于x轴对称

C.关于直线y=x对称D.关于原点对称

解析：选D显然函数F（x）=2f是一个奇函数，所以其图象关于原点对称.

［x,KO,

2.函数尸仁।一的图象大致是（）

［2—1,xMO

解析：选B当水0时，函数的图象是抛物线；当彳20时，只需把p=2）的图象在y轴

右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.

3.（2012•北京海淀二模）为了得到函数y=3og2（I）的图象，可将函数y=log4的

图象上所有的点的（）

A.纵坐标缩短到原来的横坐标不变，再向右平移1个单位长度

B.纵坐标缩短到原来的右横坐标不变，再向左平移1个单位长度

C.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度

D.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度

解析：选A本题考查图象的平移和伸缩.将y=lo&x的图象横坐标不变，纵坐标缩短

到原来的看得尸今知的图象，再将尸3"的图象向右平移1个单位长度即可.

4.(2011•陕西高考)设函数F(x)(x£R)满足F(—x)=f(x),f(x+2)=f(x),则尸=

f(x)的图象可能是()

B

y

3sBD

D

解析：选B表达式"71(x)=f(—x)”，说明函数是偶函数，表达式“f(x+2)=F(x)

说明函数的周期是2,再结合选项图象不难看出正确选项为B.

5.(2012•济南模拟)函数尸1盯讦的大致图象为()

解析：选D由题知该函数的图象是由函数y=-lg|x|的图象左移一个单位得到的，故

其图象为选项D中的图象.

[a,a—bWl,

6.(2011•天津高考)对实数a和b,定义运算“短'：湃6=,,设函数

16,a—D>\,

f(x)=(V-2)®(x-*),x£R.若函数y=f(x)—c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c

的取值范围是()

A.(—8,—2]U(—1,

B.(―0°,—2]uf—1,—

cl'加(；,+°°J

+

D〈T'一号电'°°)

解析：选B

由题意可知

x—2fx—2—x-\~x1,

i,丁一2一叶/>1

f/—2,—IWXW*

作出图象，由图象可知y=f{x)

3

x—x,K—1或x>]

3

与y=c有两个交点时，cW—2或一l〈c<一

即函数尸/■(*)—，的图象与x轴恰有两个公共点时实数c的取值范围是(-8,-2]

UT，I)

7.已知函数Hx)的图象如图所示，则函数g(x)=lo"f(x)的定

义域是

解析：当f(x)>0时，函数g(x)=logV?f(x)有意义,

由函数f(x)的图象知满足Ax)>0的xG⑵8].

答案：(2,8]

v-4-1

8.函数/'(x)：一[图象的对称中心为

解析：/•(才)=十=1+：,把函数y=:的图象向上平移1个单位，即得函数f(x)的图

象.由y=%勺对称中心为(0,0),可得平移后的/tv)图象的对称中心为(0,1).

答案：(0,1)

9.如图，定义在[-1,+8)上的函数『(*)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,

则/Xx)的解析式为.

解析：当一1W后0时，设解析式为尸布+6,

/.y=x+l.

当x>0时，设解析式为尸a(x—2)2—1,

・・•图象过点(4,0),

A0=a(4—2)2—1,得a=*

x+1,—

答案：F(x)=h2

7x---1,x>0

4

3—邕[—1,2],

10.已知函数F(x)={

x—3,xR,5].

⑴在如图所示给定的直角坐标系内画出F(x)的图象;

⑵写出f(x)的单调递增区间；

⑶由图象指出当x取什么值时Ax)有最值.

解：(1)函数F(x)的图象如图所示.

(2)由图象可知，

函数f(x)的单调递增区间为[—1,0],[2,5].

(3)由图象知当x=2时,/'(x)min=F(2)=-1,

当X=0时，f(x)max=AO)=3.

11.若直线y=2a与函数尸|H—l|(a>0且a#l)的图象有两个公共点，求a的取值

范围.

解：当OVaVl时，y=|4一11的图象如图1所示,

由已知得0V2aVl,即OVaV/

当3>1时，y=\a-l的图象如图2所示，

由已知可得0V2aVl,

即OVaV；,但a>l,故

综上可知，a的取值范围为(0,

12.已知函数f(x)的图象与函数4x)=x+1+2的图象关于点/l(0,1)对称.

(1)求函数A*)的解析式;

(2)若g(x)=f(x)+*g(x)在区间(0,2]上的值不小于6,求实数a的取值范围.

解：(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x,。，•••点(x,力关于点加0,1)的对称点(一兄2

一力在力(力的图象上，

/.2—y——x-\------F2,

—x

/.y=x+~,

x

即f(x)=*

0-4-1

(2)由题意g(x)=x+二,

a+1

且g(x)=x+'x26,xJ(0,2].

・・"£(0,2],

；・a+12x(6—x),

即V+6x-1.

令g(x)=-x+6^r—1>(0,2],

g(x)=­x+6^—1=—(%—3)J+8,

,(0,2]时,g(x)—=g(2)=7,

故H的取值范围为[7,+8).

B级重点选做题

1.(2013•威海质检)函数尸/■(*)(xdR)的图象如图所示，下列说法正确的是()

①函数y=f(x)满足f(-x)=—f(x)；y

②函数尸Hx)满足Ax+2)=f(—x)；-

③函数尸f(x)满足f{—x)=f(x)；~/\J~2

④函数万f(x)满足f(x+2)=f(x).

A.①@B.②④

C.®®D.③④

解析：选C由图象可知，函数/Xx)为奇函数且关于直线x=l对称，所以/'(l+x)=

f(l-x),所以/[1+(x+1)]=/11—(x+1)],即/1(x+2)=F(—x).故①②正确.

2.若函数Hx)的图象经过变换7后所得图象对应函数的值域与函数人才)的值域相同，

则称变换7是函数f(*)的同值变换.下面给出四个函数及其对应的变换T,其中变换7不属

于函数/tx)的同值变换的是()

A.F(X)=(X—1)2,变换7将函数F(x)的图象关于y轴对称

B.f{x)=2x-'~\,变换7将函数f(x)的图象关于x轴对称

C.7'(x)=2x+3,变换7将函数/Xx)的图象关于点(-1,1)对称

D./'(x)=sin(x+胃，变换7将函数f(x)的图象关于点(一1,0)对称

解析：选B对于A,与f(x)=(x—l)2的图象关于y轴对称的图象对应的函数解析式

为g(x)=(-x—1)2=(x+l)2,易知两者的值域都为[0,+°°)；对于B,函数f(x)=2'T

一1的值域为(-1,+8),与函数F(x)的图象关于X轴对称的图象对应的函数解析式为g(x)

=—21+1,其值域为(一8,1),对于c,与/•(x)=2x+3的图象关于点(一1,1)对称的图

象对应的函数解析式为2-爪牙)=2(—2—x)+3,即g(x)=2x+3,易知值域相同；对于D,

与/"(x)=sinG+T)的图象关于点(一1,0)对称的图象对应的函数解析式为g(x)=

sin(x—宁+2),其值域为[—1,1],易知两函数的值域相同.

3.已知函数y=f(x)的定义域为R,并对一切实数x,都满足/'(2+x)=f(2—x).

(1)证明：函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称；